Введение к работе
Актуальность темы.
При изучении несамосопряженных линейных операторов в гильбертовом сепарабельном пространстве Н выяснилось, что корневые функции этих операторов могут образовывать базис в Н, вообще говоря не являющийся ортогональным . Среди этих базисов был выделен класс базисов, эквивалентных ортогональным, или базисов Рисса. Под базисом Рисса согласно введенной Н.К. Бари терминологии понимается базис пространства Н, который можно получить из ортонормированного базиса при помощи ограниченного обратимого линейного оператора, имеющего ограниченный обратный оператор. Класс Оазисов, эквивалентных ортонормированным, оказался весьма широк и эти базисы играют важную роль в спектральной теории несамосопряженных дифференциальных операторов.
Пусть { ек-} - ортонормированный базис пространства Н, а { и^ } базис Рисса, образованный из { ек } при помощи линейного оператора А, для которого существуют такие положительные числа аир, что для произвольного элемента х из пространства Н р||х||^||Ах(|^а||х||. Последнее неравенство означает ограниченность оператора А и существование ограниченного обратного оператора. Хорошо известно, что для любого элемента Г из пространства Н выполнено равенство Парсеваля
к>
Е |(ї.ек)|2 = ||f||2 . k = i
к = 1
Для базиса Рисса { и^ > равенство Парсеваля будет заменено на два неравенства:
Е \а,\)\г $а||ї||2 , (I)
к = 1
EKf.i^)!2 > РРН2 . (2)
Неравенство (I) называется неравенством типа Бесселя, а неравенство (2) - неравенством типа Гильберта. Таким образом, изучение условий выполнения неравенства типа Гильберта тесно связано с изучением базисности Рисса систем корневых функций дифференциальных операторов. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса системы корневых функций дифференциального оператора второго порядка были установлены В.А. Ильиным. Критерий базисности Рисса для корневых функций обыкновенного дифференциального оператора произвольного четного порядка установлен в работах В.Д. Будаева. Поскольку этот критерий связан со свойствами биортогонально сопряженной системы, то появилась необходимость получить необходимые условия базисности Рисса без обращения к биортогонально сопряженной системе. Некоторые такие условия, связанные с .неравенством (I), получены В.Д. Будаевым. Однако до сих пор не были получены необходимые условия базисности Рисса, связанные с неравенством (2).
Дадим более широкую трактовку неравенства (2). Пусть G -конечный интервал вещественной прямой, В - некоторое подмножество гильбертова пространства L2(G). Будем говорить, что по системе функций { и^х) } выполнено неравенство типа Гильберта в классе В,
если существует такое положительное число р, что для произвольной функции t из множества В справедливо неравенство (2). Отметим, что при В = L (G) достаточные условия выполнения неравенства типа Гильберта (2) по системе { \W У одновременно являются достаточными условиями полноты { и^Х) } в L2(G). Необходимые условия выполнения неравенства типа Гильберта по системе { ^(х) } в любом классе В одновременно являются необходимыми условиями базисности Рисса исследуемой системы в пространстве L2(G).
Изучение условий выполнения неравенства типа Гильберта по системам корневых функций началось с изучения неравенства (2) в классе так называемых "радиальных" функций (то есть функций, зависящих только от расстояния до фиксированной точки многомерной области), отличных от тождественного нуля лишь в шаре достаточно малого радиуса, причем в качестве инструмента использовались формулы среднего значения для корневой функции соответствующего дифференциального оператора. Необходимые и достаточные условия выполнения неравенства типа Гильберта в описанном классе по системе обобщенных собственных функций были получены в работах В.А. Ильина и автора. Достаточные условия выполнения неравенства (2) по системе корневых функций обыкновенного дифференциального оператора четного порядка для произвольной функции из L2(G), почти всюду равной нулю вне достаточно малой окрестности фиксированной внутренней точки интервала G и четной относительно этой точки, были получены Г.Е. Шикиной.
Необходимые условия выполнения неравенства типа Гильберта по системе корневых функций обыкновенного дифференциального оператора
- л -
без предположений о базисности Рисса ранее не изучались,'как не изучались и достаточные условия выполнения неравенства (2) в классе функций, отличных от нуля лишь в достаточно малой окрестности фиксированной внутренней точки интервала G и являющихся в этой окрестности произвольными суммируемыми с квадратом модуля функциями (без требования четности).
Цель работы.
Установление необходимых и достаточных
условий выполнения неравенства типа Гильберта (2) по системе обобщенных корневых функций обыкновенного дифференциального оператора четного порядка в различных классах функций, в том числе при отказе от требования четности, а также связанных с ними необходимых условий базисности Рисса в I2(G) исследуемой системы.
Научная новизна.
В диссертации получены следующие новые результаты:
1. Получено простое представление для произвольной корневой
функции дифференциального оператора четного порядка.
2. Установлен критерий справедливости неравенства типа Гильберта
по системе корневых функций обыкновенного дифференциального
операторав классе произвольных интегрируемых вместе с квадратом
модуля функций, отличных от нуля лишь в достаточно малой
окрестности фиксированной точки и связанные с этим критерием
необходимые условия выполнения неравенства типа Гильберта и
базисности Рисса системы обобщенных корневых функций в
- Б -
пространстве L2(G).
3. Получены критерии справедливости неравенства типа Гильберта в классах принадлежащих пространству L2(G) функций, отличных от нуля лишь в достаточно малой окрестности фиксированной точки и четных или нечетных относительно этой точки.
Общая методика исследования.
В качестве основного инструмента исследования используется полученное автором простое представление для произвольной корневой функции дифференциального оператора четного порядка.
Практическая ценность.
Полученные в работе критерии справедливости неравенства типа Гильберта по системе обобщенных корневых функций в различных классах функций позволяют исследовать локальную полноту систем корневых функций широкого класса несамосопрякенных краевых задач и дают инструмент опровержения гипотез о базисности Рисса этих систем. Возможность применения результатов диссертационной работы к самым различным краевым задачам связана с отсутствием прямой привязки условий доказанных в работе теорем к каким-либо краевым условиям.
Апробация работы, публикации.
Результаты работы докладывались на семинаре кафедры общей математики факультета ВМиК МГУ под руководством академика В.А. Ильина, профессоров А.А. Дезина и Е.М. Моисеева, в ММРАНЕ на
- б -
семинаре под руководством академика СМ. Никольского. Результаты диссертации опубликованы в работах tI-3J.
Структура и объем работы.
Диссертация состоит из вступления и пяти глав. Объем работы - 65 машинописных страниц, библиография включает 16 наименований.