Введение к работе
Актуальность темы. Многие математические модели в механике (в том числе и негладкой), физике, биологии, экономике описываются дифференциальными уравнениями различных типов, включающими малый параметр, например, в виде малого внешнего воздействия или малого запаздывания по аргументу. Бифуркация из предельного цикла периодических решений дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений с малым параметром (так называемая бифуркация Малкина) является важным разделом теории дифференциальных уравнений и динамических систем. Бифуркация таких решений из циклов невозмущенных уравнений в случае резонанса активно изучалась в середине XX века в работах И.Г. Малкина и, немного позднее, B.C. Луда. Впоследствии аналогичные задачи были поставлены и для квазилинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и изучались С.Н. Шимаповым. Изучение такого рода бифуркаций позволяет установить, с одной стороны, те положения равновесия или фазы цикла невозмущешюго уравнения, из которых рождаются периодические режимы при заданных малых возмущениях, и описать бифуркационные условия, и, с другой стороны, выбирать такие возмущения, при которых ветвление происходит из необходимых нам положений равновесия или точек цикла.
Одним из важных аспектов изучения бифуркаций периодических решений для уравнений с малым параметром является исследование бифуркаций в уравнениях с малым запаздыванием. Уравнения с запаздывающим аргументом активно изучались в 60х-80х годах XX века такими математиками, как P.P. Ахмеров, Я.И. Гольцер, Ю.А. Дядчепко, A.M. Зверкші, Г.А. Каменский, М.И. Каменский, С.А. Кащенко, Ю.С. Колесов, М. А. Красносельский, А.Д. Мышкис, А.Е. Родкнпа, Б.Н. Садовский. В настоящее время наблюдается новая волна интереса к изучению периодических решений уравнений с отклоняющимся аргументом.
Другой важной областью математики, в которой активно изучаются вопросы о колебаниях, является теория негладких динамических систем. В последнее время большое внимание уделяется изучению динамики таких систем с точки зрения бифуркационного анализа, например, в
работах М. дн Бернардо, Ж.М. Маггио, П. Ковальчика, М.Р. Джеффри, А. Коломбо, А.Б. Нордмарка, Ж. Либре, Ж. Оливара и Г. Данковица и X. Зао.
Несмотря на то, что изучение бифуркации периодических решений для дифференциальных уравнений различных типов имеет длительную и богатую историю, многие вопросы остаются неисследованными. Например, в большинстве упомянутых работ по данной тематике единица предполагается простым собственным значением оператора сдвига по траекториям линеаризованной на периодическом решении невозмущешюй системы. В работах П.Г. Айзенгендлера и М.М. Вайнберга это требование ослабляется: рассматривается случай, когда кратность єдшіичеюго собственного значения больше единицы, но существуют лишь соответствующие ему линейно независимые собственные векторы. При этом наличие присоединенных к ним векторов не допускается, т.е. соответствующий блок Жордана матрицы монодромии линеаризованной системы имеет только диагональ, составленную из единиц. Исследование случая существования присоединенных векторов представляет большой интерес, так как он является, по сути, общим. Он имеет место, например, когда система может быть получена при помощи периодической по времени и линейной по пространственной переменной замены в линейном уравнении п—го порядка с постоянными коэффициентами.
Заметим также, что несмотря на большой интерес к задачам ветвления периодических решений, в том числе для уравнений с запаздыванием, такие задачи для уравнений нейтрального типа остаются слабо изученными.
Кроме того, не существует единого, общего подхода к изучению бифуркаций периодических решений дифференциальных уравнений различных видов: обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с негладкими и разрывными правыми частями, уравнений нейтрального типа с отклоняющимся аргументом.
Таким образом, описанные задачи являются актуальными и интересными и по сей день.
Цель работы. Основной целью диссертационной работы является исследование условий существования бифуркации периодических решений из цикла невозмущешюй системы или многообразия
положений равновесия усредненного уравнения для обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с переменной структурой, уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием в случае наличия присоединных решений Флоке к периодическому решению линеаризованной на цикле невозмущенной системы.
Методы исследования. В диссертации использованы методы математического и функционального анализа, общей теории дифференциальных уравнеппй, теории уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием, теории топологического индекса. Методологическую основу исследования составляют методы теории мер некомпактности и уплотняющих операторов.
Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми:
1. Доказаны общие теоремы о бифуркации решений операторного
уравнения с малым параметром в банаховом пространстве из связного
одномерного многообразия решений невозмущенного уравнения.
2. Приведен пример несовпадения структур собственных
инвариантных подпространств производной интегрального оператора,
построенного по периодической задаче для обыкновенного
дифференциального уравнения, и оператора сдвига по траекториям
линеаризованного уравнения; доказана теорема об определении нового
интегрального оператора, для которого структуры совпадают.
3. Доказан аналог классической теоремы И.Г. Малкииа о бифуркации
периодических решений обыкновенного дифференциального уравнения
с малым возмущением из цикла невозмущенного уравнения в случае
существования присоединенных решений Флоке к периодическому
решению линеаризованного невозмущенного уравнения.
-
Доказана теорема о бифуркации периодических решений из цикла невозмущенного уравнения для дифференциальных уравнений с переменной структурой.
-
Доказан принцип усреднения в случае существования связного одномерного многообразия положений равновесия усредненного уравнения.
-
Доказана теорема о бифуркации периодических решений для уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием в случае наличия присоединенных решений Флоке у предельного уравнения.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты представляют интерес для теории колебаний, теории негладких динамических систем, теории дифферешщальных уравнений нейтрального типа с отклоняющимся аргументом.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались
на VI международной конференции "Дифференциальные и
функционально-дифференциальные уравнения" (Москва, 2011), XI международной конференции "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления (конференция Пятницкого)" (Москва, 2010), международном симпозиуме "О резонансных колебаниях и устойчивости негладких систем" (Лондон, 2009), Воронежских зимних и весенних метематических школах (Воронеж, 2009-2011), семинарах кафедры функционального анализа и операторных уравнений ВГУ (Воронеж, 2010), научных сессиях ВГУ (Воронеж, 2009-2011).
Публикации. Основные результаты опубликованы в 10 работах [1]-[10]. Из совместных публикаций [1], [4], [10] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работы [1] и [2] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на 13 параграфов, и списка цитируемой литературы, содержащей 56 источников. Общий объем диссертации — 115 страниц.
