О характеристиках блуждаемости и колеблемости ляпуновского типа решений дифференциальных систем Миценко Вадим Валериевич

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Миценко Вадим Валериевич. О характеристиках блуждаемости и колеблемости ляпуновского типа решений дифференциальных систем: диссертация ... кандидата Физико-математических наук: 01.01.02 / Миценко Вадим Валериевич;[Место защиты: Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова].- Москва, 2016

Содержание к диссертации

Введение

1 Некоторые свойства характеристик блуждаемости и колеблемости 14

1.1 Основные определения 14

1.2 Некоторые свойства характеристик блуждаемости и колеблемости 15

1.3 Вырожденность спектра характеристик блуждаемости и колеблемости для линейных одномерных систем 27

2 Точные границы спектров характеристик блуждаемости и колеблемости 28

2.1 Точные границы спектров диагональных систем произвольной размерности 28

2.2 Точные границы спектров треугольных систем произвольной размерности 43

2.3 Точные границы спектров систем, отвечающих линейным уравнениям второго порядка 68

3 Оценка спектра характеристик блуждаемости линейного уравнения 88

3.1 Спектр скорости блуждания одной системы, отвечающей линейному уравнению второго порядка 88

3.2 Достаточное условие близости характеристик блуждаемости к нулю систем, отвечающим линейным уравнениям 94

Заключение 99

Список литературы 100

Некоторые свойства характеристик блуждаемости и колеблемости
Вырожденность спектра характеристик блуждаемости и колеблемости для линейных одномерных систем
Точные границы спектров треугольных систем произвольной размерности
Достаточное условие близости характеристик блуждаемости к нулю систем, отвечающим линейным уравнениям

Введение к работе

Актуальность темы

Представленная работа является исследованием в области качественной теории дифференциальных уравнений.

Важную роль в качественной теории дифференциальных уравнений играют линейные системы, которые служат основой для изучения нелинейных систем по их линейному приближению. Линейные нестационарные системы имеют многочисленные приложения, которые порождают ряд новых задач теоретического характера, требующих изучения различных асимптотических свойств решений системы.

Среди важнейших направлений качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений особое место занимают теория устойчивости и теория колебаний.

С теорией устойчивости, созданной A.M. Ляпуновым (1892 г.), естественным образом связаны, прежде всего, характеристические показатели Ляпунова решений дифференциальных систем, а также введенные позже показатели Перрона, Боля, Винограда, Миллионщикова и Изобова, отвечающие за разнообразные асимптотические свойства решений уравнений или систем.

В теории же колебаний немалая роль отводится вопросам колеблемости решений дифференциальных уравнений, восходящим к фундаментальным исследованиям Ж. Штурма (1837-41 гг.) и более поздним исследованиям А. Кнезера (1896-98 гг.).

Изучением различных свойств самых разных показателей решений и систем занимались многие математики. Приведем далеко не полный список тех из них, кто внес значительный вклад в эту теорию: Р.Э. Виноград, Б.Ф. Былов, В.М. Миллионщиков, НА. Изобов, М.И. Рахимбердиев, И.Н. Сергеев, Е.К. Макаров, С.Н. Попова, ЕА. Барабанов, О.И. Морозов, А.С. Фурсов, А.Н. Ветохин, В.В. Быков, Ю.И. Дементьев и другие. Здесь указаны далеко не все работы каждого автора, а исчерпывающую (на соответствующий момент) библиографию по этим вопросам можно найти в обзорах¹'² и монографиях³'⁴.

Исследования по тематике колеблемости успешно продвигались усилиями многих математиков, среди которых необходимо особо отметить В.А. Кондратьева, И.Т. Ки-гурадзе, ТА. Чантурия, А.Н. Левина, НА. Изобова, И.В. Асташову, С.Д. Глызина, А.Ю. Колесова, Н.Х. Розова и других (обширные библиографии по этому вопросу

¹ Изобов Н.А. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Математический анализ. 1974. Т.12. С. 71-146.

²Изобов Н.А. Исследования в Беларуси по теории характеристических показателей Ляпунова и ее приложениям // Дифференц. уравнения. 1993. 29. №12. С. 2034-2055.

³Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. M., 1966.

⁴Изобов Н.А. Введение в теорию показателей Ляпунова. Мн.: БГУ, 2006.

можно найти, например, в обзоре⁵ и монографии⁶). Заметим, что перечисленных авторов в основном интересовали вопросы, связанные с наличием у заданного уравнения хотя бы одного колеблющегося решения (имеющего бесконечное число нулей на полупрямой или на промежутке), а также с описанием всего множества таких решений или каких-либо дополнительных их свойств. Немало усилий в этих работах было направлено прежде всего на получение коэффициентных (т. е. опирающихся только на свойства коэффициентов уравнения) признаков существования или отсутствия колеблющихся решений.

В связи с этим, особенно интересной и актуальной представляется задача о нахождении аналогов показателей Ляпунова, отвечающих за колеблемость решений дифференциальных уравнений и систем.

