Введение к работе
Актуальность темы. В дпссэртацип изучаются свойства решенпп задачи Кошп і начально - краевых задач для уравнений впда
Аи := (lu^sgnu), - (a|(|»rsgnM)I|':sgn(|u|msgnH)r)x-
(b|u|"sgnu)r + c|u|rsgnu = 0, (1)
где положительные показатели р, т, к, п и г, а также коэффициенты а > О, Ь и с могут зависеть от х и t.
Уравнения такого вида описывают, в частности, теплопередачу пли диффузию в нелинейной среде, течение жидкости или газа через пористый грунт, обтекание твердого тела вязкой жидкостью, горение плазмы, динамику биологических популяций.
' Уравнение (1) является параболическим при и их ф 0 и может вырождаться, если и или их обрашается в нуль. Такие уравнения принято называть неявно вырождающимися параболическими уравнениями.
К середине 50-х годов для различных уравнений вида (1) Буссинеском, Л.С.Лейбензоном, П.Я.Кочиной, Я.Б.Зельдовичем, А.С.Компанейцем, Г.И.Ба-ренблаттоми другими учеными было найдено много частных решений. Оказалось, что некоторые из них обладают свойством конечной скорости распространения возмущений, а также не имеют предписанной соответствующим уравнением гладкости и фактически удовлетворяют ему в обобщенном смысле.
В 1957 г. в работе О.А.Олейнпк [1] было введено физически мотивированное понятие обобщенного решения задачи Кошп для уравнения (1) с Ъ = с = 0, р = к = 1, т = const > 1 (а также для некоторых более общих уравнений),"доказаны теоремы о существовании и единственности обобщенного решения. Эта работа положила начало построению математической теории неявно вырождающихся параболических уравнений.
В статье О.А.Олейнпк, А.С.Калашникова, Чжоу Юйлиня [2] помимо
[1] Олепнпк О.А. Об уравнениях тппа уравнений нестационарной фильтрации//ДАН CCGP. 1957: Т.113, N&. С.1210-1213.
[2] Олейник О.А., Калашников А.С, Чжоу Юйлинь. Задача Копш. и краевые задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации// Изв. АН СССР. Сер. мат. 1958. Т.22, N5, С.667-704.
новых теорем существования и единственности были доказаны разлпчньн варианты принципа максимума для обобщенных решений, а также ряд пред ложений о налпчпп конечной скорости распространения возмещений.
В последующие годы исследование уравнений вида (1) с постояннымг показателями р. т. к. п. г было продолжено многпмп авторами. Проводили качественный анализ обобщенных решений. В частности, изучались следующие эффекты.
A) Неограниченное возрастание скорости распространения возмущений
("исчезновение фронта"). Этому эффекту посвящены работы Камин и Керш-
нера [3], Пелетье-мл.[4].
Б) Локализация возмущений.. Впервые она была описана Л.К.Мартинсоном и К.Б.Павловым [5].
B) М"'-овенная компактнфпкация носитек.4 решения. Первые результаты
по этой тематике для уравнений вида (1) оыли опубликованы Эвансом и
Кнерром [6].
Г) Полная стабилизация за конечное время. Данный эффект был открыт Е.С.Сабининой [7].
Д) Внутренняя стабилизация за конечное время. Это явление обнаружено Кершнером [8].
[3] Kamin S., Kersner R. Disappearance of interfaces in finite time// Mecca-nica. 1993. V.28. P.117-120.
[4] Peletier M.A. A supersoiuron ior the porous media equation wit? nonuniform density// AppLMath. Lett. 1994. V.7, N3. P.29-32.
[5] Мартинсон Л.К., Павлов К.Б. Нестационарные сдвиговые течения проводяшей жидкости со степенным реологическим законом// Магнитная гидродинамика. 1971. N2, С.50-58.
[6] Evans L.C., Кпегг B.F. Instantaneous shrinking of the support of nonnega-tive solutions to certain nonlinear parabohc equations and variational inequalitis// Ш. J. Math. 1979. V.23, N1. P.153-166.
[7] Сабинина E.C. Об одном классе нелинейных вырождающихся параболических уравнений// ДАН СССР. 1962. Т.143, N4. С.794-797.
[8] Кершнер Р. О поведении температурных фронтов в средах с нелинейной теплопроводностью прч наличии поглощения// Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Мат., мех. 1978, N5. 0.44-51.
Обзоры ряда результатов по теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений можно найти в статьях Ю.А.Дубпнского [9], С.Г.Крепна и М.И.Хазана [1Q], Аронсона [11], А.С.Калашникова [12], А.В.Иванова [13].
В последнее время усилился интерес к процессам теплопередачи п диффузии в существенно неоднородных и существенно нелинейных средах. Такие процессы проходят при изменяющихся режимах потока, и для построения адекватных математических моделей в ряде случаев приходится использовать уравнения вида (1) с переменными показателями р, т, к, п или г.
Число публикаций, посвященных подобным уравнениям, невелико. Укажем статью В.Н.Самохина [14], содержащую некоторые теоремы существования и единственности, а также близкие по тематике работы А.А.Злотнпка п А.А.Амосова [15], В.В.Жикова [16], где имеются дальнейшие ссылки.
