О разрешимости и спектральных свойствах вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов в ограниченной области Нематуллоев Олимджон Акбарович

Содержание к диссертации

Введение

1 Неравенство Гординга для вырождающихся эллиптических операторов в ограниченной области 31

1.1 Функциональные пространства 31

1.2 Вспомогательные интегральные неравенства 37

1.3 Неравенство Гординга для эллиптических операторов в ограниченной области со степенным вырождением на границе 46

2 О разрешимости вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов в ограниченной области 58

2.1 Однородная вариационная задача Дирихле для эллиптических операторов в ограниченной области со степенным вырождением на границе 58

2.2 Вариационная задача Дирихле с неоднородными граничными условиями для эллиптических операторов в ограниченной области со степенным вырождением на границе 69

3 О некоторых спектральных свойствах вырождающихся эллиптических операторов в ограниченной области 79

3.1 О фредгольмовости вариационной задачи Дирихле с однородными граничными условиями для эллиптических операторов в ограниченной области со степенным вырождением на границе 79

3.2 О фредгольмовости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями для эллиптических операторов в ограниченной области со степенным вырождением на границе 93

3.3 Об асимптотике спектра эллиптического оператора в ограниченной области со степенным вырождением на границе 96

Литература

• Вспомогательные интегральные неравенства
• Неравенство Гординга для эллиптических операторов в ограниченной области со степенным вырождением на границе
• Вариационная задача Дирихле с неоднородными граничными условиями для эллиптических операторов в ограниченной области со степенным вырождением на границе
• О фредгольмовости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями для эллиптических операторов в ограниченной области со степенным вырождением на границе

Введение к работе

Актуальность темы. Работа посвящена исследованию фредгольмо-вой разрешимости и изучению свойств собственных функций и собственных значений вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений высшего порядка.

Одно из основных направлений современной теории уравнений в частных производных посвящено исследованию разрешимости краевых задач для различных классов вырождающихся эллиптических уравнений. Интерес к таким исследованиям обусловлен тем, что математическое моделирование ряда прикладных задач в теории малых изгибов поверхностей вращения, в теории оболочек, в газовой динамике и других разделах механики приводит к краевым задачам для вырождающихся эллиптических уравнений.

Существуют разнообразные способы вырождения эллиптических уравнений, и поэтому для изучения краевых задач для таких уравнений применяются разные методы. Применяемый нами метод основан на элементах теории вложения весовых функциональных пространств и теории полу-торалинейных форм. Этот метод разрабатывался и совершенствовался в работах С.М. Никольского, Л.Д. Кудрявцева, П.И. Лизоркина, С.В. Успенского, К.Х. Бойматова, Х. Трибеля, А. Куфнера, Н.В. Мирошина, Б.Л. Байдельдинова, С.А. Исхокова и др.^1-4.

Основная часть научных публикаций по краевым задачам для эллиптических уравнений с вырождением относится к случаю, когда коэффициенты рассматриваемых дифференциальных уравнений имеют форму произведения ограниченной функции и функции, которая характеризует вырождение. Существуют лишь отдельные работы, в которых исследовалась разрешимость вариационной задачи Дирихле с помощью весового аналога неравенства Гординга для вырождающихся эллиптических уравнений с младшими коэффициентами из весовых L_p – пространств. Наши

¹Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы.- М.: Мир.- 1980.- 664 с.

²Никольский С.М., Лизоркин П.И., Мирошин Н.В. Весовые функциональные пространства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений.// Известия Вузов. Математика. 1988, №8, с.4 – 30.

³Исхоков С.А. Неравенство Гординга для эллиптических операторов с вырождением // Математические заметки. 2010. Т. 87. №2. С. 201 – 216.

⁴Исхоков С.А., Гадоев М.Г., Якушев И.А. Неравенство Гординга для эллиптических операторов высокого порядка с нестепенным вырождением // Доклады Академии наук (Россия). 2012. Т. 443, №3. с. 286-289.

исследования также относятся к этому малоизученному случаю.

Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование разрешимости и изучение свойств собственных функций и собственных значений вариационной задачи Дирихле с однородными и неоднородными граничными условиями для эллиптических операторов высшего порядка в ограниченной области n-мерного евклидова пространства со степенным вырождением на границе области.