В 2004 г. И.Н. Сергеев в докладе⁷ впервые ввел понятие характеристической частоты и (у) скалярной функции у, несущее в себе черты усреднения по Ляпунову и позволившее численно измерять колеблемость решений на полупрямой. Позже в статьях⁸'⁹ им также были определены различные модификации характеристических частот, а именно: были определены полная а(х) и векторная ((х) частоты вектор-функции ж, а в работе¹⁰ были впервые введены характеристики блуждаемо-сти вектор-функции х: скорость блуждания /i(x), показатель блуждаемости р(х) и показатель блуждания г](х), которые, как оказалось (см. работы¹¹'¹²'¹³'¹⁴'¹⁵), имеют тесную связь с определенными ранее характеристиками колеблемости. В дальнейших его работах изучались свойства введенных характеристик и взаимосвязи, имеющиеся между ними.

Частоту решения можно интерпретировать как среднее (по всей полупрямой) значение числа нулей решения на полуинтервале длины 7г. Оказалось⁷, что на решениях

⁵Левин А.Ю. Неосцилляция решений уравнения х(^п> +рі(і)ік(^п~^ + -\-p_n(t)x = 0 // Успехи матем. наук. 1969. 24. №2. С. 43-96.

⁶ Астангова И.В. Качественные свойства решений дифференциальных уравнений и смежные вопросы спектраль
ного анализа / И.В. Асташова и др.; под ред. И.В. Асташовой — M.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012.

⁷ Сергеев И.Н. Определение характеристических частот линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 2004.40.
№11. С. 1576.

⁸Сергеев И.Н. Определение полных частот решений линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 2008. 44. №11. С. 1577.

⁹Сергеев И.Н. Определение полных частот решений линейной системы // Дифференц. уравнения. 2009. 45. №6. С. 908.

¹⁰Сергеев И.Н. Определение характеристик блуждаемости решений линейной системы // Дифференц. уравнения. 2010. 46. №6. С. 902.

¹¹ Сергеев И.Н. Сравнение полных частот и показателей блуждаемости решений линейной системы // Дифференц. уравнения. 2010. 46. №11. С. 1667-1668.

¹²Сергеев И.Н. Колеблемость и блуждаемость решений линейных дифференциальных уравнений малого порядка // Дифференц. уравнения. 2011. 47. №6. С. 906-907.

¹³Бурлаков Д.С, Сергеев И. И. Замечательные равенства, связывающие колеблемость и блуждаемость решений дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. 2012. 48. №6. С. 899.

¹⁴Сергеев И.Н. Неупорядоченность верхних характеристик полной колеблемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. 2014. 50. №6. С. 852-853.

¹⁵Сергеев И.Н. Замечательное совпадение характеристик колеблемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Матем. сборник. 2013. 204. №1. С. 119-138.

линейных однородных уравнений с ограниченными коэффициентами она принимает лишь конечные значения, что позволяет естественным образом классифицировать колеблющиеся решения, ставя в соответствие, к примеру, функции y(t) = sinwt ее частоту и (у) = ш (подобно тому, как показатели Ляпунова и Перрона позволяют измерять по экспоненциальной шкале рост нормы решения, ставя в соответствие вектор-функции х с нормой \x{t)\ = exp At ее показатель х(^х) = ^)-

Подсчет полной и векторной частоты вектор-функции происходит путем усреднения числа нулей проекции этой функции на какую-либо прямую, причем эта прямая выбирается так, чтобы полученное среднее значение оказалось минимальным: если указанная минимизация производится перед усреднением, то получается полная частота а(х), а если после — то векторная частота ((х). По своему геометрическому смыслу данные частоты отвечают за частоту вращения вектора х вокруг нуля.

Оказалось¹⁶, что на решениях линейных однородных уравнений и систем с ограниченными коэффициентами эти характеристики колеблемости принимают лишь конечные значения (при этом полная и векторная частоты решения у линейного уравнения гг-го порядка определяются как величины а(х) и ((х) соответственно, где х = (у,у,...,у^{п-¹⁾)).

Таким образом, оставался открытым вопрос о нахождении точных границ спектров (множества значений на всех ненулевых решениях) характеристик колеблемости на множестве решений линейных однородных уравнений и систем с ограниченными коэффициентами. В настоящей работе найдены точные границы спектров характеристик колеблемости на множестве решений линейных однородных уравнений второго порядка, а также диагональных и треугольных линейных систем произвольной размерности.

Характеристики блуждаемости, в свою очередь, могут быть интерпретированы следующим образом: скорость блуждания функции х есть временное среднее скорости движения следа, который вектор х оставляет на единичной сфере за определенный промежуток времени, а показатели блуждания или блуждаемости функции х получаются минимизацией (зависящей или не зависящей от отрезка усреднения) ее скорости блуждания по всем преобразованиям координат. Следовательно, эти показатели содержат только ту информацию о траектории на сфере, которая не гасится невырожденными линейными преобразованиями: так, они учитывают обороты вектора х вокруг нуля, но не улавливают его локального вращения вокруг какого-либо другого вектора.

