Содержание к диссертации
Введение
1 Спектр сеток с квадратными ячейками 18
1.1 Постановка задачи 18
1.2 Вспомогательные сведения из теории графов 24
1.3 Сведение задачи к задаче о спектре алгебраического графа 26
1.4 Спектр гиперкубической сетки 32
1.4.1 Некоторые факты из спектральной теории алгебраических графов 33
1.4.2 Общее уравнение 34
1.4.3 Случай без масс 36
1.4.4 Случай с массами 37
1.5 Случай произвольной области 39
2 Произвольные сетки 42
2.1 Постановка задачи * 43
2.2 Равномерное неравенство Пуанкаре 48
2.3 Об аппроксимации многомерных задач одномерными . 51
2.4 Условия близости спектров Л* и Ло 56
2.5 Связывающие операторы 58
2.6 Некоторые оценки прямых и обратных операторов 69
2.7 Сходимость операторов A^*ff* + XI 72
Литература 79
- Сведение задачи к задаче о спектре алгебраического графа
- Случай произвольной области
- Об аппроксимации многомерных задач одномерными
- Некоторые оценки прямых и обратных операторов
Введение к работе
Проблематика данной работы тесно примыкает с одной стороны к общей спектральной теории дифференциальных операторов на так называемых геометрических графах (Г. Люмер, Ю.В. Покорный, Б.С. Павлов и др.). С другой стороны имеется связь с теорией усреднения дифференциальных операторов на сингулярных структурах (В.В. Жиков, С.А. Назаров и др.), выросшей, в свою очередь, из теории усреднения в перфорированных областях (В.В. Жиков, СМ. Козлов, О.А. Олейник, Э.Санчес-Паленсия и др.).
Конкретно, в работе изучается низкочастотная часть спектра частот собственных колебаний сетки из струн, закрепленной на границе некоторой области и достаточно густо заполняющей эту область. К настоящему времени в решении подобных задач конкурируют два основных подхода. С одной стороны это метод усреднения, точнее его вариант недавно разработанный В.В. Жиковым, и метод асимптотических разложений. Следует заметить, что метод усреднения применялся исключительно к периодическим механическим системам. Более того, именно для таких систем он и разрабатывался. В конечном итоге он обеспечивает достаточно простое описание решений краевых задач, связанных с упомянутыми системами в терминах их близости к решениям аналогичных усредненных задач в классических областях. Метод асимптотических разложений более автономен (задача изучается вне ее связи с какой-либо усредненной задачей) и не предполагает наличие какой-либо периодичности. Однако, описание решения в достаточно сложных (непериодических) случаях получается трудно обозримым, в особенности когда речь идет о низкочастотной части спектра колебаний упомянутых систем.
В связи с этим представляется актуальным сохранив преимущества метода усреднения распространить его на непериодический случай. В общем объеме эта задача представляется сложной и вряд ли следует ожидать ее быстрого решения. Однако, для задачи, рассматриваемой в данной работе удалось получить продвижение в этом направлении на * основе техники, близкой к разработанной Г.М. Вайникко в 70-х годах и относящейся к изучению сходимости проекционных методов (метод Га-леркина, Ритца и др.). В итог* нами найдены достаточно естественные физические условия при которых низкочастотная часть спектра сетки из струн, достаточно густо заполняющей область Q С ВТ1 близка к аналогичной части спектра некоторого упругого континуума (при п — 2 мембраны), заполняющего ту же область. Ранее подобные результаты получались только для случая периодических систем.
Ключевые моменты этой работы, отличающие ее от работ, близких по тематике выделим в следующие несколько пунктов:
1 Показано, что низкочастотная часть спектра периодической сетки из однородных струн сходится к соответствующей части спектра одно родной мембраны вместе с кратностями.
2 Найдены естественные физические условия близости спектров непе- щ риодических сеток из струн и спектра мембраны, заполняющих одну и ту же область.
Теперь перейдем к краткому описанию полученных результатов по главам этой работы.
В целом, в первой главе изучается спектр периодической сетки из струн с квадратными ячейками, заполняющей некоторую область в FC1.
Пункт 1.1 посвящен постановке задачи. Пусть в К1 натянута сетка Гл, состоящая из струн 7і5 связанных между собой в виде графа с квадратными ячейками и "заполняющая" некоторую область 1 с кусочно гладкой границей. Предполагается, что сетка закреплена в узлах - их множество обозначим через дТь, лежащих в дО,. Множество остальных узлов обозначим через J(Th) и будем называть внутренними вершинами графа Гл. Математической моделью собственных колебаний описанной сетки является следующий набор соотношений: * <гии"(х) + \hphu(x) = 0, х Є 7» (0-1) Oh 22 ui(x) + ^ътъ,и(х) = 0, x = aj Є J(Th) (0.2) *є/(х) «(ж) = 0, x = aj Є #ГЛ. (0.3)
Здесь дифференцирование производится по натуральному параметру на каждом ребре. В уравнении (0.2) под и[{х) понимается производная по направлению "от вершины" aj. Через I(a,j) обозначается множество номеров ребер, примыкающих к aj. Величины 07,, ph равны соответственно натяжению струны и ее плотности, a т^ - величина массы, сосредоточенной в узле aj. Предполагается, что о hi ph постоянны, и на всех стру-нах одинаковы. Также предполагается, что тн во всех узлах одинаковы. Рассматриваемые функции и : Гд — R непрерывны во всех внутренних узлах.
Нас будет интересовать, при каких коэффициентах спектр данной задачи близок к спектру мембраны, описываемой системой уравнений аки + \ри = 0, (0.4) и\дп = 0. (0.5)
Здесь р(= const) - плотность распределения масс и сг(= const) - натяжение мембраны.
