О компьютерном моделировании некоторых задач фильтрации в пористой среде Аль-Кхазраджи Сундуз Хатем Маджид

Содержание к диссертации

Введение

1 Корректно поставленные задачи 17

1.1 Вектор-функции и оператор-функции 17

1.2 Сильно непрерывные полугруппы

1.3 Корректная разрешимость задачи Коши для уравнения 1-го порядка 33

1.4 Дробные степени операторов 36

1.5 Корректная разрешимость граничных задач для уравнения 2-го порядка 38

1.6 Об одном методе решения одномерных параболических уравнений (задачи Дирихле) 46

2 О корректной разрешимости задач фильтрации 50

2.1 Необходимые факты из общей теории при исследовании модели В.С.Голубева 50

2.2 Постановка задач в рамках общей теории (случай х Є R+) 53

2.3 Построение полугруппы U(t,-A) (случай х Є (0,оо)) 54

2.4 Построение оператора у/А 58

2.5 Вычисление характеристик потока на границе 60

3 Об автоматическом регулировании течения вязкой сжи маемой жидкостивпористой среде 64

3.1 Выбор математической модели 64

3.2 Анализ возможности использования неявной разностной схемы 66

3.3 Численное решение граничной задачи 67

3.4 Результаты расчетов и рекомендации 69

Список литературы

• Сильно непрерывные полугруппы
• Корректная разрешимость задачи Коши для уравнения 1-го порядка
• Постановка задач в рамках общей теории (случай х Є R+)
• Анализ возможности использования неявной разностной схемы

Введение к работе

Актуальность темы. Учитывая широкое использование пористых сред в приложениях, таких как фильтрация, абсорбция, транспирационное охлаждение и т.д. и фактически непреодолимые проблемы при идентификации их локальных гидродинамических характеристик на основе классических уравнений Новье-Стокса, необходима разработка новых методов анализа так называемых приближенных моделей с распределенными параметрами типа модели B.C. Голубева, учитывающие структуры пористых сред. В частности, сюда относятся некоторые теории, описывающие движения жидкости в пористой среде. В.С.Голубев показывает, что существует структура потока, зависящая от расхода жидкостей, которая при малом расходе имея ламинарный поток охватывает всю элементарную камеру (см. рис. 1а), а с увеличением расхода структура потока приобретает двойственный характер. В то время как в ядре потока (проточной зоне) жидкость движется от входа к выходу по прямолинейным траекториям, на периферии потока ( в застойной зоне) она вовлекается в вихревое движение (рис. 16). Такой не ламинарный (но и не турбулентный) режим характерен для течения жидкости в пористой среде.

Рис. 1. Схематическое изображение траекторий частиц жидкости в областях ламинарного (а) и вихревого (б) массообмена между проточными и

застойными зонами камеры.

Уравнение движения жидкости в таком случае имеет вид

d²p(t,x) dp(t,x) лил

а ^Чг^- = У тт:—- + (1 — V)P{t, Xj —

дх²

l-z/)7² / e^^s-^t)p{s₎x)ds = Up{t₎x) Jo

где x > 0, t > 0, zz-доля объема проточных зон, 7-константа массообмена между проточными и застойными зонами, а- коэффициент пьезопроводимо-

сти. Различные задачи для такого уравнения изучались многими авторами, в частности Ю.И.Бабенко.

Однако проблемы корректности и адекватности таких моделей проработаны недостаточно, что сдерживает фактически обоснованность применения различных процедур численного интегрирования. Такие исследования тем более важны при численной реализации задач с применением высокоскоростных компьютерных технологий. Как правило, проводимые при этом исследования касаются только вопросов существования решений соответствующих задач и их интегро-дифференциальных представлений. Вопросы же корректной разрешимости и следующей из этого устойчивости решений по исходным данным, в этих работах не обсуждаются.

Например, у Ю.И. Бабенко, для уравнения (1) рассматривается задача

р(0,ж) = 0, (2)

p(t,0) = ip(t), \im(t,x) = 0. (3)

х—>0

Требуется найти градиент давления у границы области.

