Об усреднении монотонных эллиптических операторов второго порядка Рычаго, Михаил Евгеньевич

Введение к работе

Актуальность темы. При рассмотрении математических моделей микропеоднородных сред их локальные характеристики, как правило, описываются функциями а(е~¹х), где є > 0 -малый параметр. При этом функция а(х) может быть периодической, почти периодической, реализацией однородного случайного поля или относиться к другому определенному классу. Процессы, протекающие в таких материалах, обычно описываются уравнениями с частными производными, решение которых сопряжено с большими трудностями, так как их коэффициенты быстро осциллируют. В связи с этим появляется необходимость построения усредненных моделей таких задач.

Сам термин усреднение обычно ассоциируется с методами нелинейной механики и обыкновенных дифференциальных уравнений, развитыми в трудах Пуанкаре, Ван дер Поля, Крылова, Боголюбова и др. Длительное время, начиная с прошлого века (работы Максвелла и Рэлея), вопросы усреднения для уравнений с частными производными изучались преимущественно физиками и механиками и оставались вне поля зрения математиков.

Систематическое изучение физических задач, приводящих к усреднению уравнении с частными производными было начато в семидесятые годы. Этот новый раздел дифференциальных уравнений с частными производными имеет многочисленные важные применения в теории композитных и перфорированных материалов, теории фильтрации, теории дисперсных сред и в других областях физики, механики и современной техники.

Теория усреднения краевых задач в перфорированных областях и тесно связанная с ней теория дифференциальных уравнений с быстроосциллирующими коэффициентами в настоящее время интенсивно развиваются многими отечественными и зарубежными математиками. Имеется ряд монографий, посвященных математическим вопросам усреднения. Это книги Марченко, Хруслова [1], Bensoussan, Lions, Papanicolau [2], Санчес-Паленсии [3], Бахвалова, Панасенко [4], Олейник, Иосифьяна, Шамаева [5], Жикова, Козлова, Олейник [6] и др., в которых также имеется обширная библиография работ по теории усреднения и связанным с ней прикладным задачам.

Рассмотрим некоторые вопросы усреднения в перфорирован-

ных областях. Перфорированной областью принято называть пересечение

nnQ_e, (1)

где Q. - фиксированная ограниченная область в Ш. , множество Q_e = eQ = {єх,х Є Q) - гомотетическое сжатие периодического открытого (не обязательно связного) множества Q С m.^N. Для наглядности можно представить себе, что Q - это внешность периодически расположенной системы шаров в ГО, .

Классический метод усреднения эллиптических краевых задач основан на продолжении решения и^є, заданного в перфорированной области, на всю исходную область ft с сохранением энергетических оценок. На идее продолжения базируются многочисленные работы по теории усреднения (см. работы Е.Я.Хруслова, D.Cioranesku к. J.Saint-Jean-Paulin, О.А.Олєйник, Г.А.Иосифьяна, А.С.Шамаева, Т.А.Шапошниковой, И.В.Скрыпника, А.А.Ковалевского и др.). Этот метод основан на предположении, что область Q не только связна в m^w (этого было далеко недостаточно), но удовлетворяет условию "сильной связности", что означает существование операторов продолжения

Р : W^l'^p{Sl П Q_e) -> И^'^Р(П)

со специальными оценками типа

[\Vtf\^pdx |Vu|^pdx,

где й — Р_еи^е, а константа cq не зависит от є. Существование таких операторов возможно только при определенных ограничениях на периодическую область Q. Наиболее общая формулировка такова: подходящие операторы продолжения существуют, если Q связна и удовлетворяет условию Липшица (см.[7]). Для не-липшицевых областей такие операторы могут не существовать, например, если Ш³ \ Q - плотная кубическая упаковка шаров в И³ (см. [6, с. 123]). Заметим, что в этом примере Q связна.

В 1985 году в связи с некоторыми задачами из прикладной теории вероятностей В.В.Жиков и С.М.Козлов высказали гипотезу: для доказательства свойств усреднения операторы продолжения не нужны вообще, а достаточно обычной связности Q

в Ш. . Обоснование этой гипотезы было дано В.В.Жиковым в 1993 году (см. [8]) применительно к линейным эллиптическим задачам в перфорированных областях. При этом выяснилось (см. [9], [10]), что условие связности можно ослабить. Речь идет о так называемом условии р-связности множества Q.

Дальнейшие исследования в этом направлении привели к естественному обобщению понятия р-связности множества Q до понятия р-связности произвольной периодической борелевской меры д. Это новое развитие техники усреднения нашло отражение в работах В.В. Жикова [10], [11] и в зарубежной литературе получило название "measure approach".

Целью работы является применение указанного нового подхода к усреднению нелинейных краевых задач второго порядка. При этом изучаются различные постановки, например: об усреднении нелинейных вариационных задач, об усреднении нелинейных невариационных эллиптических уравнений в перфорированных областях, а также вводятся новые объекты - монотонные эллиптические операторы на евклидовом пространстве с мерой, формулируется соответствующее понятие р-связности и строится обобщенная теория усреднения.

Общая методика исследования. В диссертации используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, функционального анализа и теории монотонных операторов, теории меры, а также техника усреднения дифференциальных операторов, основанная на методе компенсированной компактности и его обобщениях.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Доказана теорема усреднения для нелинейных вариацион
ных задач, частным случаем которых являются вариационные
задачи в перфорированных областях и вариационные задачи с
вырожденными интегрантами.

2. Доказана теорема усреднения для нелинейных монотон
ных эллиптических уравнений второго порядка в перфорирован
ных областях.

3. Установлены все основные свойства усреднения для моно
тонных эллиптических операторов второго порядка на эвклидо
вом пространстве с мерой.

Теоретическая и практическая значимость. Получен-

ные в диссертации результаты и развитые в ней методы носят теоретический характер и могут быть использованы при исследовании различных прикладных задач, например, краевых задач в теории композитных и перфорированных материалов, в теории неоднородных упругих сред.

Отдельные вопросы могут быть использованы при чтении спецкурсов в тех ВУЗах, в которых ведется работа по близкой тематике, таких как Московский государственный университет, Воронежский государственный университет, Харьковский государственный университет, Владимирский государственный педагогический университет и др.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов - 96" (Москва, МГУ, 199G), на конференциях "Понтрягинские чтения - VII", "Пон-трягинские чтения - VIII" (Воронеж, 1996, 1997), на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2000), а также на научных конференциях профессорско-преподавательского состава во Владимирском государственном педагогическом университете (1995 -1999гг.).

Многие вопросы, затрагиваемые в диссертации неоднократно обсуждались на научном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством профессора В.В.Жикова во Владимирском государственном педагогическом университете (1994 - 2000 гг.).

Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [15] - [23].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 11 параграфов и списка литературы из 33 наименований, включая работы автора. Объем диссертации составляет 64 страницы машинописного текста.