Неравенства наблюдаемости для одномерного волнового уравнения и их применение к задачам управления с квадратичным ограничением Дряженков Андрей Александрович

Вывод неравенства наблюдаемости

Для удобства в этом параграфе приводятся используемые в диссертации вспомогательные обозначения, сведения о непрерывности определенного в пространствах (13)-(16) оператора Л, о сопряженном операторе Л , о вариационном методе М. М. Потапова, а также о ранее полученных оценках вида (17), с которыми будут сравниваться оценки, полученные в данной главе.

Везде в данной работе обозначение (/, ?)# используется для обозначения скалярного произведения элементов / и д в гильбертовом пространстве Н. Если / Є Н, д Є Н , то через (/, д) обозначается результат применения линейного непрерывного функционала д к элементу /. При рассмотрении линейного непрерывного оператора Л : Н — F условимся обозначать его образ через R(A), а ядро — через N(A).

Скалярное произведение в пространстве Лебега L2(0,l) выберем с весом р(х) из (1): -,д)ь2(0,і) = 0 P\x)j\x)g\x) dx, пространство L {0,1) наделим скалярным произведением с единичным весом: (/, д)ь2(0,т) = 0 J\49\4 dt.

Оператор Рисса [15, с. 27; 38, с. 187- 188; 70, с. 72], действующий в гильбертово пространство Н из сопряженного к нему Н , будем обозначать через J7#, JH Н —ї Н. В данной работе используется общепринятое [12, с. 309, 327; 13, с. 95] отождествление пространств Ле т 2 /г\ 7 т 2 гп / т 2 / 7 / т 2 / гп бега L (О, I), L (0,1 ) с сопряженными к ним [L {0,1)) ,{Ь {0,1 )) и соответствующее ему отождествление операторов Рисса Jip. с единичными операторами. В силу вложения пространства Соболева W21{0,1) = _ff1(0,/) в пространство Лебега L2{0,1) принятое отождествление влечет следующую цепочку вложений [12, с. 326; 15, с. 29]: п {0,1) С L {0,1) (L {0,1) ) С (л {0,1) ) , (1.1) каждое из которых непрерывно, всюду плотно и компактно. Регулярными функционалами из (Н1(0,1)) будем называть функционалы, принадлежащие L2(0,l) (L2(0,/)) . В этом параграфе будем предполагать выполненными следующие условия на исходные данные задачи (1), (4), (5): р, к Є С [О, /], q Є С[0, /], р(х) О, к(х) О, q(x) О, х Є [0, /], (1.2) f3j Є {0,1}, Oj 0, f3j + Oj 0, j = О,1. При выполнении условий (1.2) в случае /Зо = fix = 1, Сі 0 скалярное произведение в пространстве Н1(0,1), фигурирующем в (14)-(16), можно определить следующим образом: (/ 5 )я1(о,і) = k(x)f (x)g (x) + q(x)f(x)g(x) dx + /3о то/(0)(у (0) + /3iaif(l)g(l). (1.3) о Скалярное произведение в сопряженном пространстве вводится обычным образом: (/) 5 /(я1(о,і)) = \ Уя1(о,1) /; Уя1(о,і) й /я1(о,і) Теорема 1 [12, с. 120, с. 187; 95]. Пусть выполнены условия (1.2). Тогда существует непрерывный в пространствах Н и F, указанных в (13)-(16), оператор Л Є С(Н — F), действие которого в случае классических решений задачи (1), (4), (5) описывается при помощи правила (12). Сопряженной к задаче терминального управления (1), (4)-(6) называется следующая начально-краевая задача для функции р = p(t, х) : (t, х) є Q, (1.4) t Є (0,Т), (1.5) ж Є (0,/), (1.6) p(x)ptt(t,x) = (k(x)px(t,x))x - q(x)p(t,x), -fiokpx + o op\x=o = 0, Pikpx + crip\x=i = 0, p\t=T = v(x), pt\t=T = -v1 (x), где функция v{x) = (v(x), v1 (x)) задана. В дальнейшем нам понадобится теорема о существовании классического решения задачи (1.4)-(1.6). Определение 1 [13, с. 479]. Классическим решением задачи (1.4) - (1.6) называется определенная в Q функция у = y(t,x) класса C2(Q) П Cl(Q), удовлетворяющая условиям (1.4)-(1.6) поточечно. Теорема 2 [13, с. 497]. Пусть исходные данные в (1.4)-(1.5) удовлетворяют условиям (1.2) и выполняются условия гладкости и согласования О 1 г 0 и ТІ- 1 (, , , ,, , , ч) v , v , Lv Є ML, LJ = {k{x)j [x)) - q{x)j{x), p{x) (1.7) Mr = f є L (0,1) Lf є L (0,1), ((-1)3+ 8jk(x) f (x) + a,- f(x)) ., = 0, j = 0,1 . / / J \ I J \ J J \ J J \ J x=jl J Тогда классическое решение задачи (1.4) -(1.6) существует и единственно. Замечание 1. Условия (1.7) представляют собой достаточные, но не необходимые условия разрешимости задачи в классическом классе. В связи с этим отметим работы [39; 79], в которых при р(х) = к(х) = 1 получены минимальные требования на v(x), обеспечивающие принадлежность решения p(t, х) множеству классических решений.