= «(«) (4)

х=0

dp(t, х

дх Ответ дается в виде

q(t) = L%q(t) = ^%-*Ме*, (5)

где неограниченный оператор М формально выписывается в виде ряда сходимость которого не обсуждается.

Предлагаемый в настоящей работе метод и алгоритм численной реализации решения как задачи (1)-(3), так и вычисления функции q{t) в (4) позволяет устранить указанные недостатки. Здесь мы используем довольно общий метод С.Г. Крейна решения граничных задач для уравнений в банаховом пространстве.

В настоящей диссертации проведен анализ математической модели (1) для задачи Ю.И. Бабенко (1)-(3), а также для граничных задач на конечном интервале [0,/], с начальным условием (2) и граничными условиями:

p(t,0) = ip(t), (і,1) = <ф(і), (7)

дх ' дх дх

Эти исследования приводят к необходимости введения дробных степеней оператора (в частности Aї), в терминах которого формулируются определения решений этих задач.

Этим и обусловливается актуальность темы. Диссертационное исследование выполнено в рамках г/б НИР ВГУ (№ ГР 01201266154) "Качественная теория некоторых классов дифференциальных уравнений и операторов в специальных функциональных пространствах". НИР в рамках госзадания Ми-нобрнауки РФ 2012-2013гг.

Цели и задачи исследования. Разработка методов анализа математических моделей движения сжимаемых сред в пористых системах на основе установления корректности различных постановок нестационарных краевых задач. Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей. Разработка новых математических методов и алгоритмов, интерпретации натурного эксперимента на основе математической модели.

С этой целью необходимо изучить феноменологическое уравнение движения жидкости на основе моделей пористой среды, состоящей из проточных и застойных зон, предложенное B.C. Голубевым; установить корректную разрешимость граничных задач для дифференциальных уравнений, описывающих эту модель, с целью обоснования нового численного метода реализации этих задач; применить полученные результаты к построению автоматического регулирования течения вязкой сжимаемой жидкости в пористой среде, с целью использования компьютерных технологий для реализации соответствующих алгоритмов управления.

Реализация цели исследования осуществляется решением следующих задач, как теоретического, так и прикладного характера:

1. Модификация модели B.C. Голубева движения жидкости в пористой среде с застойными зонами.

2. Разработка инструментария для анализа сформулированных краевых задач на основе установления корректности.

3. Разработка предметно-ориентированной программы для реализации предлагаемого алгоритма.

4. Проведение вычислительного эксперимента и анализ результатов с практическими рекомендациями о продолжительности функционирования предлагаемой системы.

Объект исследования. Исследуется одна из основных задач теории теп-ломассопереноса - определение материальных и энергетических потоков на

границе раздела сред. О важности этого понятия говорит то, что для гетерогенных процессов (межфазовые химические реакции, растворение, кристаллизация, испарение, конденсация и т.д.) производительность аппаратов в ряде случаев можно рассчитывать, зная интенсивность массообмена на межфазной границе. Эффективность теплообменных устройств также определяется тепловыми потоками на поверхности раздела.

Методы исследования. Разработанные в диссертационной работе методы исследования математических моделей задач фильтрации в пористой среде основаны на фундаментальных методах функционального анализа, теории корректных и некорректных задач с приложением к корректной разрешимости задач для математических моделей, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями дробного порядка.

Основные положения, выносимые на защиту. На защиту выносится аналитические и численные методы исследования граничных задач для интегро-дифференциальных уравнений B.C. Голубева, описывающего процесс фильтрации в пористой среде.

Научная новизна. 1. В диссертационной работе предлагаются новые подходы анализа математических моделей, основополагающим математическим объектом которых являются нестационарные задачи для эволюционных уравнений, описывающих движение жидкости в пористой среде.

2. Доказана корректная разрешимость решений рассматриваемых граничных задач для таких уравнений.

3. Указан регуляризирующий алгоритм численной реализации градиента давления, в проточной зоне, на границе области.

