Введение к работе
. Актуальность темы. В современной теории уравнений математической физики системы интегро-дифференциальных уравнений занимают особое место. С одной стороны, к ним'возрос интерес в связи с возрастающей ролью их в приложениях, а с другой они представляют класс уравнений со своими специфическими особенностями.
Основополагающими в этом направлении являются работы А.Н. Тихонова, Я.В. Быкова, М.И. Иманалиева, Е.И. Кима и др. К системам интегро-дифференциальных уравнений приводится ряд задач математической физики, возникающих в теории тепло- и массообме-на. Для этих задач наряду с проблемами существования и единственности обобщённого решения в различных функциональных классах, получения априорянх оценок решений, изучаются вопросы о явных аналитических решениях и нахождении условий однозначной разрешимости указанных задач в терминах заданных коэффициентов.
За последние годы получен ряд фундаментальных результатов по однозначной разрешимости начально-краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений и их систем. Большая часть этих результатов относится к интегро-дифференциальным уравнениям, когда порядок производной под знаком интеграла;не превышает порядок производной вне интеграла.
Значительный интерес представляет исследование решений линейных интегро-дифференциальных уравнений и их систем в многомерном пространстве, когда порядок производной под знаком интеграла выше порядка производной вне интеграла. Таким' задачам посвящены работы Е.И. Кима и его учеников, в которых впервые для математических моделей технических задач ставится вопрос об условиях разрешимости, выраженных через заданные коэффициенты и находятся явные аналитические формулы решения.
К этому направлению примыкает и данное исследование. В работе рассмотрены системы интегро-дифференциальных уравнений, содержащих под знаком интеграла производные высокого порядка не только по пространственным переменным, но и по времени, когда заданные вектор-функции убывающие или'растущие. Такие классы
систем интегро-дифференциальных уравнений встречаются при решении граничных задач для параболических систем с кусочно-постоянными коэффщиентами в многомерном пространстве для полосы, когда граничные условия и условия сопряжения содержат производные порядка, превышающего порядок уравнений.
Из вышеизложенного следует, что изучение систем интегро-дифференциальных уравнений в частных производных является актуальній!
Целью работы является исследование вопросов разрешимости систем интегро-дифференциальных уравнений, когда под знаком интеграла порядок производное по пространственньы переменным и по времени выше, чем порядок производной вне интеграла в многомерном случае, применение полученных результатов к изучению общих краевых задач для систем параболических уравнений второго порядка с разрывными коэффициентами, когда корни характеристических уравнений кратные.
Методика исследования. В работе используются методы теории потенциала, интегральных преобразований, теории интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.
Научная новизна полученных результатов состоит в том, что впервые в многомерном пространстве рассмотрены системы интегро--дифференциальных уравнений, содержащих под знаком интеграла производные высокого порядка по пространственным переменным и по времени, получены достаточные условия разрешимости, получены матричные интегральные уравнения резольвенты для характеристических частей систем, дано обоснование решения при помощи интегральных уравнений резольвенты, получены явные аналитические решения, применены методы систем интегро-дифференциальных уравнений к решению общей краевой задачи для системы параболических уравнений с разрывными коэффициентами, когда граничные условия и условия сопряжения содераат производные порядка, превшаюцего порядок уравнений и заданные вектор-функции - растущие.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные в работе результаты могут служить теоретической основой при решении начально-краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений параболического типа и общих краевых задач для параболических систем с разрывными коэффициентами. Они могут найти применение при исследовании конкретных математических моделей теплофизиче-ских процессов, к которым применимы численные методы.
Апробация работы. Результаты работы обсуядались на Всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи математической физики" (Красноярск, 1989), на ІХ-й Республиканской межвузовской конференции по математике и механике (Алма-Ата, 1989), на ХП-й Мегзду-народной конференции по нелинейным колебаниям (Краков, 1990}, на Республиканское научной конференции "Теория приближения и вложения функциональных пространств" (Караганда, I99IJ, на конференции, посвященной 80-летию Е.И. Кима "Задачи для параболических уравнений и их приложения" (Алма-Ата, 1991), на конференции, посвященной 70-летию Т.И. Аманова "Применение методов теории функций и функционального анализа к задачам математической физики" ( Алматы, 1993), на ХХУІ, ХХУІІ, ХХІХ-й научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов (Москва, 1991, 1992, 1993), на конференции "Актуальные вопросы современной науки и техники" (Алматы, 1994), на конференции, посвященной 60-летию К.Ж, Наурызбаева "Актуальные вопросы математики и методики преподавания математики" (Алматы, 1994), на юбилейной научной конференции, посвященной 50-летию развития математики в Академии наук Казахстана (Алматы, 1995), на Международной научно-технической конференции (Актау, 1996), на конференции по механике и её приложениям, посвященной 70-летию Ш.А. Ерлина (Алматы, 1996), на первом съезде математиков Казахстана (Шымкент, 1996), на Международной научно-практической конференции "Современные проблемы информатики, управления и создания информационных технологий и систем" (Алматы, 1997), на научных семинарах член-корреспондентов НАН РК СН. Харина, Н.К. Блиева, Ш. Смагулова, профессоров СИ. Темирбулагова, М.А. Абдрахманова, СА. Алдааева, М.О. Орынбасарова, Сакабекова А.С, Хайруллина Е.М. (.Алматы, 1996).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах ГІ] -С 9 1 .
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав и напечатана на 130 страницах машинописного текста, включая список литературы из 99 наименований.