В пункте 1.2 приводятся некоторые сведения из теории обыкновенных дифференциальных уравнений на геометрических графах.
В пункте 1.3 задача (0.1)-(0.3) сводится к задаче о спектре некоторого алгебраического графа. Откуда получается такое утверждение
ТЕОРЕМА 1 . Спектр Лл задачи (0.1)-(0.3) совпадает с объединением множества корней следующих уравнений (^m(hJxA)^ '=0, (0.6) K?-pJ| = 0, (0.7) где Nc - количество ребер в графе Th, Nv - количество внутренних вершин в том оюе графе, р = 2ncos(h\ ) — mh\ sm(h\/ ), V (Th у Ph(?h V vh a G - матрица смежности алгебраического графа, полученного из Th выбрасыванием граничных вершин (аа Є dTh) и ребер, к ним примыкающих.
Пункт 1.4 посвящен изучению частного случая задачи (0.1)-(0.3). А именно случаю, когда область О, Є І2П является гиперкубом со стороной длины /. Следующее утверждение позволяет получить полное описание спектра в этом случае.
ТЕОРЕМА 2 . Спектр Ль задачи (0.1 )-(0.3) с учетом уточнения в на чале пункта 1.4 совпадает с объединением множества корней следую щих уравнений sin(/iA/v^) = 0, (0.8)
2 Т cos () = In cos (hx[\A) - mhJ-^- sin (h.fxA), (0.9) ~ * V h у Ph
Замечание 0.1 . Решения уравнения (0.8) имеют кратность (N — l)n-\(n-l)N + l).
Решения уравнений (0.9) при фиксированной сумме }] fif сливаются t=i при h —У 0, что опять оюе определяет кратность общего решения как точки спектра. Из (0.8) видно, что решения Ад этого уравнения при малых h как угодно далеки от нуля. Поэтому "начало спектра" Лд сетки Th определяется уравнениями (0.9).
В пункте 1.4.3 в явном виде выписывается спектр исследуемой задачи в случае, когда mh = 0, т.е. загрузка массами в узлах сетки отсутствует, а именно іА жн па keZ. (0.10) A/»,jfe = ± arccos (— ^2 cos ("Г" А)) + 27гк -^-, ТЬ I по
1=1 J
В пункте 1.4.4 рассматривается общий случай ненулевых т^. При этом приводится асимптотическая по h формула для собственных значений:
Легко видеть, что выражение в правой части (0.11) в точности совпадает со спектром задачи (0.4), (0.5) в случае, когда Q = [0, I] х х [0,1]. Т.е. в рассматриваемом нами случае
Ал = А + 0(/і2).
В пункте 1.5 рассматривается случай произвольной области с кусочно гладкой границей. Основным утверждением этого пункта является следующая
ТЕОРЕМА 3 . Спектр Л/, задачи (0.1)-(0.3) совпадает с объединением множества корней следующих уравнений (
I——- \ Nc-Nvsm(hJ\h^)j =0, (0.12)
2n - ЛА2 = 2ncos (/iA/^) - mhJ-^- sin (hx/^) (0.13) o- v <*h уphffh » h где Nc - количество ребер в графе Th, Nv - количество внутренних вершин в том же графе, а \спробегает спектр Лс дискретизированного (по сетке Th) варианта задачи (0.4), (0.5).
Используя теорему (3) мы получаем следующий результат:
ТЕОРЕМА 4 . 1. Для любого А Є Л существует последовательность {Ал : Xh Є h.h} такая, что Ал —> А, причем А = Ал + 0(h2).
2. Если Ал -> А, Ал Є Лл, |А| < со то А Є Л, причем А = Ал 4- 0(h2).
Во второй главе рассматривается непериодическая сетка из струн с переменными коэффициентами.
Пункт 2.1 посвящен постановке задачи. Пусть 1 С Е2 - ограниченная область. Пусть далее задана конечная совокупность точек щ Є П. Через Г обозначим связный геометрический граф, имеющий щ своими вершинами. Вершины, лежащие в Г = Г П Г2 назовем внутренними и их совокупность обозначим J{Y). Остальные вершины (т.е. лежащие в dQ) будем называть граничными вершинами графа Г и их совокупность обозначим дТ. Ребра графа Г, обозначаемые далее через 7і, предполагаются прямолинейными интервалами, соединяющими некоторые вершины.
Задача о спектре частот собственных колебаний сетки из струн описывается следующим набором дифференциальных соотношений: {<т{и')\х) + Xpiu(x) = 0, а; Є Ті С Г, (0.14) ^2 <Пи'ъ{рч) + Ат,«(а,-) = 0, а,- Є *7(Г), (0.15) ІЄ/(о,) u(ak) = Q, akdV. (0.16)
Здесь о~і - натяжение, pi - плотность струны 7ь Щ = fn{p>j) ~ точечная масса в узле a,j.
