Введение к работе
Актуальность то.:.*.*. Задача Коли для дифференциальных уравнений и снегам является класс:г;есклм объектом теории дкфф.ерон-цкалъкых уравнений. Однако, з то время как для о Личных (определенных) слетам уравнений задача Коли детально после дова-лась а огромном количестве работ, изучение задачи Коли для переопределенных спетом находится з настоящее зремл в начате пути. Это определяется.по-вдзлг.'оі.гу, .двумя факторами. Первый связан с нетрадпционностыз с точки зрения дифференщиальшгх уравнений предмета исследования ' (при этом заметим в скобках, что с -точки зрения смєгїічгх дисциплин, таких как дігріе-ренциальнал геометрия, теория псевдогрупп л т.п. переопределенные системы суть ебкч.чые объекты и их изучение является яасуцной необходим стъ:о). Второй - з принципиальной разнице поста.новхи задачи .для определенных л переопределенных систем. Действительно, заметим, что по сравнении с (классической) задачей Коли для определенных систем при изучении задачи Коли в случае систем переопределенных возникает ряд дополнительных эффектов, связаіпгцх, во-первых, с не тривиальностью постановки задачи Коли (начальные даннке Коли для переопределенных систем, в отличие от классической постановки задачи Коли могут быть заданы .на подмногообразии коразмерности больло едннпкы) и, во-вголіх, с пг обхоиимосты? согласования зхоянігх данных затачн.
.енгалыпгх троктапв. солгр-
Постановка задачи Коши для переопределенных систем детально обсуждается в тексте диссертации, а здесь ш заметим лишь, что в нашем случае носитель начальных данных является (во всяком случае, как правило) не подмногообразием коразмерности Ї, как это имеет место в классическом случае, а Флагом, то есть последовательностью вложенных многообразий.
Отметим.также, что при постановке задачи Коши в случае переопределенных систем возможны ситуации, когда в данных Коши задаются производные, которые определяются и из системы. Такие задачи называются переопределенными. Возможен случай, когда условия Коши недостаточны для обеспечения единственности решения задачи. Такие постановки называются недоопределенными. Если данные, задаваемые в условиях Коши, являются минимальными в том смысле, что они обеспечивают единственность решения, но при выбрасывании каких-либо производных из условий Коши единственность решения теряется,то такие постановки задачи Коши будут называться правильными.
Вопрос о правильной постановко задачи Коши является нетривиальным, и цель работы как раз и состоит в описании правильных постановок задач для широкого класса переопределенных систем, доказательстве соответствующих теорем существования и единственности в классе голоморфных функций и изучении условий согласования.
Научная новизна работы состоит в том, что в диссертации впервые
дан критерий правильности постановки;
найдены все правильные постановки задачи Коши для переопределенных систем;
доказана однозначная разрешимость поставленных задач в классе голоморфных функций.
Приложения. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применения в общей теории дифференциальных уравнений с частными производными, дифференциальной геометрии, других разделах математики.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на конференции молодых ученых МГУ в 1988 году, а также на семинаре по теории дифференциальных уравнений кафедры общей математики.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в двух статьях, ссылки на которые приведены в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из четырех глав, введения и списка литературы, содержащего 22 наименования.