Методы исследования. Применяемый в диссертации метод основан на элементах функционального анализа и теории весовых функциональных пространств (теоремы вложения, эквивалентные нормировки, прямые и обратные теоремы о следах, теоремы о плотности гладких функций и т.д.).

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1. Доказана теорема об однозначной разрешимости вариационной задачи Дирихле с однородными граничными условиями для эллиптических уравнений высшего порядка в ограниченной области со степенным вырождением на границе.

2. Найдены достаточные условия однозначной разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями для эллиптических уравнений высшего порядка в ограниченной области, коэффициенты которых имеют степенное вырождение на границе и принадлежат некоторым весовым L_p–пространствам.

3. Исследована фредгольмовая разрешимость вариационной задачи Дирихле с однородными и неоднородными граничными условиями для эллиптических уравнений высшего порядка в ограниченной области, коэффициенты которых имеют степенное вырождение на границе и принадлежат некоторым весовым L_p–пространствам.

4. Доказана асимптотическая формула, характеризующая рост соб
ственных значений вырождающегося эллиптического оператора на бес
конечности.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер. Они могут послужить основой для дальнейших теоретических исследований в теории вложения

весовых функциональных пространств, в теории краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений.

Практическая ценность работы определяется прикладной значимостью вырождающихся дифференциальных уравнений в решении прикладных задач механики и других разделов физики.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались и неоднократно обсуждались автором на семинарах отдела теории функций и функционального анализа Института математики АН Республики Таджикистан под руководством д.ф.-м.н., профессора С.А. Исхокова (2011 – 2015), на общеинститутском семинаре Института математики АН Республики Таджикистан под руководством д.ф.-м.н. член-корреспондента АН РТ, проф. З.Х. Рахмонова (2015), на семинаре кафедры математического анализа Курган-Тюбинского Госуниверситета им. Н. Хусрава (2012 – 2015), на международной научно-практической конференции ”Наука и инновационные разработки - северу”, посвященной 20-летию Политехнического института(филиалу) Северо-Восточного Федерального университета им. М.К.Аммосова (март 2014, Мирный), на Международной научной конференции ”Современные проблемы математики и ее преподавания”, Худжанд, июнь 2014 г., на международной конференции ”Математический анализ, дифференциальные уравнения и теория чисел”, Душанбе, 29- 30 октября 2015 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 3 статьях в рецензируемых научных журналах и сборниках, а также отражены в тезисах двух докладов на научных конференциях список которых приведен в конце автореферата. В работах, написанных совместно с С.А. Исхоковым, соавтору принадлежат постановка задач и выбор метода доказательств результатов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа изложена на 110 страницах компьютерного набора. Библиография насчитывает 71 наименований.

Вспомогательные интегральные неравенства

Настоящая глава имеет вспомогательный характер, в ней, в основном, излагаются известные результаты и результаты, которые в той или иной форме ранее опубликованы. Некоторые результаты приведены с подробными доказательствами с целью полноты изложения материалов диссертации и для удобства чтения. Она состоит из трех параграфов. В первом параграфе введены определения основных нормированных пространств функций и сформулированы их основные свойства. Во втором параграфе доказываются вспомогательные интегральные неравенства. В третьем параграфе приводится подробное доказательство весового неравенства Гординга для эллиптических операторов в ограниченной области со степенным вырождением на границе.

Пусть Rn - n-мерное евклидово пространство точек х = (х\, #2, , хп) и пусть Q ограниченная область в ІГ с (п - 1)-мерной границей дП. Напомним, что запись dQ Є Cs, где s - натуральное число, означает, что локально граница dQ описывается функциями, которые имеют непрерывные производные до порядка s включительно, а запись dQ Є Cs+e, где s - натуральное число и є Є (0,1), означает, что локально dQ описывается функциями, производные порядка s которых удовлетворяют условию Гельдера с показателем є.