Задаче (0.14)-(0.16) удобно придать «классический» вид, подчеркивающий ее аналогию с задачей о спектре частот собственных колебаний мембраны: V( С этой целью определим на Г меру р,, договорившись мерой /і(Г) фрагмента Г С Г считать сумму //(Г) = ]Г>(Г П7<) + Х>о(ГПаг), (0-17) в которой /4і(ГП7г) _ одномерная мера Лебега части 7»? попавшей в Г, а /i0(aj) = 1 (нульмерная мера Лебега точки полагается равной единице). Определим оператор дивергенции V^ на векторном поле, касательном к Г. Можно показать, что VF(x) = і F'(x), хє-уі F (aj), ajeJ(T). Векторные поля, для которых существует дивергенция естественно назвать гладкими. Задача (0.14)-(0.16) может быть представлена в виде А^и + Хи = -V(o-Vw) + Хи = 0, (0.18) = 0, (0.19) Здесь через р обозначена функция на Г, равная рі на ji и равная m(a,j) в вершинах aj. Она предполагается непрерывной на каждом 7г (множество таких функций обозначается С7(Г)) и положительной. В уравнении (0.18) поле aVu должно быть гладким (чтобы выражение V/t(crVn) имело смысл). Для этого достаточно потребовать, чтобы а допускала продолжение по непрерывности во внутренние вершины вдоль каждого ребра и была непрерывно дифференцируемой внутри каждого ребра. Легко заметить, что значения а в вершинах не используются в уравнении (0.18). Для определенности можно считать a(a.j) = 0. Внутри каждого ребра а предполагается строго положительной [а > а > 0). Мы будем рассматривать последовательность сеток IV Обозначим через h(Tk) максимум длин ребер, входящих в Г*. Данная последовательность Гл порождает семейство задач Штурма - Лиувилля: -^V(<7feVu) + Хи = 0, (0.20) = 0. (0.21) В предположении, что дТк С dQ и h(Tk) -> 0 (к —> со), нас будет интересовать вопрос о сходимости спектра Л* задачи (0.20),(0.21) к спектру Ло задачи iv( В пункте 2.3 приводится некоторая абстрактная схема из спектральной теории линейных операторов в банаховых пространствах. Задача, рассматриваемая нами укладывается в следующую абстрактную схему, описанную, например, в [12]. Пусть рассматривается задача о спектре или, например, задача на собственные значения U{\)u = (А - \I)u = 0, (0.24) где и(Х) - линейный ограниченный оператор, действующий из банахова пространства Е в банахово пространство F (разумеется Е должно быть вложено в F). Наряду с задачей (0.24) рассмотрим последовательность задач вида Uk{\)uk = {Ак - XI)uk = 0, (0.25) где оператор Uk(X) действует из банахова пространства Ек в банахово пространство Fk. При определенных условиях задачу (0.25) можно считать близкой задаче (0.24). Один из вариантов описания такой близости состоит в задании диаграммы вида Е К F Л 1" в которой {рк} - семейство так называемых связывающих операторов, позволяющих придать смысл сходимости (р-сходимости) последовательности {щ} (wjfc Є jE7jk) к элементу и Є Е\ мы пишем щ —^ и, если \\v>k — Pku\\Ek ~* О ПРИ & —)> со. От операторов рк требуется выполнения следующих двух условий рк - аддитивный и однородный оператор; HwlU* —> \\u\\e при к —> со при любом и Є Е. Аналогично, с помощью семейства {<&}, определяется g-сходимость последовательности Vk Є Fk к v Є F. Теперь можно определить понятие так называемой до-сходимости семейства операторов Uk(\) к оператору [7(A). А именно, мы пишем Uk(\) -^> U(\), если из р-сходимости к и последовательности {щ} следует g-сходимость к U(X)u последовательности {Uk(\)uk}. Иными словами: IK - РкАвш -> 0 = ||1/*(А)«* - g*tf (А)«||д -> 0 (0.26) Сама по себе до-сходимость мало что дает; для приложений требуются дальнейшие ее уточнения. Для наших целей важную роль будет играть так называемая устойчивая сходимость семейства {/*(А)} к U(X). Это, помимо до-сходимости, предполагает обратимость всех операторов Uk(А) и ограниченность в совокупности норм операторов f/^"1(A) (резольвент операторов Ак) начиная с некоторого номера. Разумеется об устойчивой сходимости можно говорить лишь при А, принадлежащих всем резольвентным множествам Ж(Ак) операторов Ак, начиная с некоторого номера (своего для каждого А). Мы потребуем устойчивой сходимости последовательности 7(А) к 7(А) при всех А Є 91(Л). Устойчивая сходимость при некоторых дополнительных требованиях на операторы /*(А),С/(А) обеспечивает близость (в указанном выше смысле) спектра Л* оператора Uk(X) к спектру Ло оператора U(X). А именно, имеет место следующее утверждение. Теорема 0.1 Пусть А и Ак фредгольмовы с нулевым индексом и на любом компакте К Є С при всех fc N имеет место неравенство тах||С/,(Л)||< С = С(К), Тогда, если последовательность /)ь(А) устойчиво сходится к U(X) при А Є ЩА), то Лк -» Л0. Нами будет использоваться ослабленный вариант pg-сходимости. А именно, вместо (0.26) будем требовать выполнения условия IK -Pku\\Ek -> 0 =^ \\Uk{\)uk\\Fk -> ||г7(АИ|^. (0.27) Это избавит нас от необходимости вводить связывающие операторы qk : F —> Fk. Рассуждения, проведенные выше справедливы и в случае такой сходимости. Следует отметить, что именно это ослабление рд-сходимости лишает нас возможности обсуждать близость собственных функций. В пункте 2.4 описываются условия на коэффициенты в уравнении (0.20), обеспечивающие близость спектра Л* задачи (0.20),(0.21) к спектру Ло задачи (0.22),(0.23). Они легко усматриваются из