4. Построена модель автоматического регулирования течения вязкой сжимаемой жидкости в пористой среде.

5. Построен алгоритм, который реализован в среде программирования
Delphi и даны соответствующие рекомендации.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическое значение работы заключается в применении методов функционального анализа, в частности, в теории линейных полугрупп преобразований к исследованию конкретных математических моделей, представляющих собой нестационарные задачи, описывающие явление тепломассопереноса. Получать их точное решение и устанавливать корректную разрешимость, что обеспечивает устойчивую стабилизацию, сходимости приближенных решений к точному. Практическая значимость результатов и методов диссертационной работы заключается в возможности их использования в качестве инструментов для ис-

следования математических моделей, описывающих процессы фильтрации в пористых средах, например, в трубопроводах с шероховатыми (фрактальными) стенками и проводить анализ изменения давления сжимаемой жидкости с помощью размещения датчиков давления жидкости вдоль магистралей и судить о структуре измеряемых данных.

Область исследования.Область исследования и содержание диссертации находятся на стыке специальностей 01.01.02 — Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление и 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (физико-математические науки). По специальности 01.01.02 область исследований включает применение методов дробного интегро-дифференциального исчисления к исследованию корректной разрешимости нестационарных задач для дифференциальных уравнений с частными производными параболического типа. По специальности 05.13.18 область исследования соответствует п. 2 "Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей п. 4 "Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента п. 6. "Разработка новых математических методов и алгоритмов проверки адекватности математических моделей объектов на основе данных натурного эксперимента".

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на Воронежской зимней математической школе в 2014 г., на Воронежской математической школе "Понтрягинские чтения"в 2013, 2014 гг., на Международной молодежной научной школе "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач "в 2012 г., а также на семинарах ВГУ по математическому моделированию (рук.— проф. В.А. Костин) и нелинейному анализу (рук.— проф. Ю.И. Сапронов, проф. Б.М. Даринский).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[6]. В совместных публикациях [1],[3],[4],[6] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работы [3] и [4] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых журналов и изданий, рекомендованных ВАК РФ.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 15 параграфов, 1 приложения в котором описываются алгоритмы и программный код написанный для среды программирования Delphi, литературы из 58 наименований. Общий объем диссертации—95 стр. Работа содержит 8 рисунков.

Сильно непрерывные полугруппы

Cодержание этого параграфа соответствует монографиям [27],[28]. Здесь мы будем рассматривать векторнозначные функции f(t) вещественного аргумента t, то есть функции значения которых при каждом t Є [а, Ь] С R1 являются элементами некоторого линейного банахова пространства Е.

Определение 1.1.1. Функция f(t) называется непрерывной в точке t0 , если \\f(t) - f(t0)\\E - 0 при t - t0, и непрерывной на отрезке [а, Ь], если она непрерывна в каждой точке этого отрезка. При этом норма /( ) - есть скалярная непрерывная функция. Замечание 1.1.1. Множество всех непрерывных на отрезке [а, Ь] функций со значениями в Е образуют линейную систему С(Е; [а, Ь]) в которой можно ввести норму /с[аЬ]= sup \\f(t)\\E. (1.1.1) te[a,b] После чего С(Е; [а, Ь}) становится линейным нормированным пространством. При этом, если Е- банахово пространство, то С(Е; [а, Ь\) также банахово пространство (см. [28], стр. 96).

Кроме введенного понятия (сильной) непрерывности функции f(t), можно ввести понятие слабой непрерывности.

Определение 1.1.2. Функция fit) называется слабо непрерывной (в точке, на отрезке, если для любого непрерывного линейного функционала І Є Е скалярная функция l(f(t)) непрерывна в точке (на отрезке). Из сильной непрерывности вытекает слабая. Обратное неверно. Справедливо следующее утверждение (см. [28], стр. 96): слабо непрерывная на отрезке [а, Ь] функция fit) ограничена на нем; то есть /(011 М (a t b). Определение 1.1.3. Функция fit) называется дифференцируемой в точке t0, если существует такой элемент / Є Е, что при h - 0. Элемент / называется производной функции fit) в точке t0 и обозначается f = f(t0). Функция fit) дифференцируема на отрезке [а, Ъ], если она дифференцируема в каждой точке этого отрезка.