Символом р(х) обозначим регуляризованное расстояние точки х ЄП до dQ, то есть достаточно гладкую функцию со следующими свойствами dd(x) р(х) c2d(x), d{x) = dist(x, дП), \p (x)\ Mkpl- (x), для всех х Є Q и любого мультииндекса к; положительные числа Сі, С2, Mk не зависят от х. Напоминаем, что мультииндексом называется n-мерный вектор с целыми неотрицательными координатами. Если к = (кик2,--- , кп) мультииндекс, то \к\ = h + к2 + кп длина мультииндекса и дх дх - -дхї? Пусть г - целое неотрицательное число, а, р - вещественные числа и 1 р +оо. Символом Wp.a(Q) обозначим пространство всех измеримых в Q функций и(х), определенных на Q, имеющих в этой области все обобщенные в смысле С.Л.Соболева производные и (х) порядка г с конечной нормой \k\=r п Классы Wrp.a{0) являются банаховыми пространствами с нормой (1.1.1) и при а = 0 совпадают с обычными пространствами С. Л. Соболева W (Q). Если р = 2, то класс W2a(Q) является гильбертовым пространством.

Символом С$(П) обозначим класс бесконечно дифференцируемых финитных в Q функций. Если В - некоторое нормированное пространство, содержащее C0(Q), то через В обозначим замыкание множества C0(Q) в норме пространства В. Символы В%(П) = В»р(П) и В%(дП) обозначают классы функций О.В. Бесова, заданные на Q и dQ соответственно (определение классов В;.в(П) и В%(дП) см., например, в [5] или [57]).

Если В\, 2 нормированные пространства с нормами 11 ; В\ \ , 11 ; - 211 соответственно, то запись В\ — В2 означает, что все элементы пространства В\ можно рассматривать как элементы пространства В2 и, кроме того \\щВ2\\ Сw; Bi для любого и Є Вх с положительной константой С, не зависящей от и.

Первый результат типа теорем вложения для пространств Wp.a(Q) был получен В.И. Кондрашовым [33]. Систематическое исследование пространств W .a(Q) принадлежит Л.Д. Кудрявцеву [35]. Оно развивалось и дополнялось работами многих математиков, среди которых заметим работы СМ. Никольского [51], О.В. Бесова, Я. Кадлеца, А. Куфнера [6], О.В. Бесова [4], Х. Трибеля [57] и др. Более подробную библиографию по этому вопросу можно найти в обзорной работе СМ. Никольского, П.И. Лизоркина, Н.В. Мирошина [53].

Ниже отдельно сформулируем теорему о плотности класса C0(Q) в пространстве Wp.a(Q), теорему вложения для пространств Wp.a{Q) и теоремы о следах функций из пространств Wp.a{Q) на границе dQ.

Здесь д/дп - производная по внутренней нормали к поверхности dQ, константа С 0 не зависит от функции и. Класс Cs0+1+e состоит из поверхностей локально описывающихся функциями, производные порядка S0 + 1 которых удовлетворяют условию Гельдера с показателем є, є Є (0,1).

Справедлива также следующая обратная теорема о следах.

В приложениях теории весовых функциональных пространств к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений, наряду с пространством Wp.a(Q), важную роль играет и весовое пространство Vp.a(Q), которое определяется как пространство всех измеримых в П функций и(х), имеющих все обобщенные в смысле С.Л. Соболева производные и к)(х) (\к\ г) с конечной нормой

Следующая теорема вложения разных метрик была доказана С.А. Ис-хоковым и А.Е. Куджмуродовым в работе [27]. Теорема 1.1.8 Пусть г - натуральное число и целое число s Є [0, г]. Тогда при выполнении следующих условий

Во многих рассмотрениях в спектральной теории дифференциальных операторов, область определения дифференциальных операторов совпадает с функциональным пространством Wp.a(Q), и для доказательства дискретности спектра этих операторов применяется следующая теорема о компактности вложения классов Wp.a(Q).

Рассмотрим множество Qm\x) = {у Є Rn : \х - у\ р{х) } , где є = (т+і)(і+) . Аналогично (1.2.3) доказывается, что (1 - єт)р(х) р(у) (1 + єт)р(х) для всех х Є Qm)(х). Поэтому ж-у єтр(у)/к(1-єт) для всех ж Є діт)(ж). Отсюда, в силу неравенства єт/(1 — єт) тє/(т + 1), следует, что Qm\x) С Gm\x). Так как Qim)(:r) = япрп(х){єт/ я)п, то отсюда следует левое неравенство в (1.2.2). Лемма 1.2.1 доказана.

