Введение к работе
Актуальность темы. Теоретическая і! прикладная значимость краевых задач для эллиптических систем хорошо.известна. Среди линейных краевых задач наряду с задачами Дирихле и II ей и aim ва к-ног, значение имеют смешанные краевые задачи, которые моде-лиру-юі многие физические процессы. Изучению указанных задач посвящены рабоїьі С. Зарембы, А. Синьорини, М. Келдыша, Л. Седова. Ж. Жиро, Г. Фикера, Ж. Стампакъя, С.Г. Михлина. Я.В. Лоаатии-ского, Г. Леви, С. Агмона и др.
К рассмотрению краевых задач в областях с кусочно-гладкой границей приводят многие задачи механики и физики. В частности, для приложений представляют интерес задачи теории упругости. 13 работах Г.13. Колосова и II.И. Мусхедишвили были получены основополагающие результаты решения плоских задач для изотропных тел. Теория анизотропной плоской задачи была, существенно продвинута вперед благодаря работам С.Г. Лехшщкого, Г.Н. Савина. С.Г. Михлина, Д.И. Шермана и др,
Изучению краевых задач для эллиптических систем в областях с. кусочно- гладкой границей посвящены работы А.II. Солдатом. 13 ни дается способ сведения задачи к системе граничных интегральных уравнений и установлены критерий нетеровости и формула индекса общих эллиптических задач. Этот подход был применен к исследованию задач теории упругости и гидродинамики в работах Г. Бегера. P.P. Гилберта, Р.В. Дудучавы, II.А. Жура, А.П. Солдатова и др.
Цель работы. Исследование вопросов классической разрешимости различных смешанных краевых задач для эллиптических систем второго порядка с постоянными коэффициентами в областях с кусочно-гладкой границей; установление единственности решения первой, второй и классической смешанной краевых задач для усиленно эллиптических систем, составляющих подкласс сильно эллиптических систем; приложение полученных результатов к анизотропной теории упругости.
Общая методика исследования. В диссертации используются теория эллиптических уравнений и систем, метод сведения задачи к системе граничных интегральных уравнении, теория сингулярных операторов, теория J -аналитических функции.
Научная новизна, В диссертации получены следующие результаты:
-
Дана постановка обобщенней смешанной задачи для эллиптической системы второго порядка в области с кусочно-гладкой границей, сформулирован и доказан лршернй ее нехеровосши формула индекса в весовых классах Гельдера.
-
Введено понятие усиленно эллиптической системы, доказаны Теоремы единственности решения первой, второй и классической смешанной краевых задач.
-
Исследована схрукгураматриц, участвующих п представлении решений системы Ламе анизотропной теории упругости; доказана теорема существования и единственности решения обобщенной смешанной задачи дяя системы Ламе изотропной теории упругости.
Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер. Они могут быть использованы при исследовании смешанных краевых задач для эллиптических систем в областях с кусочно-гладкой границей, а Также при решении прикладных задач (линейная теория упругоеш, гидродинамика, аэродинамика, и др.). Отдельные параграфы могут быть использованы для разработки и чтения спецкурсов.
Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на конференциях: по методам комплексного анализа и интегральным уравнениям (Сухуми, 1987); "Линейные операторы в функциональных пространствах" (Грозный, 1989); ''Дифференциальные уравнения и оптимальное управление"1 (Ашхабад, 1990): ''Математические модели и краевые задачи" (Самара, 1990, 1991, 199G); '"Современные методы нелинейного анализа" (Воронен;, 1995): "Поктрягин ские чтения VII" (Воронеж, 199С). Результаты диссертации бьші представлены на Международной научной конференции '" Дифферсн циальные и интегральные уравнения. Математическая физика и спе циальные функции' (Самара, 1992).
Результаты работы докладывались и обсуждались на научны: семинарах: Новгородского государственного университета под ру ководством проф. А.II. Солдатопа (1994, 1995, 1996); Владттрскоп
государственного педагогического университета под руководством проф. В.В. Жикова (1096): факультета ВМиК М ГУ под руководством проф. Е.И. Моисеева (19%); МЭИ по дифференциальным уравнениям под руководством проф. Ю.А. Дубинского (1996).
Публикации автора. Основные р'\зультаіьт диссертации опубликованы в работах [1 -Э].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих девять параграфов, списка литературы из 104 наименовании. Объем диссертации составляет S1 страницу машинописного текста.