Введение к работе
Актуальность темы.
.Диссертация посвящена исследованию гладкости обобщенных решений стационарных краевых задач деформационной теории пластичности и модифицированных уравнений Навье-Стокса для жидкостей с нелинейной вязкостью. Существование обобщенных решений в задачах теории жидкостей с нелинейной вязкостью (которые иногда называют обобщенными ньютоновскими жидкостями) было доказано в работе [6]. Разрешимость вари-ациогшых задач деформационной теории пластичности устанавливается на основе прямых методов вариационного исчисления (см., например, книгу [14] по многомерным вариационным задачам). Гладкость решений этих задач во внутренних подобластях была установлена в работах Г.А. Серегина, Ю. Фрезе и ряда других математиков. В диссертации устанавливается гладкость решений в подобластях, примыкающих к границе.
В работах Ч. Морри и позже в работах Ф. Альмгрена, Е. Ле Джорджи, Е. Джусти, М. Миранды, М. Джаквинты, Г. М о дики, И. Нэчаса, А.А. Архиповой и других математиков были разработаны различные методы изучения гладкости обобщенных решений обширных классов нелинейных эллиптических систем и вариационных задач в пространствах векторозначных функций. В конце 60-ых годов Де Джорджи и другими были построены примеры задач такого типа, для которых существуют обобщенные решения, не являющиеся всюду гладкими функциями. Эти примеры подтвердили, что частичная регулярность обобщенных решений, доказанная Ч. Морри для широкого класса эллиптических систем, отвечает существу дела.
Системы дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих малые деформации упруго-пластических тел в рамках деформационной теории пластичности или стационарное течение жидкостей с нелинейной вязкостью, не принадлежат классам эллиптических систем, изучавшимся Морри и др. Их исследование требует разработки дополнительных приемов.
Представляют также интерес задачи нелинейной теории упругости в рамках вариационных постановок Дж. Болла. По сути дела, единственным результатом в этой области является теорема существования решения с конечной энергией, доказанная Боллом в 1977 году. До сих пор не известно, удовлетво-
ряет ли минимайзер вариационных задач уравнениям Эйлера-Лагранжа. Не доказана даже сходимость метода конечных элементов. Поэтому любая информация о свойствах функций энергетического класса для функционалов нелинейной упругости представляется интересной.
Цель работы. Целью диссертации является:
-
Изучение граничной регулярности минимайзеров выпуклых вариационных задач, интегрант которых зависит от симметричной части градиента искомой функции и имеет степеїшой рост с показателем меньше двух.
-
Изучение граничной регулярности обобщенных решений краевых задач, описывающих стационарное течение обобщенных ньютоновских жидкостей в случае, когда диссипативный потенциал имеет квадратичный порядок роста.
-
Изучение граничной регулярности обобщенных решений двумерных краевых задач, описывающих медленное стационарное течение обобщенных ньютоновских жидкостей в случае, когда диссипативный потенциал имеет степенной рост, близкий к двум.
-
Изучение вопроса о возможности аппроксимации кусочно-линейного гомеоморфизма гладкими функциями с положительным якобианом.
Методика исследований. При изучении гладкости обобщенных решений краевых задач используется неявная схема исследования частичной регулярности решений нелинейных эллиптических систем и техника, основанная на применении.обратных неравенств Гельдера. Установлен ряд интегральных неравенств, представляющих собой явные оценки вторых производных решений рассматриваемых задач. Доказательство полной регулярности в некоторых двумерных задачах (в задаче о плоской деформации тонкой пластины и в задаче о плоско-параллельном течении жидкости с убывающей вязкостью) проводится при помощи "hole filling trick".
Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для доказательства сходимостей и оценке погрешностей численных методов в задачах механики.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на общегородском семинаре по математической физике в Санкт-Петербургском отделении Математического института имени В.А. Стеклова.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1], [2], [3], [4].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, трех глав, разбитых на параграфы, и двух приложений. Объем диссертации - 136 страниц в TgX'e. Список литературы содержит 86 наименований.