Введение к работе
Актуальность темы. Наряду с изучением классических ураваеяий с частными производными эллиптического, гиперболического и параболического типов, начиная с двадцатых годов нашего столетия, внимание исследователей уделено изучении уравнений, которые в одной части их задания принадлежат одному типу, а в другой - другому типу,т.е. уравнений.смешанного типа. Начало исследованиям краевых задач для таких уравнений было дололено в работах итальянское го математика Ф.Трикоми и получило развитие в работах С.Гел-лерстедта, А.В.Вицадзе, Ф.И.Франкля а К.И.Бабенко.
Интерес к изучению краевых задач для уравнений сиешэн-ного типа особенно возрос после того, как обнаружилась их связь с задачами газовой динамики, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и безмоментной теории оболочек.
В связи с этим в последние годы в работах В.Ф.Волкода-вова, В.Н.Врагова, Т.Д.Дкураева, Т.Ш.Кальменова, Г.Д.Кара- ' тспраклиева, М.М.Мередова, Е.И.Моисеева, А.М.Нахушева, С.П.Пулькина, М.ССалахитдинова, М.М.Смирнова и многих других, теория краевых задач дан уравнений смешанного типа развивалась в различных направлениях. Обзор многих этих работ и их приложений имеется в монографиях А.В.Бипадзе, Л.Берса, М.С.Салахитдакова, Т.Д.фвураевє к 55.К.См:грнсзЕ.
Одним из активно развивающихся направлении в теории Kpsesax задач для уравнений смешанного типа является тео-. рзя нелокальны;:; краевых задач для уравнений такого типе.. В fSS9 году А.В.Бкцвдзе и Л Л .Самарским было предложено некоторое обобщение линейных краевых задач для уравнений
ішізшгіічєокого така, которое кина пслутліо назганяє " задача Еяішдсо-Сшарсксго". Затем появился ряд работ, которые аоовйязиы изучению такж: задач для уравнений эллиптического, кэдмбайнчеокото, эллццгтко-парабалического, параболе-пшерболнчзского типов. Вто работы М.С.Садвхитдийова и А.їазшкш, Т.Д.Дж5ураеза а А.СопуеБа, Ш.'А.Алшмова,Т.Ш.Каль-і&щйів s БЛІ.Ершелкова, А.Ф.Напсо, А.КЛІулатова, Д»Амано-ра а М.а.Ддянйэмада и др. Малоизученными в этом направлении 'осгакксь задачи иша Еатцаязе-Самарского для. уравнений элящ їако-гЕпврбашческого тгпа. Лалее, с конца 60-ых голов посла изЕссїннх работ А.В.Бицадзе и А.М.Нахутева начато изуче-нее Зйлач (со смещашвй) для урешеяий ттерйотческото, ішшійко-гяперйадичоского е параболо-гаперболического тг-пйз с н-ашшльнши краевыми условиями в гиперболической vuam грзящы рассматриваемой области. Изучению таких за-дач лееашзены многочисленные работы,. среди которых следует охііаї22ь работа И.С.Салахдиошааа, Ї.Д.Дкураева, А.М.Наху-ш?.ьа, Б-Ф.ВолшшззсЕа» Ь!.М.Сйирнога, В.И.Кегалоза, Ы.М.Ке-рокота к их учєйЕКОв. Б бояьтястве р^бої, где изучены ее-дачу со сые^едаса, рассмогрены пли модельные уравнения ,їил яикайанэ уравнения со специально подсбраняшл козффицяеаїа-ет Kta Азладйзз: преазвеншх. Однако небольшое число раба-г лосвящзео исследовании задач со смещением для уравнена^ счеяшкого 'газа о гикадгйжа члеяама.
Со второй Еолсиакгг 70~wc годов пягежиевно изучаются ксаовае задачи'для урэвызпай сглзшаняого .типа со спектральным параметром. В работах В.ПЛ&хайяотоа, Б.И.КЬаееева, С.М.Поясшарева, Т.Ш.Надькено.за, А.М.Ежша С.П.Пудыяша,
~ t)- -Т.Д.Дяураева и А.Сшуева, Ю.У.Тапыирзаава, K-B.Cafesona я ряда других авторов изучена единственность рыазгшя задача Трякоьи для различных уравнений сиешашого типа со спектральным параметром. Несомненный интерес представляет изучение задач типа Еицадзе-Самарсиого к задач со сизщзязе-а для таких уравнений.