физических соображений. Ясно, что масса мембраны, сосредоточенная на участке ш С Г2 должна быть близка к массе струнной сетки, сосредоточенной на Г* П ш. Отсюда наше первое условие / pkdn- J pdx < dh(rk) f Pdx, (0.28) ГцПо; и о» Наше второе условие связывает между собой ак и а0. Требуется, чтобы для любого отрезка [а; 6], лежащего в Q (см. рисунок) и фиксированного направления V, ортогонального этому отрезку, выполнялось неравенство ]Г ак cos (Р, 7i) - f vdl < C2h(Tk) f c dl, Ъ [a;b] [а;Ь] (0.29) где I - натуральный параметр на отрезке [а; Ь], а суммирование производится по всем ребрам, пересекающим этот отрезок. Данное условие означает, что сила, действующая на отрезок [а; 6] в направлении V со стороны мембраны, обусловленная ее натяжением, близка к силе, действующей в этом же направлении со стороны сетки. Если, к примеру, 1 - квадрат на плоскости и все сетки Г^ имеют квадратные ячейки, и если при этом /о0 = const, о-0 = const, то полагая все Л струны однородными можно взять их плотности и натяжения такими, что Ci = С2 = 0. Функциональные пространства, используемые в главе 2 приводятся в пункте 2.5. Также в этом пункте описывается последовательность связывающих операторов. Начиная с этого пункта мы приступаем к реализации схемы, намеченной в разделе 2.3. В первую очередь займемся построением связывающих операторов. Нам будет удобно (не меняя требований на гладкость коэффициентов) рассматривать оператор Apia* = — V(<7*V«) Рк действующим из пространства НЪсак(^к) в пространство H}ffk. Определения этих пространств аналогичны классическим. Сначала определяется пространство 1Л(Г*) как пополнение С (Г к) непрерывных на Г* функций по норме || ||o,fc (к - номер графа), определяемой скалярным произведением (ti,v)p»= f(pkuv)(x)dfik, г* где цк - мера, описанная в пункте 2.1. Аналогично определяется іЛо(^) и норма || ||о,о, определяемая скалярным произведением (u,v)ffl= (puv)(x)dfj,, где dfj,0 = dx - обычная мера Лебега в Определим также пространство С(5(Г*) как множество функций, непрерывных на Tjb, непрерывно дифференцируемых на каждом ребре 7» и обращающихся в нуль в окрестностях точек из дГк- Предполагается также, что первые производные допускают продолжения по непрерывности во внутренние вершины графа Г&(вдоль каждого ребра по отдельности; при этом пределы могут оказаться разными). Теперь H\ak(Xk) определяется как пополнение СціГк) по норме Аналогично определяется пространство Hjpgoifi) и норма в нем Hko=(ll Наконец, НіГуьіГк) определяется как сопряженное к HZk^kfik) со стандартной нормой сопряженного пространства. Аналогично определяется И'ІрЛ) и ноРма II ' 11-1,0- Через J(u) обозначается сглаживание функции и по Соболеву-Фридрихсу. Связывающий оператор рк : Hlpgoffi) —> Н\ак^к) определяется как сужение Тк на множество Г* функции Jk(u) = Jtk(X2eku)(x) = І шЄк{х - y)x2eku(y) dy, n где число Єк фиксируется для каждого Г*; по отдельности так, что вк —ї 0 при к -> со, а Хе - характеристическая функция множества Q = {х Є Q : d(x, дП) > с} _. . 1 .х — у. Сглаживающая функция ш = -^^( ) определяется стандартно. Лемма 0.1 Пусть v,g Є C(ft), дк С(Гк), g(s) > 0, дк{х) > 0. Пусть ш С Г2 и выполнено неравенство [ gkd»k - f gdiA < С f gdvL, (0.30) Г*Пы ш тогда J gkv d\ik - f gv dp0 Назовем П простой областью, если ее пересечение с любой прямой состоит из конечного числа компонент связности. В этом случае область О, допускает разбиение на сколь угодно малые части ш\,..., шп также являющиеся простыми. Нам также будет удобно переформулировать условие (0.29) следующим образом. Лемма 0.2 Пусть ш С ft - простая область и V - фиксированное направление. Тогда ( ак(х)со*2(и,ъ№к- fadfi0 Г*Ло; где 7ж ~ ребро, содержащее точку х, пробегающую Гк П ш. Заметим, что поскольку во внутренних вершинах o~k(x) = 0, то интегрирование по Г* П и сводится к интегрированию только по участкам ребер графа Tk, лежащим в ш. Лемма 0.3 Пусть ш такая же, как и выше, a v Є С (ft). Тогда I ark{x) cos (и, 7x) sin (v, yx)v{x) dfik < C2h{Tk) f aQv d/j?+ + osc{v]u)(C2h(Tk) + 1) /(7%0. Теорема 0.2 Для любой функции и Є H^^ift) выполняется равенство lim ||p*(tt)||i,fc=Hi)0. В пункте 2.6 доказываются некоторые оценки прямых и обратных операторов. Данный пункт является подготовительным к доказательству сходимости операторов АРк(Тк + Л/ к оператору А^^ + XI. Лемма 0.4 Пусть и Є #1^(1. Тогда ПД^иН-Ati||_1|fc < (1+ |A|)H|1)jb. (0.32) То, что оценка зависит только от А, но не от Г* важно для дальнейшего. Следующая лемма дает оценку норм операторов, обратных к Аркак — 7, также независящую от Г*. Лемма 0.5 Пусть и Є Н\ак(Тк)- Тогда \\ApkakU - ii||_i)Jfc > \\и\\і>к. Также, в этом пункте показывается, что Аркак : Н\ак (Г*) —» H~fffk (Г^) является изоморфизмом, а оператор Аркак + XI является фредгольмо-вым с нулевым индексом при каждом к и любом А. Хотя формально мы должны рассматривать и случай комплексных А, тем не менее можно ограничиться случаем вещественных и положительных А. Это следует из того, что оператор —Др*а* формально самосопряженный и положительно определенный, а потому его спектр лежит на положительной полуоси в R.. Отметим также, что в силу упомянутой выше фредгольмовости спектр оператора — Др*ст* дискретен. В