Введение к работе
Актуальность исследования Настоящая работа относится к одному из основных разделов качественной теории динамических систем - теории многомерных систем со сложным поведением траекторий.
Основы качественной теории динамических систем были заложены в конце 19-го и начале 20-го века в классических работах А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова, И. Бендиксона, Дж. Биркгофа. Ее важнейший раздел, теория бифуркаций, как самостоятельная математическая дисциплина, оформилась в работах А.А. Андронова, Е.А. Леонтович, А.Г. Майера, Л.С. Понт-рягина. Прежде всего это касалось динамических систем на плоскости.
В 60-е годы началось бурное развитие качественной теории многомерных динамических систем (размерность которых не меньше трех для потоков и не меньше двух для отображений). Прежде всего была создана теория грубых динамических систем, получившая наименование гиперболической теории. Ее фундамент был заложен в работах В.М. Алексеева, Д.В. Аносова, Р. Боуэна, Р. Манэ, К. Пью, К. Робинсона, Я.Г. Синая, С. Смейла, Д. Френкса, Л.П. Шильникова, М. Шуба и др. Основы теории нелокальных бифуркаций многомерных динамических систем были заложены в работах Л.П. Шильникова. В дальнейшем бифуркации многомерных динамических систем изучались в работах В.И. Арнольда, B.C. Афраймовича, В.Н. Белых, Л.А. Белякова, Х.Брура, В.В. Быкова, М. Вианы, Н.К. Гаврилова, С.В. Гонченко, B.C. Гонченко, Л. Диаса, Ю.С. Ильяшенко, Л.М. Лермана, В.И. Лукьянова, А.Д. Морозова, А.И. Нейштадта, Ш. Ньюхауса, Дж. Пэ-лиса, К. Симо, Ф. Такенса, Д.В. Тураева, А.Я. Хомбурга, А.Л. Шильникова и др.
Развитие гиперболической теории и теории бифуркаций привело, в свою очередь, к открытию, в 60-70-х годы, динамического хаоса, что по праву считается одним из самых замечательных достижений современной науки. К настоящему времени имеется масса замечательных математических, прикладных и экспериментальных работ, посвященных странным аттракторам. Тем не менее, в отличие, например, от гиперболической теории, теория странных аттракторов далека от своего завершения, здесь еще есть много актуальных и нерешенных проблем.
Следует заметить, что классическая гиперболическая теория имеет дело в основном с потоками и диффеоморфизмами. Однако в качественной теории динамических систем гладкие необратимые отображения, или эндо-
морфизмы, также хорошо известны, и их исследованию посвящено большое число работ. Здесь следует отметить исследования Л. Гардини, И. Гумов-ски, М.Ю. Майстренко, М.И. Малкина, Ж.Р. Маротто, К. Мира, А.Н. Шар-ковского и др. Интерес к этим объектам хорошо понятен, так как необратимыми отображениями описываются многие модели в экономике, динамике популяций, нейронных сетях и т.п. Теория таких отображений составляет к настоящему времени вполне самостоятельную часть качественной теории, и во многом ее методы, терминология и результаты отличаются от теории диффеоморфизмов. Совсем недавно, например, выяснилось, что и гиперболическая теория здесь может быть весьма необычной (этим вопросам посвящена первая глава диссертации).
Что касается теории странных аттракторов, то одной из основных ее проблем является задача описания сценариев перехода к ним от простых притягивающих режимов - устойчивых состояний равновесия и периодических траекторий. В случае двумерных отображений и трехмерных потоков в этом направлении, как хорошо известно, получено большое число фундаментальных результатов. Здесь достаточно отметить такие из них, как описание сценариев переходов к спиральному СА (Л.П. Шильников), исследование бифуркаций, приводящих к возникновению аттракторов Лоренца (B.C. Афраймович, В.В Быков, Л.П. Шильников, А.Л. Шильников), странных аттракторов в отображении Эно (М.Эно, М.Бенедикс, Л.Карлесон), в цепях Чуа (В.Н. Белых, Л.Чуа) и т.п. Естественно, эти результаты могут быть использованы и при исследовании хаотической динамики многомерных систем Однако, как недавно выяснилось, такие многомерные системы могут обладать СА новых типов, т.н. дикими гиперболическими аттракторами (Д.В. Тураев, Л.П. Шильников). Главной особенность этих аттракторов является то, что они допускают гомоклинические касания, но не содержат устойчивых периодических траекторий, которые не появляются также и при возмущениях (Д.В. Тураев, Л.П. Шильников, В.Н. Белых, Л.Чуа, Е.А. Сатаев).
В связи с этим возникает естественный интерес к проблемам хаотической динамики многомерных систем, связанный, в частности, с нахождением сценариев возникновения СА, в том числе и нового типа - диких гиперболических. В главах 2 и 3 настоящей диссертации мы имеем дело как раз с этой задачей, и предпринимаем попытку анализа хаотической динамики трехмерных диффеоморфизмов с позиций качественной теории.
Одним из важнейших направлений в теории динамического хаоса яв-
ляется применение полученных математических результатов к прикладным задачам. Одна из таких задач - исследование хаотической динамики в неголономной механической модели кельтского камня - рассматривается в главе 4 диссертации.