Если при этом производная fit) непрерывна, то функция f(t) называется непрерывно дифференцируемой.

Для непрерывно дифференцируемых функций справедливо утверждение (см. [28], стр. 96): Если функция fit) непрерывно дифференцируема на [а, Ь], то спра ведливо неравенство /(6) - f{a)\\E {Ъ-а) sup \\f (t)\\E. (1.1.2) a t 6 Это неравенство остается справедливым, если производная существует на отрезке [а, Ь] всюду, за исключением счетного множества точек. Определение 1.1.4. Говорят, что функция f(t) имеет в точке t0 слабую производную f(t0), если при h - О h слабо сходится при всяком І Є Е к f(t0). Другими словами это означает, что при всяком / Є Е скалярная функция l(f(t)) непрерывно дифференцируема в точке t0 и [l(f(t0))] = l(f(t0)). Если функция f(t) имеет в каждой точке отрезка [а, Ь] слабую производную, то сохраняется оценка (1.1.2).

В частности, если слабая производная равна нулю во всех точках отрезка [а, Ь], то функция f\x) постоянна.

Аналогично определяются производные любого порядка от вектор-нозначных функций. Если функция f(t) со значениями в банаховом пространстве Е непрерывна на отрезке [а,Ь], то предел интегральных сумм:

Из абсолютной сходимости интеграла следует обычная сходимость. Можно рассматривать интегралы зависящие от параметра. На них переносятся классические теоремы о непрерывной зависимости от параметра, об интегрировании и дифференцировании по параметру. Наиболее употребительным обобщением интеграла Римана для функций со значениями в банаховом пространстве является интеграл Бохнера

Определение 1.1.5. Функция f(t), заданная на отрезке [а, Ь], со значениями в банаховом пространстве Е, называется простой, если она принимает лишь конечное заданное число значений fj на измеримых множествах j. f(t) = fj ( ЄІ), \jj = [a,b]. (При определении простой функции на множестве бесконечной меры требуется, чтобы mes(j) оо и чтобы f(t) = 0 на дополнении к (J )Определение 1.1.6. Функция f(t) называется сильно измеримой, если существует последовательность простых функций fn(t), сильно сходящаяся почти всюду к функции f(t), то есть \\fn(t)-f(t)\\E 0, при п — о для всех t Є [a, b], за исключением множества меры нуль. Определение 1.1.7. Функция f(t) называется слабо измеримой, если для всякого І Є Е скалярная функция l(f(t)) измерима на [а, Ь].

Для всякого пространства Е, содержащего счетное всюду плотное множество, понятия слабой и сильной измеримости совпадают ([28], стр. 100).

Справедливо утверждение, что если f(t) сильно измерима, то ее норма \\f(t)\\E является измеримой скалярной функцией. Для простых функций f(t) интеграл определяется единственным образом: / f(t)dt = J2fjmesj а Определение 1.1.8. Функция f(t) называется суммируемой (интегрируемой) по Бохнеру на отрезке [а,Ь], если существует сходящаяся к ней почти всюду последовательность простых функций fn(t) такая, что

Корректная разрешимость задачи Коши для уравнения 1-го порядка

Таким образом из выше сказанного следует, что при подходе С.Г.Крейна к исследованию краевых задач для уравнения (1.5.1) необходимо существование операторов Л 2 и А2 , в терминах которых формулируются понятия ослабленного и обобщенного решения. При этом условие (1.2.13) влечет существование ограниченного обратного оператора А-1.

Желание расширить класс корректных задач для уравнений вида (1.5.1) привело в [10] к введению понятия а-позитивных операторов.