пункте 2.7 доказывается дискретная, а потом и устойчивая сходимость операторов Аркак + XI. О О р Теорема 0.3 Пусть щ Н\ак{Рк), « Є #JoCTo(fi). Тогда из щ —> и следует, что lim \\А^акик + Awfc||_i)Jfc = ||Дростст + Аи||_1)0 Теорема 0.4 Пусть выполняются условия (0.28), (0.29) и h(Tk) —> 0 при к -> со. Тогда і. для любого Ло Є Ло найдется последовательность {Л*} А* ^ ^-к), сходящаяся к Ло; й. если последовательность {\k] А* ^ Л*^ ил«еет конечный предел Ло при fe —> со, то Ло Є Ло- Об организации текста. Диссертация состоит из введения, двух глав, объединяющих в общей сложности 15 пунктов, и списка литературы. Объем диссертации 81 стр. Библиография содержит 27 наименования. Текст иллюстрируют б рисунков. На втором этапе показывается, что структура этого определителя схожа со структурой определителя, возникающего в задаче о спектре некоторого алгебраического графа, и эта связь эксплуатируется для вывода уравнения (1.12). Доказательство, теоремы. Решение и% (t) уравнения (1.8) на ребре 7а представимо в виде где -А , В% - произвольные постоянные. Здесь параметр t растет на каж дом ребре от 0 до h в направлении указанной выше ориентации. Отметим также, что при выписывании последней формулы неявно предполага лось, что Aft 0. Выше было показано, что это действительно имеет место. Таким образом задача (1.8)-(1.10) сводится к нахождению таких коэффициентов А%,В%, что выполняются соотношения (1.9)-(1.10). Напомним, что, кроме того, должны выполняться условия непрерывности во внутренних вершинах. Следует заметить, что уравнение (1.4) аппроксимируется, главным образом, соотношениями (1.9) и условиями непрерывности, т.е. условиями во внутренних вершинах. В связи с этим оказывается удобным ввести дополнительные переменные иа, равные неизвестным нам значениям искомого решения и задачи (1.8)-(1.10) во внутренних вершинах. Мы попытаемся через эти величины выразить все остальные коэффициенты. В силу непрерывности решений в целом на сетке, для каждого из внутренних узлов аа значения иа вдоль примыкающих ребер должны быть одинаковы. Напомним, что граничные точки графа 1\ вообще говоря не могут лежать в точности на сЮ, и, в связи с этим мы считаем граничными все вершины графа Гд лежащие не далее чем на y/nh от dQ по норме, индуцированной из FC1. Продифференцировав (1.13) получаем: Количество уравнений в системе (1.18), (1.21) в точности совпадает с числом неизвестных величин иа. Но отметим, что решение задачи (1.8)-(1.10) отнюдь не сводится только к нахождению величин иа. Нужно еще найти величины В%, Аа1 из соотношений (1.14). Таким образом, для каждого Л мы имеем систему уравнений (1.14), (1.18), (1.21), линейных относительно Аа\ В%, иа. Для того, чтобы выписать матрицу этой системы, нужно расположить все неизвестные в каком-либо порядке. Сначала расположим переменные А%,В% парами упорядоченными лексикографически относительно координат мультииндекса а. После переменных А%,В% идут переменные иа, также расположенные лексикографически. Уравнения запишем в следующем порядке: Сначала попарно (1.14) с той же упорядоченностью. Потом уравнения (1.18), (1.21) в порядке нумерации всех вершин (и внутренних, и внешних общим списком, также лексикографически). Нули по Ад определителя этой системы дают искомый спектр. Этот определитель, с учетом специфики системы и выбранного порядка запи си уравнений и неизвестных, допускает представление в виде Заметим также, что блочный определитель в (1.23) распадается на два, что с учетом того, что позволяет преобразовать (1.23) к виду Блок D$ в (1.24) составлен из коэффициентов соотношений (1.22), которые могут быть представлены в виде Таким образом, с учетом того, что Лл 0, ph О, аъ, О определитель (1.24) обращается в нуль лишь при или при причем \Ds\ можно представить в виде где G - матрица смежности алгебраического графа, полученного из 1\ выбрасыванием граничных вершин аа(є дГь) и ребер, к ним примыкающих. 1.4 Спектр гиперкубической сетки Прежде чем продолжить изучение спектра частот колебаний сетки из струн, заполняющей произвольную область 2 Є BJ1 с кусочно гладкой границей, рассмотрим частный случай, когда область 2 Є JRJ1 является гиперкубом. Уточним постановку задачи: далее в этом параграфе мы будем предполагать, что 2 = [О, I] х х [О, I] - гиперкуб со стороной длины I расположенный относительно осей координат как показано на рисунке (см. рис. 4). При этом, как было показано в предыдущем параграфе, задача о нахождении спектра частот данной сетки сводится к нахождению спектра некоторого алгебраического графа G, который в рассматриваемом в данном параграфе случае, очевидно, будет иметь вид (см. рис. 5) Для вычисления спектра данного алгебраического графа G нам понадобятся некоторые факты из спектральной теории алгебраических графов, которые изложены, например в (см. [7]). В данном пункте мы вернемся к изучению случая сетки, заполняющей область с кусочно гладкой границей. Заметим, что матрица G — pi из (1.12) допускает детальный анализ благодаря своему сходству с матрицей С, получаемой при решении задачи (1.4), (1.5) разностным методом с шагом h при стандартных аппроксимациях первых и вторых производных при умножении каждой строки матрицы