В работе¹⁰ было доказано, что все показатели блуждаемости на решениях линейных однородных уравнений и систем с ограниченными коэффициентами также

¹⁶Сергеев И.Н. Характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейной дифференциальной системы // Изв. РАН. Серия матем. 2012. Т.76. №1. С. 149-172.

принимают лишь конечные значения. Кроме того, в работах '¹⁸ были исследованы границы спектров скорости блуждания /і для множества двумерных линейных систем и линейных однородных уравнений второго порядка. Таким образом, оставались неизвестными точные границы спектров остальных характеристик блуждаемости на множестве решений линейных однородных уравнений и систем с ограниченными коэффициентами. В настоящей работе найдены точные границы спектров показателей блуждаемости и блуждания для линейных однородных уравнений второго порядка, а также диагональных и треугольных линейных систем произвольной размерности.

В статье¹⁹ было доказано, что спектр любой из величин г],р,а, (,и на множестве решений одной системы, отвечающей линейному уравнению второго порядка, в некотором смысле вырожден - состоит ровно из одного числа. Однако оставался открытым вопрос касательно невырожденности спектра показателя (і. Ив настоящей работе найдено такое уравнение, на множестве решений которого спектр показателя /і не только не вырожден, но и содержит целый отрезок числовой прямой.

Кроме того, известно²⁰, что все показатели блуждаемости ограничены сверху равномерной нормой \\А\\ (в пространстве К^га фиксированы базис и связанная с ним стандартная евклидова структура) системы А, что однако не позволяет для систем, отвечающих линейным однородным уравнениям произвольного порядка, уменьшая коэффициенты эквивалентного ей уравнения гарантировать близость к нулю показателей ее решений. В той же работе²⁰ было доказано, что данная близость имеет место для всех характеристик колеблемости, а в настоящей работе доказано, что данная близость имеет место и для показателей блуждания и блуждаемости.

Цель работы

Целью настоящей диссертационной работы является исследование спектров характеристик колеблемости и блуждаемости для диагональных и треугольных линейных однородных дифференциальных систем (с ограниченными коэффициентами), а также для систем, отвечающих линейным однородным дифференциальным уравнениям (с ограниченными коэффициентами).

Научная новизна работы

В диссертации получены следующие основные результаты:

получены точные границы спектров показателей блуждания и блуждаемости, а также всех характеристик колеблемости для диагональных и треугольных

¹⁷Лысак М.Д. Точные оценки скорости блуждания решений линейных систем // Дифференц. уравнения. 2010. 46. №11. С. 1670-1671.

¹⁸Лысак М.Д. Точные оценки скорости блуждания решений линейных уравнений второго порядка // Дифференц. уравнения. 2012. 48. №6. С. 907.

¹⁹Сергеев И.Н. Колеблемость и блуждаемость решений дифференциального уравнения второго порядка // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ. 2011. №6. С. 21-26.

²⁰Сергеев И.Н. Характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейной дифференциальной системы // Изв. РАН. Серия матем. 2012. T.76. №1. С. 149-172.

линейных однородных дифференциальных систем произвольной размерности (с ограниченными коэффициентами);

получены точные границы спектров показателей блуждания и блуждаемости, а также всех характеристик колеблемости для систем, отвечающих линейным однородным дифференциальным уравнениям второго порядка (с ограниченными коэффициентами);

доказано существование линейной системы, отвечающей линейному однородному дифференциальному уравнению второго порядка (с ограниченными коэффициентами), спектр скорости блуждания которой содержит отрезок числовой прямой;

установлена близость показателей блуждания и блуждаемости к нулю для решений систем, отвечающих линейным однородным дифференциальным уравнениям произвольного порядка с малыми коэффициентами.

Методы исследования

В работе применяются аналитические методы качественной теории дифференциальных уравнений и математического анализа.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях специалистами по качественной теории дифференциальных уравнений.

Апробация работы

Автор выступал с докладами по теме диссертации на следующих научных семинарах:

Семинар по качественной теории дифференциальных уравнений кафедры диф
ференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ имени
М.В. Ломоносова под рук. проф. И.В. Асташовой, проф. А.В. Боровских, проф.
Н.Х. Розова, проф. И.Н. Сергеева (неоднократно: 2012-2015).

Содержащиеся в диссертации результаты докладывались автором на следующих конференциях:

Конференция кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ по итогам года (г. Москва, декабрь 2014 г.);

Всероссийская конференция с международным участием «Теория управления и математическое моделирование», посвященная памяти проф. Н.В. Азбелева и проф. Е.Л. Тонкова (г. Ижевск, июнь 2015 г.).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 7 работ, в том числе 2 статьи в журналах, рекомендованных ВАК. Список работ приведен в конце автореферата. Работ в соавторстве нет.