Определение 1.5.7. Замкнутый линейный оператор А с плотной в Е областью определения D(A) называется а-позитивным, если для всех п = 1,2,... числа —ZL-f- принадлежат резольвентному множеству р(А) оператора А и выполняется неравенство

Класс а-позитивных операторов является более широким, чем класс сильно позитивных операторов. В частности, он содержит операторы с неограниченным обратным А 1. Вместе с тем этот класс согласуется с оператором заданным дифференциальным выражением Lu = u"{t) и граничными условиями и(0) = и (а) = 0, в том смысле, что спектр-((птг)/а)2 оператора L содержится в резольвентном множестве р(А) оператора А и выполняется оценка (Л + ((птг)/а)2)-1 а2/(птг)2. В связи с этим вводится понятие корректной задачи Дирихле u(0) = (p,u(a) = i() (1.5.18) для уравнения (1.5.1). Определение 1.5.8. Задача Дирихле (1.5.1)-(1.5.18) называется корректной, если она однозначно разрешима для любых (р,ф Є D(A) и существует с 0 такое, что для всех решений u{t) справедливы неравенства

В [10] выясняется, что задача (1.5.1)-(1.5.18) корректна тогда и только тогда, когда оператор А является а-позитивным. При этом существует с 0 такое, что для всякого решения этой задачи имеет место оценка

Требуется найти дважды непрерывно дифференцируемое решение уравнения (1.5.19) удовлетворяющее условиям (1.5.20) ( р,ф Є D(A)).

Определение 1.5.9.Задача Неймана (1.5.19)-(1.5.20) называется корректной, если она однозначно разрешима для всех (р,ф Є D(A) и существует с 0 такое, что для всех решений u(t) справедливы неравенства Теорема 1.5.6.Задача (1.5.19)-(1.5.20) корректно разрешима тогда и только тогда, когда при всех п = 0,1,... точки (-п2тг2)/а2 Є р(А) и выполняется оценка AU + ! /)-1 оо. а2 Заметим, что если задача (1.5.19)-(1.5.20) корректно разрешима, то в силу ее линейности существуют линейные операторы (см. [27], стр. 309) S(t,A) такие, что S(0,A) = I,S(a,A) = 0, D(A) С D(S(t,A)), и для любого х Є D(A) (d2S(t,A)x)/dt2 = AS(t,A)x,t Є [0,a]. В таких обозначениях решением уравнения (1.5.19) с условиями и (0) = (р,и (а) = ф является функция u{t) = S{t, A)ip + S{a - t, А)ф.

Будем предполагать, что функции f(x,t) и q(t) таковы, что существует достаточно гладкое решение задачи (1.6.1), (1.6.2). Для построения разностной схемы разобьём исходную область QT прямоугольной сеткой с шагами h = , г = - соответственно по координатам х и t. Будем искать функцию uvm, определённую в узлах (т,п) сетки, которая является приближением решения задачи (1.6.1), (1.6.2). Заменим производные в (1.6.1)разностными отношениями. Производная f в точке (тк,пт) может быть заменена многими способами, например

В зависимости от способа аппроксимации будут получаться различные разностные схемы. Вторую производную в этой точке заменим следующим образом:

Подставляя эти соотношения вместо соответствующих производных в Кроме уравнения (1.6.1), необходимо аппроксимировать начальные и граничные условия. Положим um = ОХ = q(nT),unM = 0. (1.6.5) Таким образом, уравнения (1.6.3), (1.6.5) и (1.6.4), (1.6.5) являются разностной аппроксимацией задачи для параболического уравнения (1.6.1), (1.6.2). Для оценки погрешности аппроксимации разностной схемы (1.6.3), (1.6.5). Для этого подставим в (1.6.3) точное решение дифференциальной задачи. Так как