С на h2: Отличие сосредоточено на диагонали: у матрицы G — pi все диагональные элементы равны —р, а у С на диагонали расположены числа — 2п 4-\c—h. Отсюда следует, что если Ас принадлежит спектру Лс разностной аппроксимации задачи (1.4), (1.5), то корень уравнения (относительно АЛ) принадлежит Л/,. Верно и обратное. Если Л Є Ль, то число Лс, удовлетворяющее предыдущему равенству принадлежит Лс. Для удобства, с учетом (7) сформулируем полученный предварительный результат в виде утверждения. ТЕОРЕМА 12 . Спектр Ah задачи (1.8)-(1.10) совпадает с объединением множества корней следующих уравнений 2n _ л/л = 2n cos (hx[ ) - mM /— sin (hx/ -) (1.38) r \ rh у лал V о-л где iVc - количество ребер в графе Th, Nv - количество внутренних вершин в том же графе, а \спробегает спектр Лс дискретизированного (по сетке Th) варианта задачи (1.4), (1-Ю Известно ( см. например [6]), что решение спектральной задачи (1.36) сходится к решению задачи (1.4),(1.5), а именно: ТЕОРЕМА 13 . 1. Для любого А Є Л существует последовательность {Ас: Ас Є Лс} такая, что Ас — А, причем A = Ас + 0(h2). 2. Если Ас -» А, Ас Є Ас, А оо то А Є Л, причем A = Ас + 0(h2). Заметим, что мы уже исследовали уравнение, аналогичное (1.38), а именно (1.26) в пункте (1.4.4). Все рассуждения полностью аналогичны, если в пункте (1-4.4) положить При этом единственное значимое для нас решение уравнения (1.38), а именно - наименьшее при фиксированном 7 (все остальные, как показано в пункте (1.4.4) уходят в бесконечность в независимости от значений 7) также можно представить с помощью разложения Тейлора по степеням h. Для этого заметим, что с учетом зависимости ph, rrih, о л от р, а, р, т уравнение (1.38) преобразуется к виду что при разложении в ряд Тейлора дает Приведя подобные члены и поделив на h2 получаем или, с учетом того, что р = р + т: Используя теорему (13) мы получаем следующий результат: ТЕОРЕМА 14 . 1. Для любого А Є Л существует последовательность {A/i: Aft Є Лд} такая, что Ад —) А, причем А = Ад + 0(h2). 2. Если Ал — А, Ал Є Лл, А со то А Є Л, причем А = Ал 4- 0(Л2). Рассмотрения предыдущих разделов во многом основывались на возможности явных вычислений, хотя бы в промежуточных рассуждениях. Метод, описанный нами, далеко не единственный из методов, приводящих к успеху. К примеру, недавние результаты В.В. Жикова (см. [9, 10]) позволяют применить методы усреднения. Следует заметить, что даже в рассмотренном - периодическом случае, В.В. Жикову пришлось усовершенствовать метод усреднения (предыдущие варианты этого метода были применимы только к так называемым перфорированным областям). В данной главе мы рассматриваем случай непериодических сеток, к которым метод усреднения неприменим. Для решения подобного рода задач С. Назаров в последних своих работах развивает метод асимптотических разложений. К сожалению, реализация этого метода весьма сложна. Оказалось, что для изучения спектра частот собственных колебаний непериодических сеток удобно воспользоваться "методом резольвентной сходимости", разработанным Вайникко для несколько иных целей. Работы Вайникко имели целью синтезировать различные методы конечномерных аппроксимаций (метод конечных разностей, метод Галеркина, метод Ритца и т.п.). Ситуация, рассматриваемая нами, несколько отличается от рассмотренной Вайникко; пространства функций, определенных в целях разностной схемы, конечномерно, а пространство функций на геометрическом графе - бесконечномерно. Поэтому нам пришлось несколько отступить (в некоторых моментах) от схемы Вайникко. Пусть Act2- ограниченная область. Пусть далее задана конечная совокупность точек щ Є СІ. Через Г обозначим связный геометрический граф, имеющий щ своими вершинами. Вершины, лежащие в Г = Г Г) Г2 назовем внутренними и их совокупность обозначим Т(Г). Остальные вершины (т.е. лежащие в dQ) будем называть граничными вершинами графа Г и их совокупность обозначим дТ. Ребра графа Г, обозначаемые далее через 7»? предполагаются прямолинейными интервалами, соединяющими некоторые вершины. В задаче о колебаниях системы связанных струн имеем такое соответ ствие: струны соответствуют ребрам графа, а места соединения струн внутренним вершинам. Места закрепления всей системы соответствуют граничным вершинам в дТ. Задача о спектре частот собственных колеба 4 ний сетки из струн описывается следующим набором дифференциальных соотношений: Здесь (ТІ - натяжение, pi - плотность струны 7ь Щ — т(оу) - точечная масса в узле a,j. На каждом ребре 7» предполагается заданной натуральная параметризация; под и (х) понимается производная по натуральному параметру 1 в точке х, т.