Введение к работе
Актуальность тем. В слое Х> = 7R х(0,Т), (Т > О фиксировгто) рассматривается равномерно—параболическое уравнение произвольного порядка 2 m( m. - натуральное)
if-u. = ^t -м- + (-1) ^ л (Р)"Эи +
+ Z. а (Р)Э u = о-, (і)
Ifli2m-i l
P=(x.t)=(oc * ,t),^ =( .:.., ) -
"пространственный" градиент, I =( ?,..., і )- мультяиндекс, a(P)6 = Л a (Р)б" ( Є є IR"") - форма степени 2m.
Вещественнозначныв коэффициенты уравненяя (і) удовлетворяют условиям:
(3S070) ( УРєї> . УбеТ^), a(P)6 3>S0!6l2r^(2) ( 3 а(о.і)), а, є с ' (3 ) / ІИ б 2т). (з)
[1]С.Д.Эйдельман.Параболические уравнения.В кн.:Итогя науки и техн.Сер.совр.пробл.мат.Фунд.напр.ВИНИТИ. IttOr.,T.63,с.201-313.
имеющих непрерывные в ii производные Q 41 ( J/1 4 к. ),с
нормой
и и»an =22 \ *ap ^ ^ +
|П4к -П.
+ Лир ; г \ + Л, *ир .
Кроме того, рассматриваем подпространства
Ск"*(П.)= {
В диссертация исследуется однозначная разрешимость (в
2m-i,A
классическом смысле) в, пространствах С (О.) краевых задач для уравнения (1) с порядками граничных операторов і 2т-і в нециллндрических, вообще говоря, областях, "бо-ков'ая поверхность" которых может быть негладкой (not). Как, инструмент решения таких задач используется потенциал, обобщающий на случай произвольного т. классический параболический потенциал простого слоя, порожденный фундаментальным решением (ф.р.) . Использование этого потенциала относится к методам теории потенциала, или, иначе говоря, к методам граничных интегральных уравнений,' поскольку смысл привлечения потенциала состоит в редукции краевой задачи к решению интегрального уравнения (системы) на границе области.
Исследование свойств одномерных (а=1) теплсЛых потенциалов (т.е. потенциалов для уравнения теплопроводности) и
приложение их к репениа краевых задач в областях с криволинейными боковыми границами было начато в 1&07-13гг. в классических работах Хольмгрена, Леви и Зевре, см. [2},[3], [4]. Зате'! в ІЬ34г. Г.Мштц исследовал тепловые потенциалы для а = 2,3, [5]. В IS38r. A.H.Thxqhob в своей глубокой работе [63 изучал тепловые потенциалы и разрелииость краевых задач в многомерном случае п.»1. После построения фундаментальных решений для общих параболических уравнений 2-го
[2] E.Holmgren. Sur une application de 1'equation de M.Vol-terra.Arc.Math.Aatr.Fya.,v.3,N 12,1907.
[3lE.E.Levi.Su d'equaziona del calore.Ann.raat.,ser.3,v.14, 1908,p.187-264.
[ Іев equatone aux deriveee partielles du type parabolique.J.Math.Pur.Appl.,ser.6,v.9,N 4,1913,p.305-471.
[Я Г.Мштц. Интегральные уравнения.т.І.Л.-М.Гостехтеоретиз-дат,Ь34.
Сб^А.Н.Тихонов.Об уравнении теплопроводности для нескольких переменкых.Бгалл.МГ/,секц.А,т.2,вып.9,1Ь38, с.1-45.
порядка, как средство решения краевых задач для таких уравнений .стали использоваться параболические потенциалы, порожденные ф.р., см.,например, работу А.А.Самарского 73. Важную часть теории параболических потенциалов составили работы 60-х годов В.Погожельского, в которых исследовались свойства потенциала простого слоя в многомерных цилиндрических областях. В [83 эти результаты использовались им для решения краевых задач, а затем били обобщены А.Пискорекоы на случай нецилиндрических областей,см. [9]. Дальнейшее развитие теория параболических потенциалов получила в 70-80гг. В работах Ван Туна изучалась гладкость тепловых потенциалов в одномерном случае, а также рассматривались некоторые свойства поверхностных потенциалов, см. [10]. В серии работ
[7}А.А.0амарский.Уравнения параболического типа с разрывными коэффиционташ.ДАН СССР,т. 121,J2,1958,с.225-228.
[81
Pogorgelaki.Probldmes aux limitea pour l'equation para-
bolique normale.Ann.Pol.Hath.,v.^,N 1,1957»P»110-126. l9)A.Piscorek.Sur certains problemes aux limites pour
1'equation parabolique dans un domaine non cylihdrique.
Ann.Pol.Math.,v.16,N 1,1964-, p. 101-116. [ЮЗВан Тун.Проотранства B^'X) д теори' теплового потвн_
ци ала.Канд.дисс.М.,1964.