Неравенство Гординга для эллиптических операторов в ограниченной области со степенным вырождением на границе

Эта глава посвящена приложению весового неравенства Гординга для эллиптических операторов, установленного в первой главе. Она состоит из двух параграфов. В первом параграфе изучается однозначная разрешимость однородной вариационной задачи Дирихле для эллиптических операторов в ограниченной области со степенным вырождением на границе. Во втором параграфе доказана теорема об однозначной разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями для эллиптических операторов высшего порядка в ограниченной области, которые имеют степенное вырождение на границе.

Однородная вариационная задача Дирихле для эллиптических операторов в ограниченной области со степенным вырождением на границе Пусть, также как в первой главе, Q - ограниченная область в п-мерном евклидовом пространстве Rn с (п - 1)-мерной границей 0Q и р(х) - ре-гуляризованное расстояние точки х Є Q до dQ.

Рассмотрим дифференциальное уравнение (1м)(х) = J2 С"1)1" (р тЫФы Хх) ) = f(x) (х Є fi), Ш / г (2.1.1) где Рл(ж) = p«-r+fc и ajfc/ j - комплекснозначние функции, на которых ниже накладываются некоторые условия. Если уравнение (2.1.1) умножаем на v(x), где v Є CQ(Q), и интегрируем по х Є Q, то после интегрирования по частям приходим к равенству J2 Pk(x)pi(x)aki(x)uW(x)v«)(x)dx = /(х)ф) 1х (2.1.2) 1 1, И п для всех v Є Со(Г2). Любое решение и(х) уравнения (2.1.2) называется обобщенным решением уравнения (2.1.1). Поэтому вопрос о существовании обобщенных решений уравнения (2.1.1) связан со следующей полуторалинейной формой B[u,v]= J2 Pk{x)pi{x)akl{x)u k\x)v {x)dx. (2.1.3) т\ г{ Забегая вперед, отметим, что в наших условиях форма В[и, v] по непре о рывности определяется на всех и, V Є\ 2-a( ). Далее, в этом параграфе, исследуется разрешимость следующей вариационной задачи Дирихле, связанной с формой (2.1.3). W 2;аФ) ) требуется найти решение U(x) уравнения B[U, v} + \ p2a-2r(x)U(x) )dx = (F, v) (to Є С{?(П)), (2.1.4) о о. принадлежащее пространству W r2-a{Q). Разрешимость задачи Dx ранее исследовалась в работах СМ. Никольского, П.И. Лизоркина [43, 44], Н.В. Мирошина [46], Б.Л. Байдельдинова [1, 2], С.А. Исхокова [20, 21, 22], С.А. Исхокова, А.Е.Куджмуродова [27], и др. в предположении, что коэффициенты dki{x) удовлетворяют следующему условию эллиптичности для всех х Є П и любого набора комплексных чисел {й} г. В отличие от этого, здесь мы предполагаем выполнение более слабого чем (2.1.5) условия (см. условие I) теоремы 2.1.1). Теорема 2.1.1. Пусть выполнены условия:

По сделанным выше предположениям, коэффициенты аы{х), \к\ = \1\=г, непрерывны в замкнутой области П. Следовательно они ограничены в этой области. Поэтому применяя неравенство Коши-Буняковского имеем Далее действуем также как при доказательстве неравенства (1.3.28). Полуторалинейную форму Bi[u, v] представим в виде J2{1) обозначает суммирование по мультииндексам к} I : \к\ г — 1, / г, а X/ – по мультииндексам к, I : \к\ = г, / г — 1. Пусть числа ры определены соотношениями (2.1.7). Положим А / = Ркі/ІРкі 1). Числа Хы (\к\ г, \1\ г) удовлетворяют условиям леммы 1.2.3. Поэтому применяя неравенство Гельдера, и затем лемму 1.2.3, получим

Полученные неравенства (2.1.10), (2.1.17) позволяют нам применить обобщенную теорему Лакса-Мильграма о представлении антилинейного непрерывного функционала. Далее, для удобства чтения, приведем эту теорему из [53] (см. теорему 2.1.0).