е. Направление роста параметра / на 7І не имеет значения для уравнения (2.1). В уравнении (2.2) под и ъ(х) понимается производная по направле нию от вершины a,j внутрь ребра 7t- Через I(a j) обозначено множество номеров ребер, примыкающих к вершине a,j. Задаче (2.1)-(2.3) удобно придать «классический» вид, подчеркивающий Задача, рассматриваемая нами укладывается в следующую абстрактную схему, описанную, например, в [12]. Пусть рассматривается задача о спектре или, например, задача на собственные значения где U(X) - линейный ограниченный оператор, действующий из банахова пространства Е в банахово пространство F (разумеется Е должно быть вложено в F). Наряду с задачей (2.18) рассмотрим последовательность задач вида где оператор Uk{\) действует из банахова пространства Ек в банахово пространство Fk. При определенных условиях задачу (2.19) можно считать близкой задаче (2.18). Один из вариантов описания такой близости состоит в задании диаграммы вида (подробности см. в работе [12]) Ек Ек в которой {рк} - семейство так называемых связывающих операторов, позволяющих придать смысл сходимости (р-сходимости в терминологии [12]) последовательности {ик} (ик Є Ек) к элементу и Є Е\ мы пишем ик — и, если \\ик — рки\\Ек —» 0 при к —У со. От операторов рк требуется выполнения следующих двух условий рк - аддитивный и однородный оператор; PJfcwIU - ІІЧІВ ПРИ - оо при любом и Є Е. Аналогично, с помощью семейства { &}, определяется -сходимость последовательности vk Є Fk к v Є F. Теперь можно определить понятие так называемой pg-сходимости семейства операторов Uk(X) к оператору U(А). А именно, мы пишем Uk(X) - » 7(А), если из /т-сходимости к и последовательности {щ} следует g-сходимость к U(\)u последовательности {Uk{\)uk}- Иными словами: Сама по себерд-сходимость мало что дает; для приложений требуются дальнейшие ее уточнения. Для наших целей важную роль будет играть так называемая устойчивая сходимость семейства {7 (А)} к U{\). Это, помимо pg-сходимости, предполагает обратимость всех операторов 4 (А) и ограниченность в совокупности норм операторов / "1(А) (резольвент операторов Ак) начиная с некоторого номера. Разумеется об устойчивой сходимости можно говорить лишь при А, принадлежащих всем резольвентным множествам 9К(Ак) операторов Ак, начиная с некоторого номера (своего для каждого А). Мы потребуем устойчивой сходимости последовательности Uk(X) к и(Х) при всех А Є 9і(А). Это довольно сильное условие и его проверка в нашей задаче оказывается довольно трудоемкой (см. далее). Устойчивая сходимость при некоторых дополнительных требованиях на операторы Uk(X),U(X) обеспечивает близость (в указанном выше смысле) спектра Л оператора / (А) к спектру Ло оператора 17(A). А именно, имеет место следующее утверждение. Теорема 2.1 Пусть А и Ак фредгольмовы с нулевым индексом и на любом компакте Я" Є С при всех к Є N имеет место неравенство Тогда, если последовательность Uk(X) устойчиво сходится к U(X) при А Є ЩА), то Ак - Л0. Данное утверждение представляет собой уточненный для наших целей вариант теоремы из работы [12] (теорема 2 на стр. 69). Поэтому наше доказательство весьма схематично и приводится лишь ради автономности изложения. Фиксируем некоторое Ао Є Ло- Пусть замкнутый круг Вг(\о) на комплексной плоскости не содержит других точек спектра из Ло (ввиду фредгольмовости оператора А его спектр дискретен). Тогда при достаточно больших к в указанном круге обязательно найдется точка А& Є Л . В противном случае найдутся сколь угодно большие к такие, что граница дВг(\о) содержится в 9\(Ак) и тем самым имеет смысл говорить об устойчивой сходимости к U(X) некоторой подпоследовательности последовательности {Uk(X)}. Для простоты предположим, что это сама исходная последовательность. Можно показать, что устойчивая сходимость влечет равномерную ограниченность норм операторов t/ "1(A) на дВг(\о) как по к, так и по А. В силу голоморфной зависимости 7 "1(А) от А и принципа максимума получаем f "1(A) С О на всем круге и, в частности, в точке Ао- Теперь, опираясь на pg-сходимость Г4(Ао) к /(Ао) легко показать, что для любого и Є Е имеем Cw Z7(Ao)w (с константой, указанной выше). Отсюда следует, что Ао Є 91(A), что противоречит принадлежности Ао спектру оператора U(X). Выбирая теперь последовательность радиусов Гк стремящуюся к нулю получаем последовательность А& Є Л& (А Є ВГк(Хо)), сходящуюся к Ао. Тем самым, в определении сходимости Л к Ло проверено условие і. Проверим второе условие. Пусть последовательность {А Є Л&} имеет конечный предел Ао- Из равенств Uk(Xk)uk = 0 (щ - нормированная собственная функция) следует, что Если Ао Є 91(A), то в силу устойчивой сходимости Uk(Xo) к /7(Ао) мы должны иметь С "1(Ао) С. Отсюда и из (2.21) следует невозможное равенство Следовательно, предположение Ао Є 0\(А) ведет к противоречию. Отсюда заключаем, что До Є Ло Нами будет использоваться ослабленный вариант pg-сходимости. А именно, вместо (2.20) будем требовать выполнения условия Это избавит нас от необходимости вводить связывающие операторы qk : F — Fk. Рассуждения, проведенные выше справедливы и в случае такой сходимости. Следует отметить, что именно это ослабление рд-сходимости лишает нас возможности обсуждать близость собственных функций. Проверка условия (2.22) намного легче проверки (2.20), но, как видим, за это приходится расплачиваться потерей информации о сходимости собственных функций. Наряду с устойчивой сходимостью Uk(X) к U(X) полезно ввести еще понятие регулярной сходимости, весьма близкое к сходимости устойчивой. Следуя [12] будем говорить, что Uk(X) сходится к U(X) регулярно, если Uk(X) сходится к U(X) в смысле (2.22) и из того, что кяЛ const и существует конечный предел lim II (А) следует, что в {ик} име к- оо ется р-сходящаяся подпоследовательность. Кроме того, будем говорить, что последовательность Uk(X) компактно сходится к U(X), если выполнено (2.22) и из Ци Ц const следует существование такой подпоследовательности {икЛ, что предел lim (А)иь.