В начале 50-ых годов А.В.Еэдздзз был доставлен л изучен аналог задачи Трякомя для уравнения Яавранхьега-Еэдпд-se в двусвязной области. Однако, до нестоядего врзмопя дал локальные, так й нелоаальнне краевые задача, в оснсвнсгл, рассматривались в однссвязкыг: областях. Крзехйа задачя,даже лональнне, для уравнений смешанного тша у двусвязяой области исследовались совсе?л мало.
Данная диссертационная работа посвящена иссгановке 2 псследовакшо нелокальных краевых задач для следувднх уравнений зллинтзко-гйперболнчзского ТЙШ
где ' CLlXyif) ,. &(Z,f{) , CfX,lt)- заданные SynraiES,
а Л - ззданяоз чесло.
Цель работы. Исследование вопросов существования з единственности решения задач с лелокодьенки араз-внми условиями как з эллиптической, так и в иаперболичесаоЗ
части смешанной одяосвязнсй осілосте для уравнений (1)Д2),
.-6-
(3), а также задач со смещением для уравнения (4) в смешанной двусвязной области.
Методика исследования. Единственность решения изучаемых задач.доказывается методами интегралов энергии и принципа экстремума, причем при применении ызрЕого метода существенно используется интегральное представление функции Бесселя. Существование решения рассматриваемых задач доказывается методом интегральных уравнений. Ира этом широко используются теория сингулярных интегральных уравнений, теория линейных интегральных уравнений Фред-гольма второго рода, а иногда - теория' интегро-ди|ференци-гяышх уравнений.
Научная нови з на. В диссертации получе-ен следующие основные результаты:
-
Введены некоторые операторы с функцией Бесселя в гідрах, которые играют существенную роль при постановке s исследовании краевых задач для уравнений со спектральным цараметром. Изучены свойства введенных операторов, связанных с'их суперпозицией, установлен принцип экстремума для этих операторов.
-
Исследована разрешимость некоторых интегральных и .интегро-дифференциальных уравнений, которые встречаются
при изучении краевых задач., рассматриваемых в диссертации.
-
Впервые .поставлены и изучены задачи со смещением для уравнений (I) и (2), когда Л ^ О '. '.
-
Доказана'однозначная разрешимость двух задач для каждого из уравнений (I), (2) с нелокальными краевыми условиями как в эллиптической, гак и в гиперболической части смешанной односвязцой области. .
- 7 -5. Исследованы задачи типа Еацадзе-Самарского для уравнения (3) в смешанной односвязной области.
S. Поставлены и исследована задачи со смещением для уравнения (4) в смешанной двусвязной области, а также ряд вспомогательных задач для зтого га уравнения в сдносвяз-яых областях.
При исследовании краевых задач .для уравнений (1),(2), І4) существенно используются операторы а юс свойства,отмеченные в пункте I, причем в уравнениях (I), (3) предполагается, что Л - комплексное число, а э (4) - Я є Л .
Теоретическая к практическая данность. Результаты, аолучекные в ддссертавди, носят теоретический характер. Они могут быть использованы для дальнейшей 'разработки теории краевых задач для уравнений смешанного типа, а также при решении прикладках задач» приводящихся :к таким уравнениям.
Апробация работы- Основные результаты работы докладывались на объединенном семинаре отделов дифференциальных уравнений а неклассических уравнений математической физики Института математика им.В.И .Романовского АН РУз (руководители - академики АН Узбекистана М.ССалахит-деяоз и Т.Д.Лдураез), на семинаре при кафедра математической физики Ташкентского .государственного университета (руководитель - члея-корр.АН РУз Ш.А. Алимов), яа объединенном научного следовательском семинаре по нелокальным задачам для диф-серекциальных уравнений в частных производных и их прплете-кїіям к моделировании и автоматизации проектирования систек з распределенными параметра? {г.Нальчик, 1986 г., май),на
Воесоюзком симпозиуме "Современные проблемы математической физики" (г.Тбнлиси, 1987 г..апрель), на Всесоюзной школе молодых ученых "функциональные методы в прикладной математике Е математической физике" (г.Таикент, IS88 г., май),на Международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" (г.Самара, 1992 г.,май), на Всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи математической физики и анализа" (г.Новосибирск, IS92 г., ишь).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-22 J .
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введеяшя, пята глав ж сшсяа литературы. Она изложена ва 260 страницах машинописного текста. Список литературы вклшаеї 106 названий.