Пусть Щ - гильбертово пространство со скалярным произведением (, -)о и нормой о, #+ - другое гильбертово пространство со скалярным произведением (, )_)_ и нормой __. Пусть также все элементы пространства Н+ являются элементами пространства Щ и ito м11 + для всех и Є Н+. В пространстве Щ введем новую норму

Обозначим через Я_ пополнение пространства Я0 по новой норме. Рассмотрим в пространстве Я0 замкнутую полуторалинейную форму В[и, v] с областью определения D[B] = Н+. в котором элемент и Є Н+ определяется единственно. Эта теорема является обобщением известной теоремы Лакса-Мильграма [63]. Далее продолжим доказательство теоремы 2.1.1. Легко можно заметить, что полученные выше неравенства (2.1.10), (2.1.17) позволяют нам применить теорему 2.1.2 в рассматриваемом случае. Поэтому, в силу теоремы 2.1.2, существует оператор Л, осуществляющий гомеоморфизм пространств W г2-а(П) и W г2-а(П) . Кроме того, для любого задан W 2-а(Щ существует единственная функция

Вариационная задача Дирихле с неоднородными граничными условиями для эллиптических операторов в ограниченной области со степенным вырождением на границе

В этой главе изучаются некоторые спектральные свойства эллиптических операторов высшего порядка в ограниченной области со степенным вырождением на границе. Она состоит из трех параграфов. В первом параграфе изучаются разрешимости вариационной задачи на собственные значения и фредгольмовость неоднородной вариационной задачи с однородными граничными условиями для вырождающихся эллиптических операторов в ограниченной области. Случай неоднородных граничных условий рассматривается во втором параграфе. В третьем параграфе изучается асимптотика распределения собственных значений эллиптических операторов в ограниченной области со степенным вырождением на границе.

О фредгольмовости вариационной задачи Дирихле с однородными граничными условиями для эллиптических операторов в ограниченной области со степенным вырождением на границе Пусть, также как в первой главе, Q - ограниченная область в п-мерном евклидовом пространстве Rn с (п - 1)-мерной границей 0Q и р(х) - ре-гуляризованное расстояние точки х Є Q до dQ. Также как в первом параграфе второй главы, рассмотрим вырождающийся дифференциальный оператор (1м)(х) = J2 С"1)1" (р ЫФФ Хх) ) (х Є П) (3.1.1) \к\,\1\ г и связанную с ним полуторалинейную интегро-дифференциальную форму B[u,v]= J2 Pk{x)pi{x)akl{x)u k\x)v {x)dx. (3.1.2) m\ rl Здесь и далее рк(х) = ра г+\к\х) и ал/(ж) - комплекснозначние функции, на которых ниже накладываются некоторые условия. Заметим, что для заданной функции F(x) Є Ь2(П) любое решение и(х) уравнения Vv є С0( ) B[U, v] = F(x)v(x)dx, п называется обобщенным решением дифференциального уравнения (LU)(x) = F(x),xen. Поэтому любое нетривиальное решение U(x) уравнения B[U, v] = A f U(x)v{x)dx, Vv є C0(ft) п назовем обобщенной собственной функцией оператора L, а соответствующее значение параметра А - собственным значением оператора L. Рассмотрим вариационную задачу Дирихле с параметром А. Задача DА. Для заданного функционала F Є (w 2-a(ty\ требуется найти решение U(x) уравнения B[U, v]+X U(x)v(x)dx = (F, v) (Vv Є C0( )), (3.1.3) + A U(x)v(x)dx = (F, v) (\/v Є 2; Соответствующая однородная задача формулируется следующим обра принадлежащее пространству W 2-«( ).

По аналогии с вышесказанным, значение параметра Л, при котором задача DХ имеет нетривиальное решение, назовем собственным значением вариационной задачи Дирихле для оператора (3.1.1), а соответствующее решение - обобщенной собственной функцией этой задачи.