Структура и объем диссертации

Некоторые свойства характеристик блуждаемости и колеблемости

Основным результатом настоящей главы является доказательство некоторых вспомогательных свойств исследуемых величин, которые в дальнейшем используются при доказательстве основных результатов. Также в данной главе доказывается вырожденность спектра всех характеристик колеблемости и блуждаемости для линейных одномерных систем.

Основные определения и обозначения, используемые в данной работе, представлены во введении. В частности, в множестве кусочно-непрерывных систем Л4п размерности п выделены подмножества диагональных Т 2 и треугольных 7]1 систем с ограниченными коэффициентами, а также множество систем 82 (с ограниченными коэффициентами), отвечающих уравнениям n-го порядка Каждая система А Є Л4п в дальнейшем отождествляется со своей матричной функцией А : Ш+ — EndIRn, а через S (A) обозначается множество всех ее ненулевых решений системы.

Каждому решению х Є S (A) системы А Є Л4п ставятся в соответствие его ляпуновские характеристики блуждаемости р,р, р, р, f},r) (см. определение 1), а также характеристики колеблемости z TO, z)TO, т, т, , ( (см. определение 2).

В дальнейшем, говоря о том, что для какого-либо из показателей к = /І, р, ту, т, с, С справедливо то или иное утверждение, будем подразумевать, что данное утверждение справедливо одновременно для обоих показателей к и к.

Каждой непрерывной вектор-функции х : М+ — М2 в каждый момент г поставим в соответствие функцию /?(т), т Є М+, являющуюся непрерывной (по т) ветвью угла, образуемого вектором х{т) с положительным направлением Ох\ оси абсцисс и отсчитываемого в положительном (против хода часовой стрелки) направлении.

Предположим теперь, что утверждение справедливо для к 2 и докажем его для п = к + 1. Последнее предположение, в свою очередь, означает, что для всякого вектора z Є Kn , которому в каждый момент г сопоставлена (1.1) некоторая строка изп — 1 скалярных функций (г(т), ро(т), if\(г),..., (/?п_з(т)), справедливо равенство

Пусть теперь вектору у в каждый момент г сопоставлена (1.1) строка из п скалярных функций (г(т), ро(т), /?і(т),... , ( п_2(т)). Для натурального п 2 введем следующее обозначение:

Зафиксируем число d 0 и для произвольной системы А Є 7/ рассмотрим ее ненулевое решение х Є Ж . Зафиксируем также числа к\2 и &22 для матрицы L Є Я2. Пусть в каждый момент времени т вектор Ьх(т) = (хі(т) + куіХ ііт) k i iX i(j)Y сонаправлен с единичным вектором (cos (r),sin (r))T, а его длина \Ьх(т)\ равна г(т), т.е. х\(т) + куіХ ііт) = г(т) cosifj(r) и hi iX iij) = г(т) sin (r).

Если существует момент г Є Ж+, для которого ф(т) = 0 ИЛИ 7Г, то (г) = 0 или 7Г. Это следует из свойств решения дифференциального уравнения вида і = a{r)z z Є Ж [71, с. 63], а также того факта, что система А Є Т2, полученная вследствие перехода к новым координатам 2/1 = %\ + киХ2іУ2 = &22 2 содержит уравнение такого вида. При этом получим, что ф(т) = 0 при всех t Є М+, а отсюда и требуемое равенство. Если же ф(т) т 0 и 7Г, то для всех г Є Ш+ корректно определена функция ctg (r) = Y 4 j + — Продифференцировав последнее равенство по переменной т, получим: —ф (sin ф) = к22 \Х\ Ж2 — Ж2 Х\) Х -ф (sin2 )-1 = &22-1 ((ац(т)жі + аі2{т)х2)х2 - а22{т)хіх2) Х2 2 о - (sin2 )"1 = A;22 1-((a22(T)-an(r))(cosV;-A;i2- 2"2lsinV;)- 22 1-sin — &222 апіт) sin2 г/j) (к sin2 ifj) l о Ф = (a22(r)-an(r)) sint/jсовф-(k aui +kuk (a22(r)-an(r))) sin2 -Лемма доказана.

Рассмотрим решение х данной системы А, удовлетворяющее начальным условиям х(0) = (жі(0), Ж2(0), 0,... , 0)т, где х(0) = (жі(0), Ж2(0))Т -значение исходной функции ж в момент г = 0. Первые две координаты данного решения Х\ и х будут удовлетворять уравнениям х = а\{т)х и і. = а,2(т)х соответственно, а с учетом равенств Х\(0) = Х\(0) и 5 (0) = 2(0) получим, что Х\(т) = Х\(т) и Ж2(т) = Х2(т) при всех

Тогда норма вектора (х(т)/\х(т)\) будет удовлетворять соотношению dr \ Jx{ + г Є а значит, при всех t Є Ш+ будет справедливо равенство j(x,t) = j(x,t), из которого следуют соотношения fi{x) = а и fi{x) = /3. Таким образом, имеем: SpA(A) с SpA(i) SpA(A) с SpA(i). Первое утверждение леммы доказано. 2. Перейдем к доказательству второй части леммы. Зафиксируем произвольные натуральное число п 2, положительное число d, а также систему В Є Т2 где функции аі, 225аз - коэффициенты исходной матрицы В. Очевидно, данная система принадлежит множеству Т.

