Введение к работе
Актуальность теми. Диссертация посвящена исследованию линей->й краевой задачи
x = f, * = У, а)
- линейный ограниченный оператор, действующий из DP в
р , t - линейный ограниченный вектор-функционал на Up . Здесь
р - пространство функций х: la,bl~-R с компонентами, суммируе-
ми в степени р , если і ^ р < с>0, и ограниченными в существен-
м, если р=<х>; DP - пространство абсолютно непрерывных функ-
й ас:га,Ь] — R , для которых оо є Lp . Как известно, любой
кейный оператор допускает представление
зратор U. : Lp— Lp из этого представления называют "главной
лью" оператора с . Случай, когда в (I) оператор <&? имеет
їдгольмову главную часть, подробно исследован Н.В.Азбелевым,
?.Рахматуллиной, В.П.Максимовым и их учениками. Объектом иссле-
іания в настоящей работе является краевая задача (I), где опе-
ор не удовлетворяет требованию фредгольмовости главной
ли.
В центре исследования находятся следующие две краевые задачи: 3 а д а ч а I. Найти функцию ozeDp (/-s-p-4 <х>), удовлет-ягощую почти всюду на [а, о] уравнению
txh =2&d)±(h - J Kf{,s)±rs)ds -h/lfhxta.) = jd), (2)
a.
словию
Єх = X (3)
в предположении, что о - прямоугольная (или особенная) матрица с элементами из пространства L м , (-:JjP -*~R - линейный ограниченный вектор-функционал.
3 а д а ч а II. Найти функцию х еТ)Р ( /*/?< оо ; такую, что За: Dp и которая удовлетворяет почти всюду на [а,оЗ уравнению
(^x)ci)^^[Behx(t)]- J JCU,s)xcs)cfs +№)x(a) = fci) {A)
и условию (3) в предположении, что d -тхп -матрица или особенная) с элементами из пространства /.<х. , ' 2JP ~К - линейный ограниченный вектор-функционал.
Уравнения типа (2) и (4) охватывают широкий класс функционально-дифференциальных уравнений и часто встречаются в приложениях. Так, любое уравнение
8i -t-Ax = j,
где (і&р& схэ ) - линейный оператор, являющийся
линейной комбинацией операторов Т , ТЛ,Г* F , определяемых равенствами 6
s)(Sftx)(s)ds, (Fxyd)^ J Fc,s)xcsyds,
a a
(S&xxh = і ^1^1^1 если h't) e 1<*,&1 ,
І О , если к(±)ф [а,ІЗ
при естественннх ограничениях на параметры уравнения, имеет представление (2). А следовательно, типичнимы представителями класса уравнений (2) являются: система обыкновенных дифференциальных уравнений, система уравнений с сосредоточенным отклонением аргу-
мента, система уравнений с распределенным отклонением аргумента, система интегро-диф$еренциальных уравнений. Уравнения типа (2) возникают, например, в теории электрических цепей, в теории переноса нейтронов, в теории управления и в математической экономике, а уравнения типа (4) - в теории автоматического регулирования.
Актуальность тегш исследования определяется необходимостью в общей точке зрения на отдельные классы уравнений, отличающихся формой записи, но имеющих глубокие общие корни проблем, которые возникают при исследовании разрешимости линейной краевой задачи для уравнения (2) ((4)), при получении представления решения этой задачи, при построении приближенного решения. Решение упомянутых проблем для краевой задачи I (II) позволило бы избежать повторений при исследовании конкретных классов -краевых задач и выяснить природу их основных свойств.
Цель работы. Используя различные обобщенные обращения особенных и прямоугольных матриц, теорию линейной краевой задачи для
функционально-дифференциального уравнения &
(Ь&х)(Ь = і(і) - J K^ci,s)a:(s)ds + ^сб)х(а) = f(i), (5) a
найти для каждой из краевых задач условия разрешимости и представление общего решения; исследовать вопросы, связанные с установлением корректности задачи, а также дать некоторые рекомендации и методы построения приближенного решения.
Обинз методы исследования. В работе использованы методы теории обобщенных обратных матриц, теории линейной краевой задачи для $ункшонально-ди|ференциальных уравнений с фредгольмовой главной частью, теории некорректных задач.
Научная новизна результатов диссертации состоит в следующем: а) построены основы теории линейной краевой задачи I: получе-
ны критерии разрепимости и представление решения; показано, что краевая задача Г не обладает свойством Ji-устойчивости к малым изменениям "исходных данных"; указан способ построения регуляризованного по А.Н.Тихонову семейства приближенных решений возмущенной задачи и получена оценка уклонения этого регуляризованного решения от точного решения исследуемой краевой задачи;
б) получены критерий разрешимости и представление решения линейной краевой задачи II.
Теоретическая и практическая ценность. Проведенное исследование позволяет с единой точки зрения рассматривать задачи, ранее изучавшиеся вне связи друг с другом, служит дальнейшего развитию теории функционально-дифференциальных уравнений, расширяет возможности приложений этой теории и теории некорректных задач. Результаты диссертации могут быть использованы, в частности, при решении приклад^::' задач теории электрических цепей, теории переноса нейтронов, теории управления, теории автоматического регулирования, математической экономики. Некоторые примеры таких задач, встречающихся в приложении, рассмотрены в работе.
Идеи, приемы и утверждения, изложенные в диссертации, используются на кафедрах математического анализа и экономической кибернетики Пермского университета.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Республиканской конференции "Теория и численные методы решения краевых задач дифференциальных уравнений" (Рига, 1988), на III (Пермь, 1988) и ІУ (Уфа, 1989) Уральских региональных конференциях "Функционально-дифференциальные уравнения
Иванов В.К., Васин В.Б., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. - М.: Наука, 1978. - 206 с.
я их приложения", на семинаре профессора Бояринцева Ю.Е. в Иркутском ВЦ СО АН СССР (Иркутск, 1990), на Пермском городском семинаре по функционально-дифферзнциальным уравнениям (I987-1990).
Публикации. Бо результатам выполненных исследований опубликовано G работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, изложена на 92 страницах. Список литературы содержит 67 наименований.