При известных C,(m = 1,...,M - 1), соотношения (1.6.7) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных +1, (т = 1,... , М - 1). Поэтому схема (1.6.4), (1.6.5) называется неявной. Система уравнений (1.6.7) относительно вектора неизвестных v = {w+1,..., У-іі может быть записана в виде Av = b, где матрица А - является трёх диагональной. Такая система линейных алгебраических уравнений может быть решена, например, методом прогонки. Проведём исследование устойчивости этих разностных схем. Обозначим ип = {ип0),... , ипм), fn = (/f,..., Гм ). Введём нормы Н= max ,Л = max \fl\. 0 m M m " o ro M-l Будем называть разностную схему устойчивой в сеточной норме пространства , если существует постоянная сі, не зависящая от шагов сетки /гиг, такая, что имеет место оценка max мп сЛ max II HI + max \qk\). 0 n N 0 n N 0 k N Теорема 1.6.1. Пусты f. Тогда разностная схема (1.6.3), (1.6.5) устойчива в сеточной норме пространства . Разностные схемы, которые обладают устойчивостью при определенных соотношениях между шагами сетки, называются условно устойчивыми. Соответственно если схема устойчива при любых соотношениях между шагами сетки, то она называется безусловно устойчивой.

Постановка задач в рамках общей теории (случай х Є R+)

Как сказано выше, входной импульс изменения давления на входе жидкость-проводящей магистрали порождает в этой магистрали течение жидкости в форме изолированной волны. При этом момент формирования последующего входного импульса подобран так, что порожденное им волновое течение не взаимодействует с течением, порожденным как предшествующим, так и последующим импульсами. Поэтому при рассмотрении математической модели достаточно анализировать процессы, порожденные одиночным импульсом. Предположим, что порожденная импульсом волна полностью затухает в магистрали не вызывая отраженных течений. Поэтому для дальнейшего анализа можно использовать модель течения жидкости в полубесконечной магистрали. В математической литературе [2], [44] процесс нестационарного течения вязкой сжимаемой жидкости в неограниченной справа магистрали, имеющую пористую структуру с равномерно распределёнными проточными и застойными зонами, при заданном изменении давления u(t, 0) = q(t) на границе - описывается уравнением: в области 0 ж оо,0 оо,с начально-краевыми условиями u(t,0) = q(t); и(0}х) = Hindoou(t,x) = 0. Параметры, участвующие в уравнении (3.1.1) имеют следующий физический смысл: 0 v 1 -доля объёма проточных зон, 7 - константа, характеризующий обмен массами жидкости между проточными и застойными зонами, а- коэффициент проводимости. Вязкость жидкости учитывается коэффициентами а и 7. Для того чтобы управляющая вычислительная машина могла прогнозировать поведение жидкости в магистрали, в составе её программного обеспечения должна присутствовать подсистема моделирования движения жидкости на базе уравнения (3.1.1).Значения давления жидкости в магистрали может быть приближенно вычислено с использованием алгоритмов базирующихся на использовании разностных схем. Удовлетворительная точность вычислений с их помощью достигается при правильном выборе значений параметров At и Ах, использованными при замене производных конечными разностями. При рассмотрении задачи фильтрации в работе [2] были получены точные формулы, представляющие функцию i/;(t) = Нт о .Эти формулы можно использовать в качестве ориентира при подборе значений параметров разностных схем At и Ах

Графическое представление вычислительного графа, связанное с неявной разностной схемой, приведено на рисунке 5. Этот граф связывает те значения функции и на дискретной сетке, которые используются при вычислении значения Uij.Однонаправленная стрелка показывает, что в процессе вычислений значения этих параметров используются в качестве аргумента. Двунаправленная стрелка показывает, что значения этих параметров связаны со значением Uij уравнением. Переменная Uij представляет приближенное значение решения уравнения при значении аргумента t = і At, х = jAx. Светлым кружком, на рисунке, обведены уже вычисленные значения функции и (iAt,jAx). Тёмным кружком обведены те значения функции, которые будут вычислены в результате решения системы уравнений. Жирной линией нарисовано стандартное графическое представление вычислительного графа для неявной разностной схемы параболического уравнения, а значения функции, лежащие на тонкой линии, участвуют в квадратурной формуле для вычисления интеграла.