Рассмотрим решение х данной системы В, удовлетворяющее начальным условиям х(0) = (жі(0), Ж2(0), 0,... ,0)т, где х(0) = (Жі(0),Ж2(0))Т - значение исходной функции х в момент г = 0. Первые две координаты данного решения Х\ и х2 будут удовлетворять системе уравнений х\ = а\{т)х\+ а,2(т)х2 и х\ = аз(т)х2 соответственно, а с учетом равенств Х\(0) = Х\(0) и Ж2(0) = #2(0) получим, что Жі(т) = Х\{т) и Ж2(т) = Х2(т) при всех г Є Ш+.

Вырожденность спектра характеристик блуждаемости и колеблемости для линейных одномерных систем

Сектором, [сх,(3] будем называть часть фазовой плоскости Ox\X2i ограниченной лучами р = аир = (3и заметаемой при движ;ении луча из положения ср = а в положение ср = (3 в положительном (против хода часовой стрелки) направлении. Луч р = а назовем левой, а луч (р = (3 — правой границами сектора [а, (3].

Будем говорить, что вектор-функция х : Ш+ — М. блуждала в секторе А = [а,/3] фазовой плоскости на отрезке [to}tk] в течении времени, не меньшего Т, если выполнены следующие условия: 1) в момент (to — 0) вектор х = x(to — 0) находился вне сектора А, т.е. p(t0 - 0) Д; 2) в момент to вектор попал в сектор, т.е. p(to) = а, если вектор х попал в сектор через его правую границу (если p(to — 0) = а — 0), или же p(to) = (З., если вектор х попал в сектор через его левую границу (если p(to -0) = /3 + 0); 3) после попадания в сектор через правую (левую) границу вектор ж, начиная с момента to, двигался по направлению возрастания (убывания) угла р с ненулевой угловой скоростью и движение продолжалось до тех пор, пока не нашелся момент времени t\ такой, что p(t\) = (3 (p(t\) = а); 4) после этого вектор сразу продолжал движение в противоположном направлении с ненулевой угловой скоростью и двигался до тех пор, пока не находился следующий момент времени 2, для которого (fife) = OL 5) далее данный процесс движения повторялся заново до тех пор, пока в момент tk-, больший to + Т и ближайший к нему, вектор-функция не попадала на границу сектора (/?(&) = (3 (p(tk) = а) и в момент tk + О вектор x{tk + 0) находился вне сектора А.

Искомую систему А Є 7 будем строить как кусочно-постоянную, матрица которой на участках постоянства совпадает с одной из следующих матриц: ( —d —d\ . (d d\ . (—d d\ . (d —d\ A ={o d) A =[o -d) A3={o d) A ={o -d} (2.29) Концы участков постоянства строящейся матрицы А назовем моментами переключения.

Отметим следующие нужные в дальнейшем свойства систем с матрицами коэффициентов (2.29), которые легко вытекают из рассмотрения фазовых портретов этих систем. Всякое решение, лежащее в I квадранте, система с матрицей коэффициентов А\ поворачивает против хода часовой стрелки, так, что в некоторый момент времени оно пересечет ось ординат, а система с матрицей коэффициентов А - по ходу часовой стрелки к оси абсцисс, приближая его к ней сколь угодно близко. Всякое решение, лежащее во II квадранте, система с матрицей коэффициентов Аз поворачивает по ходу часовой стрелки, так, что в некоторый момент времени оно пересечет ось ординат, а система с матрицей коэффициентов А - против хода часовой стрелки к оси абсцисс, приближая его к ней сколь угодно близко.

Указанные свойства систем с матрицами А\ и А позволяют для любых числа Т 0 и сектора А = [а,/3] (0 а [5 7г/2), лежащего в I квадранте, построить на некотором отрезке [о5 ] систему, матрица которой кусочно-постоянна и на участках постоянства совпадает с матрицами А\ или УІ2, такую, что ее решение ж, для которого (fi(to) = (1 {(fi(to) = (3), блуждало бы в секторе А в течение времени, не меньшего Т. Действительно, если (fi(to) = а, то положим A(t) = А\ при t Є [to,t\), где t\ - момент попадания решения х на луч (р = (3, затем A(t) = А при t Є [t2its)i где t% - момент попадания решения х на луч ср = а и т. д. Аналогично строится система, если (fi(to) = (3.

То же верно для матриц А% и А и любых числа Т 0 и сектора [а, /3] (тг/2 а /3 7г), лежащего во II квадранте.