Pki - любое конечное число больше 2 в оставшихся случаях. Здесь є - достаточно малое положительное число. Тогда задача Dх фредгольмова, то есть: 1) задача Dх имеет отличные от нуля решения (обобщенные собственные функции) только для счетного числа значений параметра Л = \J} j = 1, 2,... (собственные значения) и только ос будет предельной точкой этих значений; 2) отвечающее каждому собственному значению Х3 подпространство обобщенных собственных функций (собственное подпространство) - конечномерно; 3) у сопряженной задачи Dх собственные значения равны TJ} j = 1,2,...; 4) собственные подпространства задач Dх и Dх , отвечающие собственным значениям имеют одинаковую размерность; 5) для того чтобы задача Dх имела хоть одно решение необходимо и достаточно, чтобы для любого решения v(x) задачи Dх выполнялось условие (F, v) = О; 6) для того чтобы задача Dx имела хоть одно решение необходимо и достаточно, чтобы для любого решения и(х) задачи Dх выполнялось условие (G, и) = 0. Доказательство. В условиях теоремы 3.1.1 выполняются все условия теоремы 2.1.1, и в процессе доказательства теоремы 2.1.1 мы доказывали неравенство \В[щ v]\ M\\v; W .a(n)\\ и; \Уг2.аЩ\ (3.1.8) для всех и, v Є CQ(Q). Согласно оценке (2.1.20) из первого параграфа второй главы существуют положительные числа Mi, М2 такие, что \\v,U2.a(tt)\\2 (M2/M1)\\v,L2;a_r(tt)\\2+(l/M1)ReB[v, v] (v Є Cg(fi)). Отсюда в силу условия (3.1.7) следует, что \\v,Ll.a(n)\\2 M:iReB[v, v] (v Є C0( )), (3.1.9) где Мз - некоторая положительная константа. Так как Q - ограниченная область и р(х) - регуляризованное расстояние точки х Є Q до границы области, в силу условия г — а 0 существует положительное число С\ такое, что Сі ра-г(х) для всех х Є П. (3.1.10) и (3.1.12) имеют место при всех и, v E.W \ а{&) . Эти неравенства позволяют нам применить обобщенную теорему Лакса-Мильграма (см. теорему 2.1.2). В силу этой теоремы для любого заданного элемента F Є \W 2-а( )) существует единственное решение U (х) обобщенной задачи Дирихле из пространства W 2-«( ) и при этом справедливо неравенство довательно, любой элемент F Є L2(Q) можно рассмотреть как элемент из пространства (w r2,a{ttj) . При этом (F,v) = (F, v), где (, ) - скалярное произведение в пространстве Ь2(П). Поэтому уравнение (3.1.3) для заданного элемента F Є L2(Q) записывается в виде

Таким образом, мы показали, что уравнение (3.1.6) имеет нетривиальное решение только тогда, когда число — 1/Л является собственным значением оператора Л . Заметим, что если число /ІО является собственным значением оператора Л, то число До будет собственным значением оператора Л .

Из вполне непрерывности оператора Л следует вполне непрерывность оператора Л . Поэтому применяя лемму 3.1.1 в силу приведенных выше рассуждений получаем, что сопряженная задача DХ имеет счетное число собственных значений с единственно возможной предельной точкой на бесконечности, если Xj собственное значение задачи DА, то число Л будет собственным значением сопряженной задачи Dх .

О фредгольмовости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями для эллиптических операторов в ограниченной области со степенным вырождением на границе

Таким образом, мы показали, что уравнение (3.1.6) имеет нетривиальное решение только тогда, когда число — 1/Л является собственным значением оператора Л . Заметим, что если число /ІО является собственным значением оператора Л, то число До будет собственным значением оператора Л .

Из вполне непрерывности оператора Л следует вполне непрерывность оператора Л . Поэтому применяя лемму 3.1.1 в силу приведенных выше рассуждений получаем, что сопряженная задача DХ имеет счетное число собственных значений с единственно возможной предельной точкой на бесконечности, если Xj собственное значение задачи DА, то число Л будет собственным значением сопряженной задачи Dх .