Замечание 2. Несложно показать, что множество функций v(x), определяемое условиями (1.7), представляет собой всюду плотное множество в пространстве F , сопряженное пространство F к которому описано в (14)-(16). Сформулируем известный результат о связи задач (1), (4), (5) и (1.4)-(1.6). Теорема 3 [12, с. 125, с. 187; 100]. Пусть v(x) удовлетворяет условиям (1.7). Тогда действие сопряженного к описанному в теореме 1 оператору А : Н — F оператора А : F — Н на элемент v описывается с помощью решения p(t,x) задачи (1.4) -(1.6) следующим образом: A v = — kpT п при Во = 0, A v = р\ г, при Во = 1. (1.8) Замечание 3. При выборе начального состояния v(x) из пространства F задача (1.4)-(1.6) будет обладать сильным обобщенным решением [12, с. 115-119; 33; 47, с. 209-215] с непрерывными следами: р Є С([0,/]; _ff1(0,T)), рх Є С([0,/]; L2(0,T)), что позволяет расширить правило действия сопряженного оператора (1.8) и на случай неклассических решений, однако для получения результатов данной работы правило (1.8) достаточно рассмотреть только для классических решений р. Отметим также, что название данной главы объясняется указанным фактом существования сильного обобщенного решения. Перейдем к описанию вариационного метода М. М. Потапова [12, с. 45-46, с. 320-321; 59], предназначенного для устойчивого решения линейного операторного уравнения Аи = / (1.9) с произвольным линейным ограниченным оператором А : Н —) F, действующим в гильбертовых пространствах Н и F, и заданным элементом / Є F. Будем считать, что в случае, когда решение уравнения (1.9) не единственно, ищется его нормальное решение и : и = arg min \\и\\н , U = \и Є Н I Аи = f} . В большинстве прикладных задач вычислитель, решающий уравнение (1.9), в силу привносимых извне возмущений в исходные данные имеет доступ лишь к приближенным данным А, /. В случае, когда задача (1.9) некорректна, т.е. решение приближенного уравнения Аи = / не приводит к приближению к искомому решению и , возникает потребность в применении методов регуляризации [10; 32; 49; 76; 77]. В данной работе для приближенного решения уравнения (1.9) используется вариационный метод. Для его применения должны быть выполнены следующие требования к исходным данным задачи: 1. Приближения А сходятся к А поточечно, а / к / — по норме пространства F; кроме того, сопряженные операторы А = (А) сходятся к А также поточечно: \\Ли — AU\\F — 0, \/и є Н, \\A v — A V\\H - О, Vt є F , \\f — f\\p — 0. 2. Уравнение (1.9) с точными данными разрешимо, и его нормальное решение и истокообразно представимо с помощью А : и = JnA v , где г Є F —некоторый элемент-источник. 3. Оценка г нормы источника г известна вычислителю: H HF г 4. Вычислитель имеет доступ к пространству F — такому замкнутому подпространству пространства F, что R(A) С F. Замечание 4. Четвертое требование обусловлено невозможностью практического применения большинства вычислительных процедур непосредственно к возможно бесконечномерному пространству F. В силу того, что большинство приближенных операторов .А, встречающихся на практике, являются конечномерными, пространство F вычислитель также может выбрать конечномерным. Введем функционал J(v) = —\\A V\\H — {f,v), J : F — К. 2 Первым шагом вариационного метода является приближенная минимизация этого функционала, т. е. отыскание такого элемента v, что v Є V, J(v) in J(v) + є V = v Є F Jpv Є F, \\v\\p r , vev где є 0 — параметр, характеризующий вычислительную точность. На втором шаге вариационного метода по формуле и = JuA v строится искомое приближение и к нормальному решению и уравнения (1.9). Теорема 4 [12, с. 321]. Пусть выполнены условия, указанные выше, а элемент и Є Н получен вариационным методом. Тогда имеет место следующая оценка: \\и — и я 11 - г 11я 11 - г 11я + 4гАи — АМ І? + 4г/ — /ЦІ? + 2є. (1.10) Если дополнительно є — 0, то имеет место сходимость метода: З а м е ч а н и е 5. Выбор данного метода для решения задачи терминального управления (1), (4)–(6) обусловлен, во-первых, отсутствием требования о знании оценок погрешно 16 стей в исходных данных, трудоемкость получения которых для данной задачи автору представляется довольно высокой, и, во-вторых, его универсальностью, которая проявляет себя как в независимости числа г, представляющего собой априорную информацию метода, от выбора аппроксимации Л, — при условии выполнения первого требования о сходимости исходных данных — так и в независимости метода от конкретной постановки задачи, что позволяет на его основе конструировать алгоритмы решения других задач, например задачи управления с квадратичным ограничением (1), (4), (5), (8), алгоритм решения которой будет описан в третьей главе.

