Введение к работе
Объектом предлагаемого исследования являются дифференциальные операторы эллиптического типа с аналитическими коэффициентами, заданные в пространстве R2.
Предметом исследования будет построение формулы отражения для указанного класса операторов.
Актуальность. Настоящая работа возникла при попытке обобщить известный ранее для гармонических функций принцип симметрии Шварца на решения произвольных линейных эллиптических дифференциальных операторов. Такого рода исследование является в настоящее время весьма актуальным. Действительно, при решении прямых и обратных задач теории дифракции, а также в прикладной электродинамике и некоторых задачах вычислительной математики возникает необходимость продолжения решения дифференциального уравнения, первоначально заданного в некоторой области, через границу этой области.
Одним из классических методов, применяемых для решения задачи о продолжении, является метод, основанный но принципе симметрии Шварца. Этот метод (в его первоначальной постановке) основан на том, что любая гармоническая функция двух переменных, обращающаяся в нуль на аналитической кривой Г, удовлетворяет соотношению
ф,у) + и(Щ,х,у)) = 0, (1)
где R — антиконформное отображение, определенное в окрестности кривой Г п переставляющее части Ui nUj, на которые кривая делит эту окрестность. Отметим, что отображение R зависит только от кривой Г.
Принцип симметрии Шварца являлся предметом изучения многих математиков: П. Гарабедиана, П. Дэвиса, Г. Леви, Б.Ю. Стернина, Г. Шапиро, В.Е. Шаталова, Д. Хавинсона и др. (см. обзор Б.Ю. Стернина и В.Е. Шаталова1).
К сожалению, формула (1) в таком простом виде не имеет места в более общей ситуации. В частности, как показали Д. Хавинсон и
xB.Yu. Sternin, V.E. Shatalov, Continuation of solutions to elliptic equations and localization of singularities, Springer Lect. Notes in Math. 1620 (1902), 237 - 260.
Г. Шапиро2, для уравнения Гельмгольца в плоскости она справедлива только для случая, когда кривая Г является отрезком прямой, а для уравнения Лапласа в пространстве R3 — только, когда Г является частью либо плоскости, либо сферы.
Принцип (формула) отражения имеет, однако, место и в общем случаяе, если только его понимать в обобщенном смысле — как существование некоторого оператора сопоставляющего каждому решению и произвольного эллиптического уравнения (с определенными условиями на кривой Г) в области Щ некоторое решение этого же уравнения в области U^, продолжающее решение и. Этот оператор является оператором более общей природы, нежели оператор симметрии типа (1), индуцированный поточечным отображением областей. На возможность получения такого рода формул указывал еще в 1959 году Г. Леви3, а годом спустя в работе П. Гарабедиана4 был установлен этот же факт и для более высоких размерностей пространства. Отметим, что в указанной работе П. Гарабедиана имеется даже некоторая формула отражения, однако она настолько сложна и многоступенчата, что проблема получения явной и удобной для приложений формулы отражения, даже для уравнения Гельмгольца на плоскости, по-прежнему, оставалась открытой.
Все это определило основную цель исследования, которая состоит в получении явной формулы отражения для эллиптических дифференциальных операторов с аналитическими коэффициентами в двумерном случае.
На этом пути в диссертации были решены следующие конкретные задачи:
-
Предложен метод редукции задачи о продолжении к задаче с заданным расположением особенностей.
-
Доказано существование и сконструировано явное решение задачи с заданным расположением особенностей.
-
Получено новое представление фундаментального решения эллиптического дифференциального оператора произвольного порядка
aD. Khavinson, H.S. Shapiro, Remarks on the reflection principle for harmonic functions, Journal d'analyse mathematique 54 (1990), 60 -76.
3H. Lewy, On the reflection laws of second order differential equations in two independent variables, Bull. Amer. Math. Soc. 66 (1059), 37 - 58.
4 P. Garabedian, Partial differential equations with more than two independent variables in the complex domain, J. Math. Mech. 9 (I960), N. 2, 241 - 271.
с постоянными коэффициентами в старшей части (которое, в отличие от известного представления Ф. Джона5, явно связано с характеристиками этого оператора).
Таким образом,
научная новизна работы состоит в том, что в диссертации впервые получена явная формула отражения для эллиптических дифференциальных операторов произвольного порядка с аналитическими коэффициентами, заданных в пространстве R2.
Практическая и теоретическая ценность работы. Полученные в работе результаты
дают новую интерпретацию классического принципа симметрии Шварца;
объясняют, в частности, причину невозможности получения поточечной формулы отражения для оператора Гельмгольпа;
позволяют решать прямые и обратные задачи теории дифракции.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Библиография — 45 названий.
Методологическую основу диссертации составляют работы Ж. Адамара, И.Н. Векуа, П. ГарабедпаЪа, П. Дэвпса, Г. Леви, Д. Людвига и Р. Миллара по теории дифференциальных уравнений с частными производными. Кроме того, используется аппарат теории дифференциальных уравнений на комплексных многообразиях, созданный в последние годы Б.Ю. Стерниным и В.Е. Шаталовым ( см. обзор6).
Апробация. Основные положения диссертации были доложены на специальном семинаре кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ, в Университете города Ниццы (Франция, 1992 г.), на школе-семинаре по дифракции и распространению волн (Москва, 1993 г.), з цикле лекций, прочитанных в Королевском технологическом институте (Швеция, Стокгольм, 1993 г.).
По результатам диссертации автором опубликовано три работы.
BF. John, Plane waves end spherical means applied to partial differential equations, Int. Publ. Inc., New York, Int. Publ. Ltd., London, 1955. Русский перевод: Ф. Йон, Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частными производными, М.: ИЛ, 1958.
вБ.Ю. Стернин, В.Б. Шаталов, Дифференциальные уравнения на комплексно-аналитических многообразиях н канонический оператор Маслова, Успехи матем. наук 43 (1988), N.3, 99 -124.
Благодарности. Я благодарна профессорам Б.Ю. Стернину и В.Б. Шаталову за помощь в написании этой работы.