Объект исследования В диссертации рассматриваются
-
Двумерные кусочно-линейные отображения и двумерные обобщенные квадратичные отображения Эно.
-
Однопараметрические семейства трехмерных диффеоморфизмов, допускающие бифуркации перехода от устойчивой неподвижной точки к странному гомоклиническому аттрактору.
-
Трехмерные обобщенные отображения Эно различного вида.
-
Неголономные модели, описывающие движения кельтского камня на плоскости.
Цели и задачи исследования Основная задача диссертации состоит в исследовании хаотической динамики двумерных эндоморфизмов и трехмерных диффеоморфизмов. В случае двумерных эндоморфизмов задача состоит в исследовании их гиперболической динамики, и выяснении ее новых свойств по сравнению со случаем диффеоморфизмов. В случае трехмерных диффеоморфизмов основная задача состоит в установлении и описании новых универсальных сценариев развития хаоса от устойчивой неподвижной точки к странному гомоклиническому аттрактору и в качественном и численном исследовании этих сценариев в конкретных отображениях -трехмерных обобщенных отображениях Эно. В качестве приложения полученных результатов рассматривается задача исследования хаотической динамики неголономных моделей кельтского камня.
Теоретическая ценность и практическая значимость Работа НОСИТ теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы могут быть применены как в теории динамических систем, так и при исследовании конкретных моделей.
Методологическая и теоретическая основа исследования. В диссертации использованы методы качественной теории динамических систем и теории бифуркаций, а также численные методы, включающие как стандартные алгоритмы, так и специально разработанные.
Результаты работы и научная новизна исследования Все сформулированные в работе результаты являются новыми и получены автором самостоятельно. Перечислим их:
-
В случае двумерных эндоморфизмов открыты подковы Смейла нового типа, так называемые полуориентируемые подковы, указаны их топологические инварианты. Показано, что у таких подков (в случае обобщенных квадратичных отображений Эно) граничные периодические точки могут быть любых периодов.
-
В случае трехмерных ориентируемых диффеоморфизмов предложены и исследованы два новых универсальных бифуркационных сценария перехода от устойчивой неподвижной точки к странному гомоклиническо-му аттрактору либо шильниковского (спирального или седлового) типа, либо лоренцевского или восьмерочного типа.
-
Построены новые критерии существования аттракторов лоренцевского типа у трехмерных обобщенных отображений Эно. Качественно и численно исследованы бифуркации, приводящие к таким аттракторам у ряда конкретных отображений.
-
Исследована хаотическая динамика некоторых неголономных моделей кельтского камня. Показано, что здесь могут существовать С А спирального типа, смешанная динамика, а также, у некоторых типов камней, СА лоренцевского типа. Насколько нам известно, это первая модель из приложений, в которой такие аттракторы были обнаружены.
Апробация результатов исследования По теме диссертации опубликовано 15 работ.
Результаты работы докладывались на конференциях: Итоговая научная конф. учебно-научного инновационного комплекса "Модели, методы и программные средства", ННГУ, 2007; V Международная конф. по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2008; IX Всероссийской конф. "Нелинейные колебания механических систем", Н.Новгород, 2012; ШТАМ Symposium "From mechanical to biological systems- an integrated approach", 2012; VI Международная конф. по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2012; Мини-конференция "Shilnikov's Workshop посвященная памяти Л.П. Шильнико-ва, Н.Новгород, 2012; IV Int. Conf. GDIS, Izhevsk, 2013; Int. Conf. "Dynamics, Bifurcations and Strange Attractors", N. Novgorod, 2013.
По теме диссертации были также сделаны доклады на научном семинаре
отдела дифференциальных уравнений НИИ ПМК ИНГУ (руководитель -Л.П.Шильников); на Нижегородском научном семинаре им. Л.П.Шильни-кова "Нелинейная динамика: теория и приложения" (руководитель - СВ. Гонченко); на научном семинаре кафедры ЧиФА ИНГУ (2013, руководитель Д.В.Баландин); на семинаре по динамическим системам ИНГУ (2011, 2012, руководитель А.Д. Морозов); на семинаре по механике МГУ и ИМАШ РАН (2012, руководитель - Д.В. Трещев); на семинаре по неголономной механике в УдГУ, Ижевск (2011, 2012, руководители - А.В. Борисоа, И.С. Мамаев).
Результаты диссертации явились составной частью работ, выполнявшихся при финансовой поддержке РФФИ (гранты 07-01-00566, 10-01-00429, 13-01-00589 и 13-01-97028-povoljie), ФЦП "Кадры" и .0863, а также гранта Правительства РФ No. 11.G34.31.0039.
Публикации Всего по теме диссертации автором опубликовано 15 работ, из них 7 работ - в журналах из списка ВАК. Основные результаты, выносимые на защиту, являются новыми, принадлежат автору и изложены в работах [1]-[15]. В работах, выполненных совместно, автору принадлежат доказательства всех основных результатов, вошедших в диссертацию.
Структура диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Объем диссертации: 129 стр., 58 рис., 101 наименований литературы.