Одним из достаточных условий применимости вариационного метода к решению уравнения (1.9) с произвольным / является наличие конструктивной оценки (17), в которой константа ц 0 известна вычислителю или может быть им устойчиво вычислена. Справедлива следующая теорема, представляющая требования 2 и 3 вариационного метода как следствия наличия конструктивной оценки (17).

Теорема 5 [12, с. 314, с. 318]. Уравнение (1.9) имеет решение при всех / Є F тогда и только тогда, когда выполнена оценка (17) с ц 0. При этом для нормального решения и уравнения (1.9) справедливо представление и = 3нЛ і) c некоторым источником г Є F , оценка нормы которого может быть выписана явно через ц и норму правой части / : И И \\f\\F f F . (1.11) /1 Замечание 6. В силу того, что правая часть оценки погрешности (1.10) вариационного метода прямо пропорциональна величине г, которую можно выбрать исходя из соотношения (1.11) как г = ІІ/Ц//І, возникает необходимость минимизации величины г, или получения конструктивной оценки (17) с как можно большей константой ц. В дальнейшем это отразится в том, что большие значения константы будут называться лучшими по сравнению с меньшими, а при получении оценки (17) будут использоваться улучшающие константу технические приемы, но такие, которые не сильно усложняют процесс доказательства этой оценки.