Построение искомой системы А Є 1 2 и ее решения х будем вести по шагам индукцией по номеру к шага (к Є N). На к-ом шаге система и ее решение будут строиться на некотором полуинтервале [Тк}Тк+1)} где fc Є М и Tf = 1. При этом будет выполнено соотношение р{Тк) = 2 ктт, если к нечетное, и р(Тк) = 7Г — 2 7Г, если & четное. Это соотношение при к = 1 мы обеспечим, взяв начальный вектор ж(1) таким, что для него ty?(l) = тг/2, а на последующих шагах оно будет обеспечено самим построением. Чтобы иметь базу индукции, введем еще нулевой шаг, на котором положим TQ = О, Т = 1, а матрицу A(t) = diag{0, 0}.

Опишем к-ьш шаг в зависимости от четности к. Пусть к нечетно. Рассмотрим сектор Ak = [2 k l7T,7T — 2 к 1тт] и разобьем его на Nj = 2k+l — 2 равных сектора, которые пронумеруем последовательно против хода часовой стрелки Д , А, ..., Ак к. Обозначим г = N /2. Как легко видеть, у сектора Агк правый, а у сектора Аг к левый концы - луч if = 7г/2. В момент t = Тк решение х согласно предположению индукции находится на общей границе (р = 2 7Г секторов Ак и А. С помощью матриц А\ и А так, как это описано выше, сделаем так, чтобы решение х на некотором отрезке [Тк}Тк] блуждало в секторе А\ в течение времени, не меньшего кТк} затем - чтобы в секторе А оно на некотором отрезке \Тк Тк\ блуждало в течение времени, не меньшего кТк1 и т. д. - в секторе Агкк - на некотором отрезке [Ткк , Ткк] в течение времени кТкк . В момент t = Ткк решение х будет находиться на луче ср = 7г/2. Тогда с помощью матриц А% и А сделаем так, чтобы решение х на некотором отрезке [Ткк,Ткк+ ] блуждало в секторе Агкк+ в течение времени, не меньшего кТкк, затем - чтобы в секторе Аг к оно на некотором отрезке [Ткк }Ткк ] блуждало в течение времени, не меньшего кТкк , и т. д. Наконец, в секторе Акк на некотором отрезке [Тк к , Тк к] блуждало в течение времени кТк к . Положим Тк+1 = Ткк, тогда tp(Tk+l) = тт — 2 к 17т. Шаг к, если к нечетное, завершен.

Точные границы спектров треугольных систем произвольной размерности

Также отметим, что все необходимые условия теоремы Лопиталя выполнены: выражения, стоящие в числителе и знаменателе под знаком предела дифференцируемы в окрестности точки d = 4 и стремятся к О при d — 4 — 0, а производная от выражения, стоящего в знаменателе, не обнуляется в окрестности точки d = 4.

Для вычисления третьего предела, также применим правило Лопиталя: d 4+0 / {Л.+./АЛ.-ПА\ d 4+0 Аналогично, все необходимые условия теоремы Лопиталя выполнены: выражения, стоящие в числителе и знаменателе под знаком предела дифференцируемы в окрестности точки d = 4 и стремятся к 0 при d — 4+0, а производная от выражения, стоящего в знаменателе, не обнуляется в окрестности точки d = 4.

Из пп. 1.3.3.1.-1.3.3.3. вытекает, что функция А = X(d) непрерывна на полупрямой Ш+ U {0}. Тогда по теореме о промежуточном значении непрерывной функции [21, с. 158] можно утверждать, что при все том же фиксированном значении числа d 0 для любого числа d Є [0, А( і)], существует число d Є [0, d] такое, что А(еГ) = d . (2.59) Тогда, если в пункте 1.3.1 при выборе коэффициентов 2i, 22 системы А Є с\ в соотношении (2.49) число d заменить числом d и рассмотреть решение х Є S (%), удовлетворяющее начальным условиям Х\(0) = 0, #2(0) = 1, то получим аналогичную цепочку равенств vm(x) = А(еГ) = rf .

Следовательно, для любого числа d 0 и вектора m Є К _ область значений сужения функции vm на множество S{ 2) представляет собой отрезок [0,А(бГ)], где 7Г d -y/4d-d? [ 7Г - 2 arctg ( . 2V V WM-d2. d 4, X(d) 7r rf = 4, d 4. Первая часть теоремы доказана. 2. Докажем теперь третье равенство. Зафиксируем число d 0 и рассмотрим произвольный вектор m = (mi,m2)T Є К2+, для которого из определения множества М.2 + сле-дует, что Ш2 d + Vd2 + 4d Тогда сразу же отметим, что значение оо величина vm принимает на системы А Є 8А с постоянными z = (eAlt;AieAlt)T, Лі m2 ; решении коэффициентами 2і, 22, которые определяются соотношениями _ rf - л/d2 + 4d = / Al; -(Аі + А2 CL\ — Ai А2, d + W2 + 4d и, как следствие, ограничены по модулю числом i: что подтверждает включение Л Є . Действительно, выражение (z}m) при всех Є Ш+ будет равно 0: (z,m) = eXltrrii + XieXltm2 = eXlt(rrii + Aim2) = 0. Далее обозначим через т = (т т ) вектор ортогональный вектору т, лежащий при этом в правой полуплоскости относительно оси Ож2 фазовой плоскости (на самой оси Ох вектор т лежать не может, т.к. в этом случае исходный вектор т принадлежал бы множеству Кт—). Дру-гими словами, за т примем тот вектор, у которого первая координата положительна {т\ 0). Также обозначим через а угол, который вектор т образует с положительным направлением оси Ох\, т.е.