Л.И.Камынина (см..например, [Ш) исследовалась гладкость ть~ иловых потенциалов в общем случае нецилиндрических поверхностей-носителей. В IS7I-72rr. Л.И.Камынин построил систематическую теорию гладкости параболических потенциалов для одномерного параболического уравнения с негладкими кривыми-носителями, см. [I2J. В работах автора был построен обобщенный потенциал простого слоя для одномерного параболического уравнения порядка 2«л и использован в [ІЗ ] для реления краевых задач в областях с негладкими, вообще говоря, боковыми границами.
В случае одной пространственной переменной ( п. =1) с помощью потенциала простого слоя в существующей научной литературе решаются как первая, так и вторая краевые задача для параболического уравнения второго порядка (пг=1). При втом вторая краевая задача сразу редуцируется к интегральному уравнениеВольтерра второго рода о ядром, имеющим слабую
[ЛЗЛ.И.Каыыкин.О гладкости тепловых потенциалов.Диф.ур., т.4,Я5,1Ь68,с. 881-895.
[123Л.И.Камынин. К теории Невре для параболических потенциалов.Диф.ур., Т. 8,:№6,1972, с. І0І5-І025.
[ШЕ.А.Бадерко. О разрешимости граничных задач для параболических уравнений высокого порядка в областях с криволинейными боковыми границами.Дифф.ур.,т.12,М0,1976,с.1781-1792.
особенность, которое легко решается методом последовательных приближений. Первая краевая задача редуцируется к уравнению первого рода, которое с помощью дифференцирования порядка 1/2 приводится к эквивалентному уравнению второго рода с ядром, иыегазим слабую особенность.
В случае-же многих пространственных переменных (пъ2) применение потенциала простого слоя ограничивается лишь второй краевой задачей, когда на боковой границе задаются значения производной решения по конормали. Такое сильное сужение сферы использования потенциала простого слоя объясняется тем, что первая краевая задача редуцируется с его помощью к интегральному уравнению первого рода, а задача с наклонней производной - к уравнению хотя и второго рода, однако - с ядром, не являющимся .вообще говоря, абсолютно интегрируемым (кроме случай второй краевой задачи). Исследование этих интегральных уравнений оказалось более трудной задачей, чеі* аналогичный вопрос в одномерном (rv=I) случае. Для общего уравнения (і) порядка 2т к этому добавляется необходимость подходящего выбора ядра для потенциала и решения не одного, а системы интегральных уравнений, если т. у/2.
В диссертации вводится обобщенный потенциал простого слоя для уравнения (і), а затем исследуется однозначная разрешимость систем интегральных уравнений, к которым, посредством этого потенциала, редуцируются краевые задачи для уравнения (і) в общем случае гг 7/1, т.7/1. Введенный потенциал при па =1 совпадает с классическим потенциалом простого слоя, порожденным ф.р.
цель работы. I) Построение обобщенного потенциала проито го слоя для уравнения (I) и исследование его гладкости .
-
Решение интегральных уравнений (систем), к которым рв-дупяруютгч краевые задачи для уравнения (I).
-
Установление существования я .единственности решения
, ч 2лг-1,<* к
краевых задач для уравнения (І) в пространствах С (П),
Общая методика исследования. Для изучения потенциала простого слоя автором разработан метод, кс^рый дает новые результаты (при т^2), а также упрощает доказательство известных фактов ( m.=I).
Автором в многомерном случае ( п. 7/ 2) разработан метод решения систем интегральных уравнения типа Вольте.ра (первого и второго рода), к которым редуцируются параболические краевые задачи.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах автора. Перечислим их.
-
Введен и исследован в пространствах Гельдера потенциал для уравнения (і), совпадающий при т =1' о классическим параболическим потенциалом простого слоя, порожденным ф.р.
-
Исследована однозначная разрешимость систем граничных интегральных уравнений, к которым, посредством введенного потенциала, редуцируются линейные краевые задачи для уравнения (1) с порядками граничных операторов * 2т -I.
3)Доказана однозначная разрешшость в классах Гельдера
краевых задач для уравнения (1) в нецилиндрических
областях. 7
Приложения. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут найти применение в дальнейших исследованиях различных задач для параболических уравнений и систем, линейных и нелинейных. Она может служить теоретической основой для численных исследований задач тепло- и массопере-носа методами граничных интегральных уравнения (граничных элементов).
Апробация работы. Результаты диссертацин неоднократно докладывались на научно-исследовательских семинарах на фа». культете вычислительной математики и кибернетики к механико-математическом факультете МГУ, в математическом институте им.В.А.Стеклова РАН и в его Петербургском отделении. О результатах диссертации делались доклады на всесоюзных конференциях по уравнениям с частными производными им.И.Г.Петровского (Москва) в 1985,1987,1989 и 1991гг., на международной конференции "Новейшие достижения советских математичес-, ких школ"(Будапешт, 1987г.), на всесоюзной школе ".функциональные методы в прикладной математике и математической физике" (Ташкент,1988г.), на всесоюзных конференциях по дифференциальным уравнениям (Ашхабад,1990г.) и краевым задачам для дифференциальных уравнений (Алма-Ата,1991г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [О - [8], приведенных в конце автореферата. Среди них работ, написанных в соавторстве нет.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из трех частей, заключающих в себе 31 параграф. Общий объем диссертации 211 стр. Список литературы содержит 105 названии.