Случай сверхкритического интервала времени

Вернемся в получившейся оценке к наблюдению g(t). Для этого воспользуемся тем, что при введенном в пространстве Н = _ff1(0,T) скалярном произведении (2.1) в случае регулярных наблюдений д Є L2(0,T) их нормы пространства Н записываются по аналогии с [12, с. 324-331] следующим образом:

Заметим, что переходу в правой части неравенства (2.26) к норме (2.27) при to = Т мешает присутствие слагаемых вида G2(t ± / ;Т), не оценивающихся сверху через норму G(-;T)\\L2(otT) Для того чтобы обойти это обстоятельство, проинтегрируем (2.26) при to = Т по аргументу t Є (l ,T — / ), воспользовавшись законом сохранения энергии (2.9) и неравенством (1.44): 2 U Подберем коэффициенты Ai,A2, ш2,шз в выражениях (2.26) для констант К\ и К2 так, чтобы минимизировать величину К\ + К2/1 . Для этого заметим, что в задаче минимизации AAi(jj2 + ВХіШз + GA2 — пііпльл2)ШьШ2)Шз о, А]" + А = 1, u;j + u + ш% = 1 с параметрами А, В, С 0 нижняя грань функционала совпадает с нижней гранью функционала задачи А\\ + В\2 + С\ъ —ї тшхъХ2,хз о ХГ + Х2 + Хз = 1 равна ( v А + у В + vC) и в случае положительных А, В, С ее реализует предел при ш\ — +оо, ш2 — Е/уА, ш% — — Е/уВ, Ai = F/E, \2 = F/yC, где Е = у А + у В, F = у А + у В + у С. С помощью этого выражения для нижней грани и связей (2.10), (2.27) неравенство в терминах v и д = A v примет вид К 2 21 К

Полученная константа несколько улучшает константу = (—2)/(2+2/і), полученную в работе [24]. Отметим также различие в характерах зависимости констант из (1.45) и (2.29) от параметра і 0. Это различие можно объяснить различием поведения абсолютных значений нормы пространства при изменении і : если при = 1(0,) абсолютные значения увеличивались при увеличении \, что приводило к вырождению константы: — 0 при і — +оо, то при = (1(0, )) , как в (2.23), они увеличиваются при уменьшении і, что приводит к вырождению при 1 — 0. а конечное время больше критического момента , определенного в (7): = 2 . Тогда для оператора Л из теоремы 9 имеет место неравенство наблюдаемости (17) с константой вида (2.24), в котором величина описана в (2.35), а используемые при ее записи обозначения приведены в (1.18), (1.22), (1.29), (1.31), (1.32), (1.35), (1.39), (1.47).

Здесь было положено = o с целью упрощения и улучшения оценок. Дальнейшее оценивание проведем также в предположении = 0 совместив, как при доказательстве предыдущей теоремы, оценки (2.31) и (2.22), учитывая соотношения (2.32):

Выберем параметры Лі, Аг, ші, шг, с з так, чтобы минимизировать величину / Хі + К2 + /2і з Для этого, как и при доказательстве теоремы 11, воспользуемся тем, что задача минимизации АХіШі + ВХ\Ш2 + СХ\Шз + -ОЛг — тіпл1)л2)Ші)Ш2)Шз о, Хї + 2 = 1 шї + г" + з" = 1 с параметрами А, В, С, D 0 сводится к задаче А%і + і?Х2 + Схз + -ОХ4 тшхъХ2,хз,Х4 о ХГ + + ( + Хз + ХГ = 1 и что нижние грани функционалов обеих задач совпадают и рав 2

Замечание 16. В данном параграфе доказательство неравенства (17) было проведено для случая однородного условия третьего рода на правом краю: /Зі = 1, сі 0. Аналогично рассматриваются и случаи первого и второго родов. При этом в случае условия второго рода с /Зі = 1, Сі = 0 если билинейная форма (1.3) не определяет скалярное произведение в пространстве _ff1(0,/), т.е. если q(x) = 0, Сі = 0, /Зо То = 0, то к правой части (1.3) добавляется слагаемое f(0)g(0), которое делает форму (1.3) скалярным произведением, затем с помощью правого граничного условия (2.14) и Si / 0 получается оценка для z(0), в правой части которой стоит величина, зависящая от выхода сопряженного оператора j, но не оценивающаяся сверху через его норму. В силу этого далее предлагается проинтегрировать эту оценку по to Є (/ , Т — / ) и оценить с помощью получившейся оценки граничное слагаемое PQ(T, 0), используемое на конечном этапе оценивания для получения модифицированной нормы Отметим также, что в случае однородного условия первого рода с /Зі = 0 в процессе получения оценки (17) интегрирования по to Є (h,T — / ) можно избежать, а константа ц будет иметь структуру (1.41) из предыдущей главы, т. е. не будет вырождаться при Т — Т = 2/ .