Зафиксируем теперь произвольное число К 0 и построим систему А Є Є2, для одного из решений которой (назовем его х) будет справедливо равенство vm{x) = К. Рассмотрим случай, когда вектор т лежит в первой четверти фазовой плоскости (т.е. помимо ш, еще и т\ 0). Искомую систему Л Є S2 в этом случае будем строить как кусочно-постоянную, матрица которой на участках постоянства совпадает с одной из следующих матриц:

Участки постоянства будут состоять из одинаковых по длине промежутков (состоящих каждый из пары полуинтервалов), которые будут строиться по индукции с шагом к. Полуинтервалы, построенные на к-ом шаге, будем обозначать как А1к и А, к Є N, а их объединение через Ak-На промежутках Aj, матрица А будет совпадать с матрицей А\, а на промежутках А2 - с матрицей А .

Перед началом построения промежутков Д произведем некоторые вспомогательные вычисления, которыми мы воспользуемся при построении. Для начала заметим, что для любого решения системы Л соответствующая ему угловая скорость при всех к Є N удовлетворяет уравнению

Доказательство последнего неравенства с учетом оценки (2.60) полностью повторяет аналогичное доказательство неравенства (2.42) из п. 1.1. Соотношения (2.62) и (2.63) в том числе означают, что при указанных условиях, движение вектора решения на фазовой плоскости происходит строго в одном направлении (по или против хода часовой стрелки).

Теперь предположим, что некоторое решение системы с матрицей А\ в момент г = 0 находится на луче ср = а ( (0) = а). Тогда для произвольного числа 5 Є (0, а) обозначим через Т\(5) момент, в который это решение в первый раз окажется на луче (р = а — 5. Перепишем первое уравнение (2.61) в виде уравнения с разделяющимися переменными

Функция tg(a — 5) (как функция от переменной 5) на интервале (0, а) строго убывает, принимая все значения (кроме граничных) от tga до 0. Следовательно, на этом промежутке функция Ті = Т\(5) строго возрастает, принимая все значения из интервала (0, +оо).

Аналогично предположим, что некоторое решение системы с матрицей Л2 в момент г = 0 находится на луче р) = а—5 и для произвольного числа 5 Є (0, а) обозначим через Т ) момент, в который это решение в первый раз окажется на луче р) = а. Тогда перепишем второе уравнение (2.61) в виде уравнения с разделяющимися переменными и проинтегрируем его левую часть от 0 до Т2(5) - в таком случае правую часть уравнения необходимо проинтегрировать в пределах от а — 5 до а, получим:

Таким образом, значение функции Т\ = Т\(5) (2.64) для фиксированного 5 Є (0, а) есть время, за которое любое решение системы с матрицей А\ перемещается из положения р) = а в положение р) = а—5, а Т2 = Т2(5) (2.65) - это время, за которое любое решение системы с матрицей А2 проходит обратный путь (перемещается из положение = а — 5 в положение р) = а). При этом, как уже было отмечено ранее, из соотношений (2.62) и (2.63) следует, что решение с начальными условиями ( (0) = а или (/9(0) = а — 5 на промежутках [0,Ті()] или, соответственно, [0,Т2(5)], двигается по фазовой плоскосоти строго в одном определенном направлении (по или против направления движения часовой стрелки). Также необходимо отметить, что из вида соотношений (2.64) и (2.65) следует, что если (/9(0) Є (0, а), то р)(т) Є (0,a),r Є Ш+. Следовательно, если для некоторых чисел к Є N и То 0 положить А\ = (To,To+Ti(J)], А = (То+Ті( ),Т0+Ті( )+Т2( )] на полуинтервале длины Т(5) = Ті(( ) + Т2((5) решение х системы А, удовлетворяющее услвоиям Х\(Т) = ml, Х2(Т) = т\, ровно один раз попадет в положение if = а и этому (и только этому) моменту будет соответствовать нуль функции (х,т ).

