Введение к работе
Актуальность темы. Теория расширения симметрических операторов в гильбертовом пространстве была разраоотань Дж. Нейманом. Позже Ы.И.Вишик распространил теорию ідЛієізлзке на несимметрические операторы, им была дана конструкция описания всех регулярных расширении, в частности, были описаны в .терминах граничных условий регулярные расширения для эллиптических .уравнении. Затем А.З.Блцадзе и А.А.Самарский обнаружили корректную задачу, которая не содержится среди задач, описанных Ы.И.ВИПШК0М. С целью изучения такого рода задачи в работах А.АЛезина, М.О.Отелбаева, Т.Ш.Кальменова и других была создана теория, корректных сужений и расширении. Приложения этой теории к дифференциальным операторам дала возможность изучить широкий класс не краевых задач, выяснить;.' корректность задач для нагруженных дифференциальных уравнений и т.д.
Следупцим закономерным этапом развития теории корректных сужений и расширений является изучение спектральных свойств различных операторов, имеющее многочисленные приложения в анализе, в теории краевых задач и в прикладных задачах математики и физики. В этом направлении опубликованы отдельные работы слвдгащх авторов: А.А.дезина, М.О.Отелбаева, Т.Ш.Кальменова, В.А.Ильина, А.А.Шкаликова.Е.И.Моисеева, В.А.Шхайлеца, И.С. Ломова, Б.В.Логинова, Б.Н.Биярова и других. Несмотря на это спектральные вопросы для корректных, сужений и расширений в настоящее.время'мало изучено.
Цель работы. Настоящая работа посвящена постановке и исследованию новых корректных задач для обыкновенного дифференциального оператора второго порядка на полуоси и параболического оператора в одно- и двусвязных областях с помощью общего представления обратных операторов в описании М.О.Отелбаева, а также изучению их спектральных свойств.
Научная новизна. Описаны корректные сужения для обыкновенного дифференциального" оператора второго порядка на полуоси; найдены необходимые и достаточные условия плотности области определения корректных сужений и описаны законы действий и области определений сопряженных к ним операторов; доказано, что для оператора Штурма-Лиувилля на полуоси вольтерровыми могут быть только задача Кош и сопряженная задача Коши. Для оператора Штурма-Лиувилля описаны всевозможные самосопряженные регулярные расширения и диссипативные корректные сужения; показаны классы корректных несамосопряженных сужений с полными системами корневых векторов.
Для параболического оператора в одно - и двусвязных областях описаны всевозможные нормальные расширения и найдены необходимые и достаточные условия корректности нормальных расширений. Найден класс параболических задач с системами собственных функций, образущих базис Рисса.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации,: могут быть использованы в спектральной теории дифференциальных операторов, порожденных не обязательно краевыми
условиями , а также для изучения спектральных свойств корректных сужений и расширений линейных операторов.
Апробация работы. Основные результаты диссертации док
ладывались на семинарах член-корр. НАН РК д.ф.-м.н. ,
профессора М.О.Огелбаева/ ИПМ НАН РК и Мин. образования РК /,
член-корр. НАН РК д.ф.-м.н., профессора Т.Ш.Кальменова / Каз.
ХТИ /, д.ф.-м.н., профессора Д.У.Умбетяанова / ШШ НАН РК /,
лаборатории математического анализа / ИТПМ НАН РК /, на
всесоюзной научной конференции " Краевые задачи я их спектр
альные вопросы для дифференциальных уравнений " /г. Алма-Ата,
1991 г., май /. '
Публикации. По теме диссертация опубликованы три работы, список которых приводится в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения , двух глав и списка литературы, содержащего 46 наименований.