Введение к работе
Актуальность темы. В диссертации изучается асимптотика решений квазилинейных эллиптических и параболических уравнений и систем в цилиндрической области с граничными условиями смешанного типа, то есть в случае, когда на части боковой поверхности цилиндра заданы однородные условия Дирихле, а на остальной части этой поверхности заданы однородные условия Неймана. В частности, описаны асимптотики решений модельного уравнения
Ди(х)-|иГ~'а = 0, р>\ (1)
при хп - ч-оо , заданных в цилиндре
5(0,+00)= {(х, х„)| х' = {х„...,х„ ,) єй) с: Л""1, 0 <хп < +ж}
со смешанными условиями на боковой поверхности цилиндра.
Аналогичная задача для линейных уравнения рассмотрена в работе [1]. Получены асимптотические свойства при хп —>+со решений уравнения Аи(х) - f(x) = 0 в полуцилиндре со смешанными граничными условиями на боковой поверхности цилиндра в зависимости от емкости множества, где выполняются граничные условия Дирихле.
Уравнения типа (1) возникло при моделировании многих физических явлений. В частности, в теории Томаса-Ферми взаимодействие между атомами в первом приближении приводит к следующему уравнению
Л 2 du г-
-ТТ + -—-и2=0. (2)
аг г аг
Особенности и асимптотическое поведение любого решения
[1] Т.М.Керимов, В.Г.Мазья, А.А.Новрузов, Аналог критерия Винера для задачи Зарембы в цилиндрической области. Функциональный анализ и его приложения, 1982, Т.16, вып. 4, 70-71.
уравнения (2) хорошо изучено(см. [2],[3]).
Впервые в 1907 году Эмденом были рассмотрены положительные и радиальные решения уравнения (1). Позже это уравнение изучалось в работе [4]. В работе [5] изучается монотонность, симметрия и асимптотические свойства на бесконечности решений некоторого класса нелинейных эллиптических уравнений, заданных в цилиндрической области. В работе [6] получены асимптотические свойства на бесконечности решений как для некоторого класса дифференциальных неравенств, так и для модельного уравнения (1) в цилиндрических областях с граничным условием Дирихле или Неймана на боковой поверхности цилиндра. Кроме того, рассмотрен случай, когда решение меняет знак, а в работе [7], когда решение знакопостоянное.
В работах [8-10] рассмотрен более широкий класс уравнений, а именно рассмотрено уравнение
[2] A.Soramerfeld, Asymptotishes integration der differential-gleichung des Thomas-Fermichen atoms. Z. fur Phys.,78,28.3-308, (1932) .
[3] E.Kille, Some aspects of the Thomas-Fermi equation. J. Analyse Math., 23, 147-170, (1970).
[4] R.H.Fowler, Further studies on Emden's and similar differential equations. Q.J1.Math.,2,259-288(1931).
[5] H.Berestycki, L.Nirenberg, Some qualitative properties of solution of serailinear elliptic equations in cylindrical domains. Analysis, ed. by P.Rabinovitz, New York, Academic Press 1990,p.114-164.
[6] V.A.Kondratiev, O.A.Oleinik, On asymptotic behaviour of solutions of some nonlinear elliptic equation in unbounded domains.Partial differential equations and related subjects. Preceeding of the conference dedicated to Louis Nirenberg Longman, 1992. p. 163-195.
[7] V.A.Kondratiev, O.A.Oleinik, Some results for nonlinear elliptic equations in cylindrical domains.Operator Theory: Adva. AndAppl., Vol.57, 185-195(1992).
Ци(х))-аМР~1и= -57<в(,(х')77-) + аІ(х')-^--а0,МР'і" = 0,
t.r\c ' 1 і-' 1
в ^(O.qo) с граничным условиям Неймана на боковой поверхности цилиндра.
В работе [11] для одного класса неоднородных полулинейных эллиптических уравнений доказана однозначная обобщенная разрешимость задачи Дирихле, задачи Неймана и смешанной краевой задачи в неограниченной области без каких-либо предположений о росте обобщенного решения и свободного члена уравнения на бесконечности, и получена асимптотика решений задачи Дирихле на бесконечности.