. А.С.Калашников [17] исследовал свойства решений задачи Копш для уравнения (1) с р = т = к = а = 1, Ь = 0 и переменным показателем г, который
[9] Дубинский Ю.А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения// Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. М.: Изд-во ВИНИТИ, 1976. Т.9. С.5-130.
[10] Крейн С.Г., Хазан М.И. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве// Итоги науки и техники. Математический анализ. М.: изд-во ВИНИТИ, 1983. Т.21. С.130-264.
[11] Aronson D.G. The porous medium equation// Lect. Notes Math. 1986. V.1224. P.l-46.
[12] Калашников A.C. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка// УМН. 1987. Т.42, N2. С.135-176.
[13] Иванов А.В. Квазилинейные параболические уравнения, допускающие двойное вырождение// Алгебра и анализ. 1992. Т.4, N6. С.114-130.
[14] Самохин В.Н. Об уравнениях политропной фильтрации с переменной нелинейностью// УМН. 1994. Т.49, Вып.З. С.189-190.
[15] Амосов А.А., Злотник А.А. Обобщенные решения "в целом" уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа// ДАН СССР. 1988. Т.301, N1. С.1303-1307.
[16] Жиков В.В. О переходе к пределу в нелинейных вариационных зада
чах// Мат. сб> 1992. Т.183, N8. С.47-84. '
[17] Калашников А.С. О нелинейных явлениях в нестационарных процес сах, описываемых асимптотически линейными уравнениями// Дифференц. уравнения. 1993. Т.29, N3. С.381-391.
зависит от х или от t, отличен от единицы при конечных значениях своего аргумента, но может стремиться к единице при его неограниченном возрастании. В [17] найдены точные условия, обеспечивающие наличие мгновенного взрыва в случае г = г(х) > 1 и с — с(х) < 0, мгновенной компактифпкацпп носителя в случае г = г(х) < 1 и с — с(х) > 0 , полной стабилизации за конечное время в случае г = r(t) < 1 и с = с(г) > 0 (последний эффект исследован также для первой краевой задачи при тп= к = а = 1,р = p(t) > 1, Ь=с=0).
В главах 1,11 настоящей диссертации изучается ряд эффектов, не рассмотренных в [17], а затронутые там явления анализируются в иных по сравнению с [17] ситуациях.
Присутствие в уравнении младшего члена типа " суперлинейного источника" может вызвать эффект так называемого теплового взрыва, т.е. неограниченного возрастания решения за конечное время. К числу первых публикаций на эту тему относятся статья Каллана [18], а также работа Фужиты [19], где даны условия наличия и отсутствия теплового взрыва в задаче Коши для некоторых уравнений вида (1) при с < 0, г = const > 1, р = 1. Большое число результатов по этой тематике, а также обширный список литературы приведен в монографии А.А.Самарского, В.А.Галактионова, С.П.Курдюмова и А.П.Михайлова [20].
Другой причиной теплового взрыва может служить наличие нелинейного граничного условия в начально - краевой задаче. Соответствующие результаты имеются в статьях Филы и Фило [21], Су Нина [22].
[18] Kaplan S. On the growth of solutions of quasilinear parabohc equations// Comm. Pure Appl. Math. 1963. V.16. P.305-330.
[19] Fujita H. On the blowing up of solutions to the Cauchy problem for ut = Au + u1+a// J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sect. I. 1966. V.13. P.109-124.
[20] Самарский A.A., Галактионов В.А., Курдюмов СП., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.
[21] Fila М., Filo J. Blow-up on the boundary: a survey. Preprint.
[22] Su Ning. Global existence and blow-up of solutions for nonlinear parabolic equations with forced flux conditions// Appl. Math. Dept. Tsinghua University. Beijing, China, 1995.
Вопросу о глобальной разрешимости задачи Кошп и начально - краевых задач для уравнений впда (1) с переменными коэффициентами и показателями посвяшена глава III настоящей диссертации.
Цель работы — исследование нелинейных эффектов для неявно вырождающихся параболических уравнений, содержащих степенные функции от решения с переменными показателями.
Методы исследования. В диссертации используются метод вспомогательных функций тппа обобщенных супер- п субрешений, а также метод энергетических неравенств.
Научная новизна. 1. Получены новые неулучшаемые результаты о нелинейных эффектах в краевых задачах для неявно вырождающихся параболических уравнений, содержащих Степенные функции от искомого решения с переменными показателями. 2. Впервые исследованы свойства решений нестационарных уравнений с градиентными нелинейностями изменяющейся формы. 3. Впервые подвергнуты качественном}' анализу краевые задачи с нелинейностями переменного вида в граничных условиях.
Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер и может представлять интерес для специалистов в области уравнений с частными производными, а также механики сплошных сред, математической биофизики.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семнадцатой совместной сессии семинара имени И.Г.Петровского и Московского математического общества в январе 1995 г., на семнадцатой конференции молодых ученых МГУ в апреле 1995 г., на семинаре академика РАН О.А.Олейник в ноябре 1995 г.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 научных работы. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на 7 параграфов, которые в свою очередь делятся на пункты, и списка литературы, содержащего 108 наименований. Объем диссертации - 90 страниц.