Введение к работе
Актуальность темы
Разрешимость краевых задач с давних пор служит предметом внимания многих математиков и имеет большое теоретическое и практическое значение. Теория краевых задач для уравнений смешанного типа - относительно новое направление, возникшее в 20-е годы нашего столетия в связи с рассмотрением задач трансзвуковой газодинамики и бурно развивающееся в последние десятилетия. Начало этой теории было положено Ф.Трикоми в 1923 г., который поставил краевую задачу для уравнения:
yuxx + uyy = 0
в области, ограниченной при у > 0 простой дугой Жордана Г с концами в точках А (0,0) и В (1,0), а при у<0-характеристиками уравнения (2), выходящими из точек А и В и пересекающимися в некоторой точке С, при этом граничные значения заданы на Г и на характеристике АС. Трикоми доказал существование и единственность решения этой задачи, причем полученное им решение было непрерывным во всей области, включая границу, а для первых частных производных этого решения допускалась
- 2 -особенность порядка не выше 2/3 при стремлении к точкам А и В; внутри области производные оставались непрерывными. Впоследствии такие решения получили название регулярных.
В дальнейшем, в теории краевых задач для уравнений смешанного типа были получены многие важные результаты, в частности, теоремы о существовании решения широкого класса задач, теоремы о единственности решения, принцип экстремума (работы Г.Геллерстедта, А.В.Бицадзе, Ф.И.Франкля, М.Проттера и др.).
Последующее развитие теории происходило по многим направлениям: обобщенная разрешимость краевых задач, уравнения со спектральным параметром, уравнения с младшими членами, уравнения смешанного типа второго рода, неклассические задачи и т.д. Применительно к теме настоящей диссертации, выделим из них следующие.
Во-первых, это представление решения краевой задачи в виде разложения по некоторой системе функций. Этот вопрос тесно связан с возможностью применения метода разделения переменных, что резко сужает класс уравнений и областей, для которых возможно получить такое представление. Несмотря на это, в работах Е.И.Моисеева и других авторов было получено разложение решения в биортогональный ряд для модельного уравнения (sgn у) и хх + и уу = 0 в некоторых областях.
Во-вторых, решение т.н. неклассических задач, например, задач для уравнений составного типа, для уравнений порядка выше второго, для областей с многосвязной границей. Особый интерес представляют задачи с несколькими линиями изменения типа уравнения, или линиями вырождения. В таких задачах, помимо обычных условий, возникающих в теории уравнений смешанного типа, часто появляются дополнительные соотношения между значениями решения и, соответственно, дополнительные трудности при его построении.
В-третьих, разрешимость краевых задач в неклассических областях со сложной границей. При изучении краевых задач для уравнений смешанного типа граничные данные в области, где уравнение имеет гиперболический тип, как правило, задаются на характеристиках. Это позволяет, в случае модельных уравнений, выражать зависимость между граничными данными и решением в явном виде. Если же поставить задачу, в которой данные задаются на нехарактеристических линиях (т.н. задача с отходом от характеристики, впервые рассмотренная Франклем), то это значительно усложняет доказательство как существования, так и единственности решения.
- 4 -Цель работы
Доказательство существования и единственности регулярного решения некоторых краевых задач для уравнений смешанного типа, а именно, обобщенной задачи Геллестедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе, задачи с двумя параллельными линиями вырождения для обобщенного уравнения Лаврентьева-Бицадзе и задачи типа Франкля для уравнения Трикоми.
Научная новизна
В диссертации получены следующие новые результаты:
1. Доказана однозначная регулярная разрешимость
некоторых новых краевых задач.
2. Предложен метод решения сингулярных интегральных
уравнений, возникающих при рассмотрении граничных
данных на нехарактеристической линии в области, где
уравнение имеет гиперболический тип.
Общая методика исследования
Основным инструментом исследования служит сведение задачи к системе сингулярных интегральных уравнений и доказательство ее однозначной разрешимости в соответствующем классе функций.
- 5 -Практическая ценность
Предложенные в работе методы могут быть применены при решении других краевых задач для уравнений смешанного типа.
Апробация работы, публикации
Результаты работы докладывались на семинаре кафедры общей математики под руководством академика В.А.Ильина, профессоров А.А.Дезина и Е.И.Моисеева, на механико-математическом факультете МГУ на семинаре под руководством профессора Е.А.Бадерко. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [I], [2].
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения и трех глав. Объем работы - 91 машинописная страница, список литературы состоит из 31 наименования.