В связи с существованием неравенств наблюдаемости (17) с невырождающейся константой в случае однородного условия первого рода, можно поставить вопрос о возможности получения неравенств наблюдаемости и для случаев второго и третьего родов, имеющих константу ц невырождающейся структуры (1.41). Отрицательный в общем случае ответ на данный вопрос дает следующий пример.

Пример 1. Рассмотрим случай постоянных коэффициентов р(х) = к(х) = 1, q(x) = 0, управления типа Неймана: /Зо = 1, Со = 0, и однородного условия третьего рода с /Зо = 1 в задаче (1), (4), (5), (6). Построим последовательность конечных времен Тп Т , Тп — Т и элементов vn Є F такую, что для оператора Л п) определенного в теореме 9 по правилу (1.8) и соответствующего длине интервала времени Т = Тп, выполнено ЦИ. пЦ/Ц пЦ — 0. Это будет означать невозможность получения неравенства наблюдаемости (17) с неотделимой от нуля константой: ц -/} 0 при Т —) Т . Рассмотрим действие сопряженного оператора Л п , соответствующего конечному времени Тп = Т + 1/(2п) = 21 + 1/(2п) :

Доказательство сходимости первого этапа алгоритма

Основной целью данной главы является указание способа численного решения поставленной задачи (3.1). При этом, как обычно, предполагается, что вместо точных исходных данных задачи (3.1) вычислителю известны лишь приближенные данные А, В, /, д, R, сходящиеся к точным в некотором смысле, который будет указан ниже. Для задач вида (1), (4), (5), (8) в качестве приближений к операторам Ли В могут выступать их дискретные аналоги, полученные при помощи разностных схем или других аппроксимационных конструкций, роль / и 7 могут играть конечномерные приближения к / и д и так далее.

Численное решение задачи (3.1) состоит в указании приближения и к нормальному решению и задачи с точными данными: [/ = Argmin IIЛи — /\\р, и = argmin Мя иви иви Ниже будет предложен алгоритм численного решения задачи (3.1), основанный на вариационном методе М. М. Потапова и ориентированный на решение задач вида (1), (4), (5), (8) для волнового уравнения. Будут доказаны сходимость алгоритма и его устойчивость относительно погрешностей во входных данных, а также получены оценки скорости его сходимости. Для иллюстрации работы алгоритма будут приведены результаты его применения к численному решению задачи (1), (4), (5), (8) с постоянными коэффициентами р(х) = к(х) = 1, q(x) = О в случаях слабых и сильных обобщенных решений начально-краевой задачи (1), (4), (5). Результаты этой главы опубликованы в [25; 26; 67; 68], в том числе в статье [26] из журнала, рекомендованного ВАК.