Тогда, раз функция Т = Т(5) строго возрастает на интервале (0, а) от 0 до +оо (как сумма двух строго возрастающих функций, одна из которых возрастает на этом интервале от 0 до +оо, а вторая при этом принимает нулевое значение в точке г = 0), то для фиксированного ранее числа К Є Ш+ найдется число 5 Є (0, а) такое, что

Обозначим через T-f и Т2 значения функций Ті = Ті(6) (2.64) и Т2 = Т2((5) (2.65) в точке 5 и вернемся к построению участков постоянства Д&. На первом шаге, в качестве промежутков А}, А возьмем промежутки (0,Ті] и (Ті, Т± + Т2 ]. На втором шаге участками постоянства будут промежутки Ді = (Tf +ТІ, 2f+T] и А22 ЕЕ (2f+TI, 2-(Т1 +Т)]. Обозначим общую длину всех промежутков постоянства построенных на шагах 1,..., к — 1 через Т, тогда на к-ом шаге отрезками постоянства будут (Т,Т + Tf] и (Т + ТІ,Т + ТІ + Т2 ]. Очевидно, что заданная таким образом система А определена на Ш+.

Достаточное условие близости характеристик блуждаемости к нулю систем, отвечающим линейным уравнениям

Данный факт следует из теоремы о промежуточном значении непрерывной функции [21, с. 158].

Пусть теперь х - решение построенной системы А, удовлетворяющее начальным условиям Х\(0) = т\, ж2(0) = т2. Из построения системы следует, что на любом полуинтервале длины Т(5 ) = тг/К это решение ровно один раз попадет в положение ср = а и функция (х,т ) ровно один раз обращается в 0 на этом промежутке, при этом из условия Lp(t) т 0, Є Ш+, согласно лемме 6 следует, что в эти моменты обнуления производная (х, т) не равна 0. . Тогда из леммы 5 сразу следует нужное равенство vm(x) = К, что и требовалось доказать. Случай, когда вектор т лежит во второй четверти фазовой плоскости (когда т\ 0, т2 0, и, как следствие, а 0) рассматривается аналогично п. 2.1. В качестве матриц А\ и А2 в этом случае необходимо d\ — d2 \ \{tga — d2) \ tg{a + 5) — d\ где уже rfi = (-d + Vd2 + 4rf)/2, a d2 = (-d - W2 + 4rf)/2. Функция T = T(#) = T\(5) + T2((5) при этом все так же будет строго возрастать на интервале (0,—а) от 0 до +оо. Действительно, функция Т\ = Т\(5) строго возрастает от 0 до +оо, когда 5 пробегает значения от 0 до —а. Функция Т2 = Т2((5) также строго возрастает на этом промежутке (причем Т2(0) = 0), тж. дробь (tga — d\)/(tga — i2) отрицательна, а дробь (d\ — i2)(tg(a + 5) — d\) убывает на интервале (0, —а). Следовательно, по аналогии с п.2.1. найдется число 5 такое, что и в качестве Т Т при построении участков А ,А необходимо взять Т\(5 ) и Т2((5 ). Тогда, если решение х удовлетворяет начальным условиям жі(0) = 1, ж2(0) = arctg(a + 6 ) (т.е. если (р(0) = а + 6), то из построения системы А будет следовать, что на любом полуинтервале длины Т(5 ) = тг/К это решение ровно один раз попадет в положение ср = а и функция (ж,т ) ровно один раз обратится в 0 на этом промежутке. Тогда из леммы 5 также сразу будет следовать нужное равенство что и требовалось доказать.

Перейдем, наконец, к рассмотрению последнего случая, когда m = (mi,m2)T Є М.%. Из определения множества M.J,0 следует, что ко Cd Cd ординаты вектора m связаны соотношением

Заметим, что решение х системы А, построенной в п. 1., совер шая полуоборот относительно любого вектора т Є Щ.+ , ровно один раз пересекает любой из векторов, ортогональных вектору т Є Щ.0, откуда следует включение [0,A(d)]cSPi/J2), шєМ2о. 3.2. Предположим, что координаты вектора т имеют разные знаки (т.е. связаны соотношением т\ + d vri i = 0). Рассмотим тогда систему А Є с\ с постоянными коэффициентами, матрица которой имеет вид А = Легко проверить, что одним из решений данной системы будет вектор -l„d-4\T функция х = (е ; d е

В таком случае из оценки (2.42) следует, что угловая скорость решения х в момент t не может принимать положительных значений. При этом обнуляться угловая скорость в этот момент может в том и только в том случае, если коэффициенты матрицы А в момент t равны a\{t) = d, a2(t) = d.

Таким образом, если для всех моментов времени/; Є Ш+, для которых выполнено равенство (2.69), коэффициенты системы Л одновременно не равны d, то угловая скорость решения х в эти моменты будет отрицательной и вектор х в эти моменты будет осуществлять движение по фазовой плоскости строго в одном определенном направлении и следующий момент обнуления функции (ж, т) произойдет только в том случае, если вектор х совершит полуоборот на фазовой плоскости. В таком случае, полностью повторяя рассуждения п. 1. доказательства, получим включение