р. Данный пункт является подготовительным к доказательству сходимости операторов Драст + XI к оператору А , + XI в различных смыслах, описанных в пункте 2.3. о Лемма 2.8 Пусть и Є Я рТ ). Тогда To, что оценка зависит только от А, но не от Г важно для дальнейшего. Следующая лемма дает оценку норм операторов, обратных к Из предыдущей леммы легко следует, что оператор Др — / осу-ществляет изоморфизм между Н kffk{ k) и Ні Гк). Отсюда, конечно, не следует (вообще говоря), что таким же свойством обладает оператор А/ст : Н как(Гк) — Н ак(Тк). Поэтому остановимся на этом подробнее. В работе [26] (см. также [25]) доказано, что на произвольном стратифицированном множестве выполняется неравенство Пуанкаре, которое в нашем случае имеет вид: (2.35) для любой функции и Є #:fc(Tfc(rfc) с константой, зависящей только от Г к- В порядке комментария заметим, что при дополнительном условии на Гк где dk - расстояние на Г к (минимум длин путей, соединяющих х и у), а d - евклидово расстояние между этими же точками, то константу Ск в (2.35) можно выбрать не зависящей от Г , если все прочие условия (на pfe, тк) считать также выполненными. Неравенство (2.35) означает, в частности (см. например [8]), что где Ск О, а отсюда следует, что Д : Н нрк) — Н ак{Тк) является изоморфизмом. о Поскольку оператор XI : Н\ак(Тк) — Н}к{Гк) компактен, то оператор Аркрк + XI является фредгольмовым с нулевым индексом (см. например, [27]) при каждом к и любом А. Хотя формально мы должны рассматривать и случай комплексных А, тем не менее можно ограничиться случаем вещественных и положительных А. Это следует из того, что оператор —Аркак формально самосопряженный и положительно определенный, а потому его спектр лежит на положительной полуоси в Е. Отметим также, что в силу упомянутой выше фредгольмовости спектр оператора —Аркак дискретен. Для доказательства данной теоремы нам потребуются две вспомогательные леммы. о о р Лемма 2.10 Пусть Uk Є Н ак( к), и Є Hjp fi). Тогда из ик —У и следует, что lim WAjekfak - Рки) + Кик - Р «)-1,А = 0. k-Юо Доказательство. Согласно неравенству (2.34) lim \\&( ак(ик-рки) + \(ик Лемма 2.11 Пусть и Є #1 (0). Тогда Доказательство. Используя неравенство, аналогичное (2.34), но для Аріозо + XI а также лемму 2.3 имеем lim UApP u - J tx) + \{и - JJ«)Ц-1,0 (1 + А) lim u - Jj«i,o = 0. к—too к—too Доказательство теоремы 2.5. Из леммы 2.10 следует, что lim С учетом того, что pkU — Tk{J u) и J u Є Соо(Г2) для доказательства теоремы достаточно показать, что Заметим также, что (без ограничения общно зависящей только от Г к- В порядке комментария заметим, что при дополнительном условии на Гк где dk - расстояние на Г к (минимум длин путей, соединяющих х и у), а d - евклидово расстояние между этими же точками, то константу Ск в (2.35) можно выбрать не зависящей от Г , если все прочие условия (на pfe, тк) считать также выполненными. Неравенство (2.35) означает, в частности (см. например [8]), что где Ск О, а отсюда следует, что Д : Н нрк) Н ак{Тк) является изоморфизмом. о Поскольку оператор XI : Н\ак(Тк) — Н}к{Гк) компактен, то оператор Аркрк + XI является фредгольмовым с нулевым индексом (см. например, [27]) при каждом к и любом А. Хотя формально мы должны рассматривать и случай комплексных А, тем не менее можно ограничиться случаем вещественных и положительных А. Это следует из того, что оператор —Аркак формально самосопряженный и положительно определенный, а потому его спектр лежит на положительной полуоси в Е. Отметим также, что в силу упомянутой выше фредгольмовости спектр оператора —Аркак дискретен. Для доказательства данной теоремы нам потребуются две вспомогательные леммы. о о р Лемма 2.10 Пусть Uk Є Н ак( к), и Є Hjp fi). Тогда из ик —У и следует, что lim WAjekfak - Рки) + Кик - Р «)-1,А = 0. k-Юо Доказательство. Согласно неравенству (2.34) lim \\&( ак(ик-рки) + \(ик Лемма 2.11 Пусть и Є #1 (0). Тогда Доказательство. Используя неравенство, аналогичное (2.34), но для Аріозо + XI а также лемму 2.3 имеем lim UApP u - J tx) + \{и - JJ«)Ц-1,0 (1 + А) lim u - Jj«i,o = 0. к—too к—too Доказательство теоремы 2.5. Из леммы 2.10 следует, что lim С учетом того, что pkU — Tk{J u) и J u Є сти) супремумы можно рас о о сматривать на плотных в Я о 7о( ) и Н\ак{Рк) множествах. Например Ф CQQ(Q) И фк = Тк(ф). Также можно считать, что i,o = 1- При \\Ф\ко этом, при фиксированном є 0 начиная с некоторого к имеем \\Тк{Ф)\\і,к с Тогда (2.36) примет вид Принадлежность и и ф пространству CQ0(1) означает, в частности, что частные производные функций и и ф равномерно непрерывны на Q. Поэтому при фиксированном е 0 можно указать такое S 0, что при разбиении 12 на попарно непересекающиеся простые части ш\,..., ит с диаметрами, не превосходящими S, колебания osc( дхі \U)l) є, OSc(\u\2]LJl) Є, 0SC( дф_ дх1 ;ш{) є, osc(02;a j) є для всех і J. ТогдаСведение задачи к задаче о спектре алгебраического графа
Случай произвольной области
Об аппроксимации многомерных задач одномерными
Некоторые оценки прямых и обратных операторов