Доказательство теоремы 3.1.1 завершается, если применить следующие утверждения о свойствах сопряженного оператора (см., например, [59, пар.21]).

Лемма 3.1.2. Пусть X, У банаховы пространства, А линейный оператор, действующий из X в Y, А - оператор сопряженный к оператору А. Пусть оператор А плотно определен в пространстве X. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) множество нулей оператора А равно ортогональному дополнению области значения оператора А; 2) замыкание области значения оператора А равно ортогональному дополнению множества нулей оператора А . Пусть ф) положительная измеримая в области Q функция. Положим U+ =W 2;а(П), По = L2; (П), где L2; (Q) весовое лебегово пространство измеримых в П функций и(х) с конечной нормой Обозначим через %- - негативное пространство, построенное по пространствам %+) %Q. Далее исследуем фредгольмовость вариационной задачи Дирихле для вырождающегося дифференциального оператора (3.1.1), когда условие г — а 0 теоремы 3.1.1 может не выполняться. В этом случае вместо обобщенных собственных функций изучаются обобщенные собственные функции с весом и вместо задачи D\ изучается разрешимость следующей задачи

Задача DА; . Для заданного функционала F Є Ч- требуется найти решение и(х) уравнения B[U, v]+X L2(x)U(x) )dx = (F, v) (Vv Є C0(tt)), n принадлежащее пространству %+. Также как в случае задачи D\ наряду с задачей D\- v рассматриваются отвечающие ей однородная и сопряженные задачи: Задача Dх. . Требуется найти решение U(x) уравнения B[U, v] + A J tp\x)U{x) dx = О (УУ Є С (П)), п принадлежащее пространству 7і+. + принадлежащее пространству %+. Задача DX]lf. Для заданного функционала G Є Ч- требуется найти решение V(х) уравнения B+[V, v} + \ 4 2(x)2V(x)v(x)dx = (G, v) (Vv є C0( )) Задача D Требуется найти решение V(x) уравнения B+[V, v] + X ip(x)V(x)v(x)dx = 0 (W є C0( )) n принадлежащее пространству %+. Теорема 3.1.2. Пусть a + 1/2 І {1, 2, ..., г} и коэффициенты ам(х) формы (3.1.2) удовлетворяют условиям (3.1.7), I) и II) теоремы 3.1.1. Пусть также функция ф) непрерывна в П и удовлетворяет условию

Тогда задача РА; фредгольмова, то есть: 1) задача Шх. имеет отличные от нуля решения (обобщенные собственные функции) только для счетного числа значений параметра X = Хj, j = 1, 2,... и только ос будет предельной точкой этих значений; 2) отвечающее каждому значению Аj подпространство решений задачи д._ - конечномерно; 3) у сопряженной задачи Щ9 собственные значения равны Xj} j 1,2,...; 4) подпространства решений задач Ш и ро отвечающие значениям Хj и Tj, имеют одинаковую размерность; 5) для того чтобы задача РА; имела хоть одно решение необходимо и достаточно, чтобы для любого решения v(x) задачи Ш выпол нялось условие (F, v) = О; 6) для того чтобы задача D имела хоть одно решение необходимо и достаточно, чтобы для любого решения и(х) задачи Ш выполнялось условие (G, и) = 0. Доказательство этой теоремы несущественно отличается от доказательства теоремы 3.1.1. Оно проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 3.1.1, и при этом учитывается, что условие (3.1.24) обеспечивает компактность вложения %+ — %Q. В условиях теоремы 3.1.2 выполняются следующие неравенства, которые используются в процессе доказательства этой теоремы:

В этих неравенствах Mj, j = 1, 4, - некоторые постоянные положительные числа. фредгольмовости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями для эллиптических операторов в ограниченной области со степенным вырождением на границе

В этом параграфе изучается фредгольмовость вариационной задача Дирихле с неоднородными граничными условиями для эллиптических операторов высшего порядка в ограниченной области, которые имеют степенное вырождение на всей границе.

Пусть, также как в предыдущих параграфах, П ограниченная область в n-мерном евклидовом пространстве Rn с (п - 1)-мерной границей дП, р(х) - регуляризованное расстояние точки х Є Q до dQ и г - натуральное число.