Ненулевые периодические решения автономных систем дифференциальных уравнений, зависящих от параметра, в критических случаях Абрамов, Владимир Викторович

Введение к работе

Актуальность темы. В данной работе изучается автономная конечномерная система обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром. Предполагается, что эта система имеет тривиальное решение при всех значениях параметра, а система линейного приближения при нулевом значені параметра имеет ненулевые периодические решения. Предмет исследования - вопрос существования ненулевого периодического решения у такой системы.

Этот вопрос является одним из основных в качественной тео-' рии дифференциальных уравнений и при исследовании качественного характера различных математических моделей.

Основным вкладом в решение проблемы существования периодических решений явились работы А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова, А.А. Андронова, И.Г. Малкина, U.K. Красносельского, В.А. Плисса. Эгу проблему решали А.А. Бойчук, Е.А. Гребеников, Ю.А. Рябов, С.А. Вавилов, А.Д. Крюао и другие математики.

В силу сложности проблемы и многообразия конкретных систем, описывающих реальные процессы, общего подхода к решению проблемы пока не найдено. Слабо изучена область критических случаев, при изучении которых требуется привлекать свойства нелинейных членов правой части изучаемой системы. По существу в зависимости от конкретного вида нелинейности имеют место различные критические случаи. Это подтверждает актуальность работ, посвященных поиску достаточных условий существования периодических решений в критических случаях.

Рассмотрим действительные системы п дифференциальных уравнений с ^-мерным параметром

сс =Ах + A(s)cq + ffx, е), ₍₁₎

Л?о)=.= . (СО, )=0, ^(о,)ЕО;

зЬ-АзС+4кС-Я,&)+2*(СС,Є), (2)

где $к(зс, є) - вектор-форма по ее порядка к^і {а^(са_г о)-О

при К=1), &т- Hoctl~^KllQ*Cce. )//=0 равномерно по Є ;
J аз К-»-о d

лг = /4 ее + JL gK;fsc„) + ff&, ), (3)

в которой о_к.Саз, ) - вектор-форма по ее порядка к-, i^ /<.<

< Kj₄ . /= f,d-1_t yjtffljlxll "$&, г)\Ыо равномерно по є , в >о - некоторое целое число, причем К^>в при Ы = і .

Цель работы. Для систем (1)-(3) получить локальные достаточные условия существования ненулевых со -периодических решений, если система v — Av имеет /г?-параметрическое семейство со -периодических решений (-f ^ m ^ h ).

Методика исследования. Проблема существования ненулевого периодического решения систем (1)-(3) сведена к задаче поиска пары начальное условие-параметр, определяющей такое решение. Система уравнений относительно начального условия и параметра исследуется как по первому приближению, так и по свойствам членов высших порядков с помощью принципа неподвижной точки.

Научная новизна. В работе получены новые достаточные условия существования ненулевого периодического решения автономной системы дифференциальных уравнений с векторным параметром. Существенно то, что матрица А (В) не наделяется специальной структурой, а, кроме того, для решения проблемы привлекаются свойства как первого, так и высших приближений нелинейности в правой части изучаемой системы. Получены условия существования ненулевого корня однородного векторного полинома и суммы таких полиномов.

Практическая и теоретическая значимость. Полученные признаки существования и отсутствия ненулевых периодических решений могут быть использованы при изучении новых критических случаев, возникающих в приложениях. Все признаки сформулированы в достаточно легко проверяемом виде, что может оказаться полезным в качественном исследовании локальной структуры окрестности особой точки системы дифференциальных уравнений и при решении ряда практических задач.

На защиту выносятся:

1. признаки существования ненулевого периодического решения системы (1), если матрица Д(Є)не имеет квазидиагональной структуры;

2. условия существования ненулевого периодического решения по первому приближению нелинейной части, которое является вектор-формой как по фазовим переменным, так и по компонентам параметра;

3. условия существования ненулевого периодического решения

по свойствам высших приближений нелинейной части, которые являются вектор-фермами как по фазовым переменным, так и по компонентам параметра;

4) признаки существования ненулевого корня суммы однородных векторных полиномов и, в частности, однородного векторного полинома.

Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете, на Всероссийской конференции "Ксм-

ГтКггёрйЫи мОТОДЫ НОисСНОИ МЄлсіНИКй" В ГОрСдв l/oKKT ііСТСр^урГС.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1-63.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 3-х глав, заключения, списка литературы, включающего 78 наименований, и изложена на 105 страницах машинописного текста. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