В этом параграфе приводятся требования, предъявляемые к исходным данным рассматриваемой задачи, а также описывается предлагаемый алгоритм ее численного решения. Как и выше, используются обозначения Jx X — X, i?(A), -/V(A) для оператора Рисса, образа оператора Л и его ядра соответственно. Потребуем выполнения следующих предположений относительно точных данных задачи (3.1) Л, В, f,g,Rи их возмущений Л, В, f, g,R: A1. Исходная задача (3.1) имеет решение, т. е. [7 ф 0, причем \и Є Н \ \\Ви — д\\с R} ф 0. A2. Приближенные операторы Л, В линейны, непрерывны и сходятся поточечно к Л, В : .Аи — .Аи — 0, \\Ви — BU\\G — 0, \/и є Н, (3.2) сопряженные к ним операторы А = А , В = В поточечно сходятся к А , В : \\A v — A V\\H — 0, \\B h — В 1і\\н - 0, Vi є F , \/h є G , (3.3) а приближенные данные f, g,R сходятся к /, д, R : II/-/II F — О, д — дс — О, \R — Щ — 0. (3.4) A3. К некоторому линейному непрерывному оператору Т : G; — Я, определенному на некотором гильбертовом пространстве Q и имеющему область значений R(T ) = N(A), известны линейные непрерывные приближения D : Q — Я, удовлетворяющие аналогичным (3.2), (3.3) аппроксимационным условиям: \\Vq - Vq\\H — 0, \\V z - V Z\\Q — 0, Уд Є Q, Vz Є Я . (3.5) A4. Для точного нормального решения и имеют место следующие истокообразные представления: и = JnA v + Х , и = JnA {v + г о) + JHB IIO, (3.6) а для присутствующих в (3.6) элементов-источников г , г о F , q Є Q, ho Є G и самого нормального решения справедливы оценки F TV) \\Q \\Q rqi \\(vo,ho)\\F xG "o, І1м я f (3.7) с известными значениями величин rv,rq,ro и г . A5. Известны подпространства Я С Я, F С F, G С G, Q С Q основных гильбертовых пространств Н, F,Q,G, согласованные с образами приближенных операторов и сопряженных к ним отображений в смысле включений JHR{A ) + JHR{B ) С Я, R{A) С F, R{B) с G, JQR{V ) с Q. A6. Допустимое множество U\ вспомогательной задачи (3.9), приведенной ниже, непусто. Замечание 22. Предложенные в (3.6) разложения являются усилениями следующих разложений гильбертова пространства Я : Я = JTHR(A ) N(A), Я = JTH{R(A ) + R(B ) (Л (Л.) П N(B). (3.8) Второе из разложений представляет собой разложение Я = JHR(N ) Ф N(Af), записанное для составного оператора N Я — F х G, Ми = (Аи, Ви). Усиление указанных разложений пространства Я предположением о принадлежности фиксированного элемента образу оператора, а не его замыканию, аналогично усилению, использованному для формулирования требований вариационного метода М. М. Потапова.