Вычисление приближённых значений для решения уравнения (3.1.1) в узлах дискретной сетки проведём в два этапа. На первом этапе область построения решения представим разделенной на слои по переменной t с шагом At. Для вычисления приближенных значений решения уравнения (3.1.1) на г-ом слое заменим производную по t разностным выражением: d2ut(x) _ vut{x) - щ-х(х) (1 - vYi dx2 a At a -(1-і/)72Х)е7(А"0Л -і(ж)Л В результате задача получения приближённого решения уравнения (3.1.1) сводится к решению серии краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с краевыми условиями: иг(0) = q(iAt) и Ит и х) = 0. Решение краевой задачи можно аппроксимировать решением краевой задачи на конечном отрезке [0,Х] с краевыми условиями щ(0) = q{iAt) и щ(Х) = 0. На втором этапе заменим правую часть в уравнении (3.2.1) кусочно-постоянной функцией. Функция щ(х) совпадает с начальным условием для уравнения (3.1.1) и, по условию, является кусочно-постоянной функцией. Решение иг(х) краевой задачи для уравнения (3.2.1) будем склеивать из решений краевых задач с постоянной правой частью на отрезках \jAx, (j + 1)Аж]. Затем заменим полученное решение щ{х) кусочно-постоянной функцией со значением ut(jAx) на отрезке \jAx, (j + 1)Аж].

Рассмотрим алгоритм построения решения краевой задачи (3.2.1) с постоянной на отрезках [jAx, (j + 1) Аж] правой частью вычисляемой в предположении, что Ui-k(x), (0 к і) являются кусочно-постоянными функциями. Предположим, что на отрезках, определённых значениями индекса в промежутке 0 j п решение уже построено. Распространим решение на промежуток [пАх, (п + 1)Лж]. Для этого построим решение краевой задачи полученного из уравнения (3.2.1) в предположениях: задача рассматривается на отрезке [пАх,Х]; функции иг.к(х), (0 к і) на этом отрезке постоянны и равны Щ-к(пАх); краевые условия щ(пАх) на левом конце интервала и 0 на правом. Введём следующие соглашения и обозначения: пусть X = тАх,

В этих обозначениях краевая задача может быть сформулирована следующим образом: найти решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами на отрезке [пАх, тАх], с краевыми условиями и{пАх) = v, и{тАх) = 0. Общее решение уравнения с постоянными коэффициентами и постоянной правой частью представляется функцией: Введём обозначения: р = е/Ах, тогда значение общего решения в точке тАх будет равно Сі + С2 - д и по условию равно 0. Отсюда получаем: Схрт + С2р-т - д = 0 или d = р-т(д - С2р-т). Тогда общее решение уравнения, удовлетворяющее краевому условию в правом конце отрезка, задаётся функцией:

На интервале [(п + 1)Лж, (п + 2)Лж] кусочно-постоянная функция # принимает новое значение, которое должно быть пересчитано по формуле (3.3.1).Новое значение параметра v, вычисленное по формуле (5), определяет граничные условия для решения краевой задачи на отрезке [(п + 1)Ах,тАх]. Используя формулу (3.3.2) распространим решение краевой задачи на отрезок [(п + 1)Лж,шЛж]. Таким образом, формула (3.3.3) является рекуррентной формулой для получения значений Uij на і слое. Переходя от слоя к слою (от і -го к (г + 1)-ому), построим решение во всей области.

Анализ возможности использования неявной разностной схемы

Будем предполагать, что функции f(x,t) и q(t) таковы, что существует достаточно гладкое решение задачи (1.6.1), (1.6.2). Для построения разностной схемы разобьём исходную область QT прямоугольной сеткой с шагами h = , г = - соответственно по координатам х и t. Будем искать функцию uvm, определённую в узлах (т,п) сетки, которая является приближением решения задачи (1.6.1), (1.6.2). Заменим производные в (1.6.1)разностными отношениями. Производная f в точке (тк,пт) может быть заменена многими способами, например ді В зависимости от способа аппроксимации будут получаться различные разностные схемы. Вторую производную в этой точке заменим следующим образом:

Кроме уравнения (1.6.1), необходимо аппроксимировать начальные и граничные условия. Положим um = ОХ = q(nT),unM = 0. (1.6.5) Таким образом, уравнения (1.6.3), (1.6.5) и (1.6.4), (1.6.5) являются разностной аппроксимацией задачи для параболического уравнения (1.6.1), (1.6.2). Для оценки погрешности аппроксимации разностной схемы (1.6.3), (1.6.5). Для этого подставим в (1.6.3) точное решение дифференциальной задачи. Так как

В силу того что значения ит известны, из (1.6.6) можно найти значения и1т{т = 1,..., М-1) и так далее. Поэтому если значения ипт известны, то +1находятся с помощью явных формул (1.6.6). Поэтому схема (1.6.3), (1.6.5) называется явной. Преобразуя (1.6.4), имеем

При известных C,(m = 1,...,M - 1), соотношения (1.6.7) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных +1, (т = 1,... , М - 1). Поэтому схема (1.6.4), (1.6.5) называется неявной. Система уравнений (1.6.7) относительно вектора неизвестных v = {w+1,..., У-іі может быть записана в виде Av = b, где матрица А - является трёх диагональной. Такая система линейных алгебраических уравнений может быть решена, например, методом прогонки. Проведём исследование устойчивости этих разностных схем. Обозначим ип = {ип0),... , ипм), fn = (/f,..., Гм ). Введём нормы Н= max ,Л = max \fl\. 0 m M m " o ro M-l Будем называть разностную схему устойчивой в сеточной норме пространства , если существует постоянная сі, не зависящая от шагов сетки /гиг, такая, что имеет место оценка max мп сЛ max II HI + max \qk\). 0 n N 0 n N 0 k N

Теорема 1.6.1. Пусты f. Тогда разностная схема (1.6.3), (1.6.5) устойчива в сеточной норме пространства . Разностные схемы, которые обладают устойчивостью при определенных соотношениях между шагами сетки, называются условно устойчивыми. Соответственно если схема устойчива при любых соотношениях между шагами сетки, то она называется безусловно устойчивой.

Определение 2.1.1. Решением уравнения (2.1.1) будем называть функцию и(х) со значениями в D(A), дважды непрерывно дифференцируемую и удовлетворяющую (2.1.1) на отрезке [0,1].

Определение 2.1.2. Задача Дирихле для уравнения (2.1.1) и(0) = (ръи(1)=фъ (2.1.3) называется корректной, если она однозначно разрешима для любых (fi1,ip1 Є D(A) и существует с1 0 такое, что для всех решений (2.1.1) справедливо неравенство sup \\и(х)\\Е c1(\\ip1\\E + \\Ф1\\Е)- (2-1.4)

Определение 2.1.3.Задача Неймана для уравнения (2.1.1) и (0) = ір2,и (1) = ф2, (2-1.5) называется корректной, если она однозначно разрешима для всех (р2,ф2 Є D(A) и существует С2 0 такое, что для всех решений (2.1.1) справедливо неравенство случае

Отметим, что условие (2.1.2) обеспечивает корректную разрешимость рассматриваемых задач и справедливость следующих результатов. Для простоты изложения будем считать I = тт. Из результатов А.В.Князюка [19] следует корректная разрешимость задачи Дирихле (2.1.1)-(2.1.3) и для ее решения получено представление и(х) = F(x)ipx + F(TT - х)фъ (2.1.12)

Корректность задачи Неймана (1)-(4) показана М.Небольсиной в [39], при этом решение имеет вид

Эти решения можно выразить и через полугруппу U(t,— А), если воспользоваться формулой, связывающую резольвенту R(x) и полугруппу генератора —А.

Таким образом, для установления корректной разрешимости исследуемых задач необходимо построить полугруппу U(x, —А) и получить для нее оценку (2.1.2).

Оператор А представим в виде суммы А = А1 + А2, где оператор А1 задается дифференциальным выражением l1U(t) = - + — u(t) (2.3.1) a at а и областью определения D(A1) = {и Є C[0}Oo),hu Є C[0 oo),u(0) = 0}. Оператор A2 зададим интегральным оператором