Асимптотические свойства решений нелинейных параболических
уравнений рассматривались в работах [12-16]. В [12-13]
изучалось асимптотическое поведение решений первой и второй
краевой задачи в цилиндрической области, а также задачи Коши
для уравнения вида
ди , .„ ,
—-Ди+М и=0.
В работе [14] был получен первый член асимптотики решения
второй краевой задачи в цилиндрической области для
[8] O.A.Oleinik, Some asymptotic problems of the theory of partial differential equations. Lezioni Lincei, Accademia Naz. Dei Lincei. Cambridge: Cambridge University Press,1995.
[9] V.A.Kondratiev, O.A.Oleinik, Boundary value problems for nonlinear elliptic equations in cylindrical domains. J. Partial Diff. Eqs., Vol 6, № 1, 10-16(1993).
[10] В.А.Кондратьев, О.А.Олейник, О поведении на бесконечности решений одного класса нелинейных эллиптических уравнений в цилиндрической области. ДАН, 1995, том 341, № 4, с.446-449.
[11] J.I.Diaz, O.A.Oleinik, Nonlinear elliptic boundary-value problems in unbounded domains and the asymptotic behaviour of its solutions. C.R.Acad.Sci.Paris, t.315, Serie 1, p.787-792 (1992) .
слабо-нелинейного уравнения теплопроводности.
В работе [15] изучается поведение при / —> оо решений уравнения
в цилиндрической области, удовлетворяющих краевому условию Неймана на боковой поверхности цилиндра. Исследована задача в случае, когда решение меняет знак, то есть решение принимает как положительные, так и отрицательные значения при сколь угодно больших значения координаты, направленной вдоль оси цилиндра, и когда решение знакопостояное.
В работе [16] рассмотрены вопроси об асимптотике при t —> оо решений краевой задачи Неймана для нелинейных параболических уравнений и систем, предложен метод средних функций.
Цель работы- исследование асимптотических свойств решений нелинейных эллиптических и параболических уравнений и систем в неограниченных областях.
[12] A.Grima, L.Veron, Asymptitic Behaviour of the Solution of a Semilinear Parabolic Equation. Monatshefte fur Math.,Bd.94, S.299-311(1982).
[13] A.Grima, L.Veron, Large Time Behaviour of the
Solutions of a Semilinear Parabolic Equation in R" . J.Diff.Eq., Vol 53, №2, 258-276(1984).
[14] P.Baras, L.Veron, Part.Diff.Eq., Vol. 4(7), 795-807(1979).
[15] В.Н.Арефьев, В.А.Кондратьев, Асимптотическое поведение решений второй краевой задачи для нелинейных параболических уравнений. Дифф.Уравн., Том 29, № 12, с.2104-2116(1993).
[16] В.А.Кондратьев, О.А.Олейник, Об асимптотике при больших значениях времени решений эволюционных уравнений и систем. УМН, т.51, вып.5, ст.159-160(1996).
Методы исследования. В диссертации используются методы теории линейных и квазилинейных уравнений с частными производными (различные варианты принципа максимума для эллиптических и параболических уравнений, теоремы сравнения, а также метод энергетических неравенств).
Научная новизна. 1) Получена асимптотика на бесконечности решений нелинейных эллиптических уравнений в полуцилиндре с граничными условиями смешанного типа на его боковой поверхности. 2) Получена асимптотика решений нелинейных параболических уравнений при неограниченном возрастании времени в полуцилиндре с граничными условиями смешанного типа на его боковой поверхности. 3) Аналогичные задачи рассмотрены для квазилинейных параболических и эллиптических систем.
Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер и может представлять интерес для специалистов в области уравнений с частными производными и математической физики.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международной конференции, посвященной 95-летию И.Г. Петровского, в Москве, на семинаре академика РАН О.А.Олеиник и семинаре профессора Е.М.Ландиса и профессора В.А.Кондратьева.
Публикации. По теме диссертации опубликовано две научные работы. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, Л глав, разбитых на 13 параграфов, и списка литературы, содержащего 57 наименования. Объем диссертации 104 страницы.