Предлагаемый алгоритм основан на использовании первого из разложений (3.6), которое можно сокращенно записать в виде и = ит + и , где ит = JHA V , а и = T q . Алгоритм состоит из двух этапов. По окончании первого этапа находится приближение ит к ит, а по окончании второго — приближение UN к UN Этап I: 1. Выбирается некоторое значение параметра алгоритма є 0 и находится є-оптимальное решение следующей задачи квадратичной минимизации: \\Ли — f\\p — min, U\ = \и є Н\ \\Ви — д\\с R, \\и\\н гЛ, (3.9) т. е. такой элемент и Є U\, что \\Ли — f\\F min \\Ли — f\\F + є. (3.10) Ограничение на норму в (3.9) задается значением параметра г , взятым из условия A4. Затем вычисляется элемент w = Ли, который принимается за приближение к проек ции гу = Ли = V jjf точного целевого элемента / на замыкание ЛІІ образа эллипсоида U при отображении Л. 2. С помощью вариационного метода [59] численно решается уравнение Ли = w, аппрок симирующее уравнение Ли = w . При этом используется априорная информация об ограничении на норму источника г элемента ит из условия A4: I F r v Резуль тат ит применения вариационного метода принимается за приближение к компонете ит Этап II: 3. Проверяется условие \\BUT — QWG R + є. (3.11) Если оно выполнено, то считаем составляющую и тривиальной и останавливаем вычисления, взяв в качестве итогового приближения и к точному нормальному решению и элемент ит, найденный на шаге 2: и = иу. Если условие (3.11) нарушается, принимаем гипотезу о нетривиальности компоненты UN и переходим к шагу 4, на котором начинается поиск подходящего приближения для и . 4. При значении параметра х = г приближенно решается следующая задача: I(q) = \\B(T q + ит) — ]J\\G ЩІ11 , E{x) = {q Є Q \ \\T q\\H x, \\q\\Q rq} , (3 12) дЄЕ(х) т.е. ищется такой элемент q(x)\x=rt = q(r ), что /— \ 2 / \ 2 q(x) Є Е{х), ( I(q(x))) ( г (ж)) + є, г (ж) = min I(q). (3.13) qeE(x) Здесь величина rq взята из предположения A4. Затем проверяется условие J((f(r )) R — е. (3.14) Если оно выполнено, то полагаем Х0 = г , q = (f(r ) и переходим на шаг 6. Если условие (3.14) нарушено, то переходим к шагу 5. 5. На этот шаг мы попадаем в случае, когда нарушены оба условия (3.11) и (3.14). Это означает, что г (0) = l(q(0)) = \\Вит — д\\с R + є, г (г ) I(q(r )) R — є. В таком случае скалярное уравнение i (x) = R для непрерывной и монотонно невоз-растающей на отрезке [0, г ] функции г (ж) имеет на этом отрезке корень Х0, приближение Х0 к которому находится из условий 0 Ж0 г , R — є I(q(x0)) R + є (3.15) с привлечением определяемых из (3.13) элементов q(x). После этого полагаем q = q(x0) и переходим на шаг 6. 6. Вычисляется элемент b = BDq, который принимается за приближение к 6 = BT q = = BUM. С помощью вариационного метода решается система уравнений Ли = 0, Ви = b, аппроксимирующая систему Ли = 0, Ви = 6 . При этом используется априор ная информация об оценке сверху нормы источника из второго разложения в (3.6): (г 0, h0) F XG "0 , а приближения к источникам выбираются из пространства JF Х х JG G. Найденное вариационным методом решение принимается за приближение UN к компоненте UN- Итоговым приближением к и объявляется сумма и = ит + UN , и процесс останавливается.

В этом параграфе доказана оценка величины \\йт — ит\\н сверху через погрешности во входных данных. С использованием полученной оценки доказывается сходимость ит — ит при асимптотическом уменьшении всех погрешностей до бесконечно малых.

Результаты численных экспериментов

Перед тем как привести схему доказательства основного равенства R(T ) = N(A), заметим, что оператор Т является непрерывно обратимым, причем справедливо неравенство ІІ ІІя 1Ы1о У Q Qi (3.62) 2 v из которого следует также замкнутость образа этого оператора: R(T ) = R(T ). Используя равенства N(A) = Jn (R(A )) , R(T2) = Jn (N(T) )) и R(A ) = R(A ), последнее из которых следует из (3.58), а первые два являются следствиями первого из разложений (3.8) и ему подобного, записанного для оператора Т , получим эквивалентность равенств R(T ) = N(A) и N(T) ) = R(A ). Последнее из них удобнее для доказательства, так как записано в про о странстве регулярных функций Н = Н1(0,Т), и может быть несложно доказано непосредственным построением оператора Т с помощью вспомогательной задачи, рассматриваемой в классе сильных обобщенных решений. Оценки (3.7) норм источников и нормы решения из предположения A4 могут быть получены с помощью (3.58) и (3.62): 11м 11н" 11мон" IK/JSOIIFXT = (II/IIF + 1Ы1г) II IIF 11м 11н" (3.63) 2 2 2 II 2 il 2 / I, М2 1 2 \щ \\о 2 м я IIv o , il0)\\F xG Нм 11я (3.64) где щ Є Н — нормальное решение системы Аи = /, Би = д. Загрубляя нужные оценки до строгих, получим выполнение предположения A4. Выполнение предположений A2, A5 гарантируют конструкции приближенных операторов , , , аналогичные [12, с. 136, 143]. Последнее предположение A6 в силу предположений A1 и A2 будет выполнено для всех достаточно малых уровней погрешностей и гарантируется дополнительной численной проверкой, проводимой перед началом работы алгоритма.

