Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ . Диссертационная работа относится к спектральной теории дифференциальных операторов , в создание и развитие которой внесли большой вклад такие известные математики, как В.А.Стеклов , А.Хаар , Л.Д.Тамаркин , MB. Келдыш , Е.Титчмарш и продолжают вносить большие отечественные и зарубежные школы математиков и физиков. Такому интенсивному и плодотворному развитию теории способствует не только её внутренняя математическая красота , но (и это , возможно , важнее ) многочисленные и разносторонние приложения теории в различных задачах физики , квантовой и статистической механики , а также в задачах современных технологий , как , например, расчет ядерных реакторов , и д.р.
Объектом исследований в диссертации является одномерный оператор Шредингера с измеримым и ограниченным потенциалом на всей действительной прямой. Изучаемый класс операторов Шредингера включает в себя в качестве частных случаев такие важные для приложений операторы , как оператор Хилла и оператор Шредингера с почти периодическим потенциалом. Исследованию свойств оператора Хилла и оператора Шредингера с почти периодическим потенциалом посвящены работы как многих зарубежных математиков ( Б.Саймон , Д.Шенк ) , так и отечественных ученых московской математической школы С.П.Новикова , математической школы Л.Д.Фадеева в Санкт-Петербурге , украинской математической школы В.А.Марченко.
В диссертации изучается поведение образов Фурье функций классов Lp для самосопряженного расширения на всей
действительной прямой оператора Шредингера с измеримым и ограниченным на этой прямой потенциалом. Такая информация , как обнаружил В.А.Ильин1,2, играет важную роль для выяснения
1 Ильин В.А. Равномерная на всей прямой R равносходимость с
интегралом спектрального разложения , отвечающего
самосопряженному расширению оператора Шредингера с равномерно локально суммируемым потенциалом // Дифференциальные уравнения.-1995.- Т.31.-№ 12.-С. 1957-1967.
Ильин В.А., Антониу И. Равномерная на всей прямой R оценка отклонения от разлагаемой функции её спектрального разложения , отвечающего оператору Шредингера с ограниченным и измеримым потенциалом // Дифференциальные уравнения.- 1995.- Т.31.-№ 10.-С.1649-1657.
2 сходимости спектральных разложений и оценки скорости сходимости, а также для оценки спектральной функции .
Спектральная теория дифференциальных операторов , с логической точки зрения являющаяся развитием и обобщением теории рядов Фурье и интегралов Фурье , широко использует методы и результаты современной теории функций и функционального анализа и , в свою очередь , обогащает последние своими достижениями . Основные результаты , полученные в теории рядов Фурье и интегралов Фурье , изложены в широко известных монографиях Н.К.Бари , А.Зигмунда , Е.Титчмарша , СБохнера.
Совсем недавно В.А.Ильин3 обнаружил новое свойство коэффициентов Фурье , которое располагается между классическими результатами Ф.Рисса и Р.Пэли о коэффициентах Фурье функций из классов Lp,p>l,no равномерно ограниченным ортонормированным
системам. Более того , если не ставить вопроса о точности постоянных множителей , новое свойство строго сильнее результата Ф.Рисса. Этот результат В.А.Ильина послужил отправной точкой для исследований , проведенных в диссертации.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ . Получение оценок обобщенных образов Фурье функций из классов Lp,p> 1, для самосопряженного расширения на
действительной прямой R оператора Шредингера с измеримым и ограниченным на R потенциалом , являющихся аналогами указанных результатов В.А.Ильина.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА . В работе получены : 1) справедливая для любой функции из класса Lp(R),l сверху интеграла по спектральной мере от её образов Фурье через норму функции в Lp(R) и 2) справедливая для любой функции из класса Lq(R),q> 2, точная по порядку оценка её нормы через интеграл по спектральной мере от её образов Фурье. Все полученные результаты являются новыми не только для изучаемого самосопряженного расширения оператора Шредингера , но и для классических интегральных преобразований Фурье. ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. Доказательства основных результатов диссертации опираются на методику Ильин В.А. Ещё об одном обобщении неравенства Бесселя и ограниченной ортонормированной системе. // Труды Математического института им. В.А.Стеклова.- 1997.-Т.219.- (в печати ). з В.А. Ильина (см.сноску 1 и 2 ) и применение методов функционального анализа , связанных с пространствами Lp. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ . Результаты диссертации могут быть использованы для выяснения сходимости и , особенно , абсолютной сходимости спектральных разложений , а также для оценки спектральной функции . АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ . Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры общей математики под руководством В.А.Ильина, А.А. Дезина и Е.И.Моисеева. ПУБЛИКАЦИИ . Основные результаты опубликованы в статьях [1-3] . СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ . Диссертация состоит из пяти параграфов , первый из которых носит название введения. Объём работы - 55 машинописных страниц. Список литературы содержит 25 наименований.
теоремы Рисса-Фишера для ряда Фурье по равномерно