Перейдем к описанию примера для рассматриваемой модельной задачи. Длина простран ственного интервала была выбрана = 1, а длина интервала времени = 2 = 2. Функции Є для компоненты решения т Є TH(-A ), т. е. в данном случае = т , а сам случай может быть истолкован как пограничный между \\Вт — \\а и \\Вт — \\а . Приближенные операторы, использованные при расчетах, строятся так же, как и в первой главе, с помощью явной разностной схемы на сетке с ( + 1) узлом на отрезке [0,] и ( + 1) узлом на отрезке [0, ].

На рисунке 9, слева, приведены графики производных образов Рисса {JH )1 численно найденного и точного управлений {) и () для = 100, = 200 и в отсутствие погрешностей при задании функций и: = , = . Относительная погрешность нахождения управления при этом составила 12,22%. Справа на рисунке 9 изображены аналогичные графики для случая более густой сетки: = 200, = 410. Относительная погрешность нахождения управления в этом случае составила 9,80%. Отметим также, что в первом случае останов на шаге 3 не происходит и алгоритм останавливается лишь на шаге 6. Во втором же случае останов на шаге 3 происходит. 1.5

В силу теоремы 9 операторы и из (3.57), действие которых рассматривается в указанных пространствах, являются линейными и непрерывными. С использованием техники из второй главы для них также устанавливается неравенство наблюдаемости (3.58) с той же самой константой. Оператор , формально задаваемый тем же правилом (3.59), (3.60), действует в данном случае в пространствах Т : — , где = 2(,), а определено в (3.65). Равенство (T ) = (A) в данном случае удобнее получать непосредственно, без перехода к сопряженным операторам. Неравенство (3.62), характеризующее непрерыв-ную обратимость Т , сохраняется и в этом случае с той же константой. Из сохранения вида этого неравенства и неравенства (3.58) следует, что оценки норм источников (3.63), (3.64) также сохранят свой вид. Таким образом, доказательство верности предположений A1-A6 проводится во многом аналогично предыдущему случаю. отсутствие погрешностей при задании функций и. Относительная погрешность нахождения управления при этом составила 8,57%. Справа на рисунке 11 изображено найденное управление для случая более густой сетки: = 200, = 410. Относительная погрешность нахождения управления в этом случае составила 6,31% .

Аналогичные графики результатов для зашумленной 5% шумом функции и неза 75 шумленной функции приведены на рисунке 12. При этом относительная погрешность опре 1.4 1.2 0.8 0.6 0.4 0.2 -0.2 -0.4 -0.6 0.5 1.5 1.4 1.2 0.8 0.6 0.4 0.2 -0.2 -0.4 -0.6 0.5 1.5 Рисунок 12 деления управления на грубой сетке составила 11,03% , на более густой — 8,07% . Замечание 29. Выше были рассмотрены способы применения предложенного алгоритма к задаче управления (1), (4), (5), (8) для случая постоянных коэффициентов () = = () = 1, () = 0. Отметим, что в общем случае переменных коэффициентов алгоритм может быть применен к задаче управления аналогичным образом. В данной работе общий случай рассмотрен не будет из-за необходимости получения конструктивной оценки (3.62), доказательство которой может быть проведено в полной аналогии с [12, с. 95- 104] и обладает трудоемкостью, сравнимой с затратами первой главы.

Замечание 30. Применимость алгоритма к более общей задаче (3.52), (10) для выбора функциональных классов, соответствующих сильному обобщенному решению, может быть доказана аналогичным образом. При этом отличие будет состоять в способе построения оператора Т), истокообразно представляющего ядро оператора А, заданного следующим образом: