Содержание к диссертации
Введение
1. Одномерные пространственно нелокальные крае вые задачи 25
1.1 Краевые задачи с интегральными граничными условиями для псевдопараболического уравнения 25
1.1.1 Постановка задачи 25
1.1.2 Основная теорема 26
1.1.3 Разрешимость вспомогательной краевой задачи 2 28
1.1.4 Доказательство основной теоремы 36
1.2 Краевые задачи с граничными условиями а.а. самарского для псевдогиперболического уравнения 41
1.2.1 Постановка задачи 41
1.2.2 Разрешимость краевой задачи 4 42
1.2.3 Разрешимость краевых задач 5 и 6 49
1.3 Краевые задачи с граничными условиями А.А. Самарского и интегральными граничными условиями для псевдопараболиче ского уравнения 54
1.3.1 Постановка задач 54
1.3.2 Разрешимость краевой задачи 7 56
1.3.3 Разрешимость краевой задачи 8 65
1.3.4 Разрешимость краевой задачи 9 70
2. Многомерные пространственно нелокальные краевые задачи 72
2.1 Краевые задачи с интегральными граничными условиями для псевдопараболического уравнения 72
2.1.1 Постановка задачи 72
2.1.2 Разрешимость краевой задачи 10 73
2.1.3 Разрешимость краевой задачи 11 79
2.2 Краевые задачи с интегральными граничными условиями для псевдогиперболического уравнения 81
2.2.1 Постановка задачи 81
2.2.2 разрешимость краевой задачи 12
2.2.3 разрешимость краевой задачи 13
3. Метод фурье для пространственно нелокальных краевых задач 94
3.1 Краевые задачи для псевдопараболического уравнения 94
3.1.1 Постановка краевой задачи 94
3.1.2 Разрешимость краевой задачи 14 94
3.2 Краевые задачи с интегральными граничными условиями для псевдогиперболического уравнения 101
3.2.1 Постановка краевой задачи 101
3.2.2 Разрешимость краевой задачи 15 101
Заключение 107
Литература 108
- Разрешимость вспомогательной краевой задачи 2
- Краевые задачи с граничными условиями А.А. Самарского и интегральными граничными условиями для псевдопараболиче ского уравнения
- Разрешимость краевой задачи 10
- Краевые задачи с интегральными граничными условиями для псевдогиперболического уравнения
Введение к работе
Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию разрешимости пространственно нелокальных краевых задач для псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений. В качестве первых работ в исследовании нелокальных краевых задач отметим работы В.А. Стеклова (1896), Ф.И. Франкля (1956), В.И. Жегалова (1962).
Новый импульс теории нелокальных краевых задач придала работа А.В. Бицадзе и А.А. Самарского (1969). Нелокальные задачи с интегральными условиями ставились и изучались для различных дифференциальных уравнений многими математиками. Обыкновенные дифференциальные уравнения с нелокальными условиями, связывающими значения искомой функции на концах интервала и в его внутренних точках, рассматривались в работах R.C. Brown, A.M. Krall, В.А. Ильина, Е.И. Моисеева, Г.М. Кесельмана, А.Л. Скубачевского, А.А. Шкаликова. Исследованию нелокальных краевых задач для смешанных уравнений математической физики были посвящены работы В.И. Жегалова и его учеников.
Одними из первых работ, посвященных исследованию задач с интегральными условиями для уравнений в частных производных являются работы J.R. Cannon, Л.И. Камынина, опубликованные в 1963 и 1964 годах. Среди последующих работ отметим работы Н.И. Ионкина, Л.А. Муравья и А.В. Филиновского, СМ. Алексеевой и Н.И. Юрчука, А. Bouziani и N-E. Benouar, A. Bouziani, Н.И. Иванчова, J.R. Cannon и Van der Hoek, З.А. Нахушевой, Ю.Т. Сильченко, N. Lazetic, А.И. Кожанова, Л.С. Пулькиной, Г.А. Лукиной, в которых изучались задачи с интегральными условиями для уравнений параболического и гиперболического типов, для некоторых неклассических дифференциальных уравнений.
Цель работы. Основной целью работы является исследование разрешимости пространственно нелокальных краевых задач с граничными условиями А.А. Самарского с переменными коэффициентами и с интегральными условиями для одномерных и многомерных псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений третьего порядка.
Методы исследования. Доказываются теоремы существования и единственности решений пространственно нелокальных краевых задач для одномерных и многомерных псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений третьего порядка. При доказательстве существования искомого решения рассматриваемых краевых задач используются метод продолжения по параметру, основанный на методе априорных оценок, а также метод Фурье.
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:
доказаны новые теоремы разрешимости пространственно нелокальных краевых задач с граничными условиями А.А. Самарского для одномерных псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений третьего порядка. Для псевдопараболических уравнений доказана однозначная разрешимость краевых задач с нелокальными интегральными краевыми условиями;
доказаны новые теоремы разрешимости краевых задач с интегральными граничными
условиями для многомерных псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений третьего порядка;
доказаны новые теоремы разрешимости краевых задач с нелокальными условиями для псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений методом Фурье.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Все результаты диссертации являются новыми. Выводы и положения, сформулированные в диссертации, базируются на строгих математических доказательствах. Полученные результаты могут быть применены в дальнейших научных исследованиях, а также в образовательном процессе.
Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на семинаре при кафедре дифференциальных уравнений Казанского федерального университета под руководством д.ф.-м.н., профессора В.И. Жегалова (Казань, 2015), на объединенном семинаре кафедры математического анализа СВФУ (Якутск, 2014, 2015), НИИ математики СВФУ «Неклассические дифференциальные уравнения, управляемые процессы и их приложения» под руководством д.ф.-м.н., профессора И.Е. Егорова, на семинаре «Неклассические уравнения математической физики» Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН под руководством д.ф.-м.н., профессора А.И. Кожанова (Новосибирск, 2012-2014), на Всероссийской научной конференции и Всероссийской школе-семинаре студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития северных территорий Российской Федерации» (Якутск, 2012), на XVI-XVIII Международных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (2009-2011, Москва), на II Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития северных территорий Российской Федерации» (Якутск, 2009), на Всероссийском научном семинаре «Неклассические уравнения математической физики», посвященной 65-летию со дня рождения профессора В.Н. Врагова (Якутск, 2010), на III Международной молодежной научной школе-конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Новосибирск, 2011), на Международной конференции, посвященной 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева «Обратные и некорректные задачи математической физики» (Новосибирск, 2012), на Международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и информационных технологий - аль-Хорезми 2012» (Ташкент, Узбекистан, 2012), на Международной конференции, посвященной 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева (Новосибирск, 2013), на Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь и научно-технический прогресс в современном мире» (Мирный, 2014), на XLVII-LII Международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2009-2014), на VI и VII Международных конференциях по математическому моделированию (Якутск, 2011, 2014).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 24 работах: 8 статьях [1-8], 16 тезисах докладов [9-24]. В совместных работах [2,3] постановка задач, идея доказательств теорем разрешимости краевых задач I—III принадлежат научному руководителю А.И. Кожанову. 7 статей [1-7] опубликованы в журналах из Перечня рецензируемых научных изданий ВАК, в том числе 4 статьи [1-4] (2 статьи переводные), входят в международные реферативные базы данных и систем цитирования Web of Science, Scopus.
Работа выполнена при поддержке гранта ректора СВФУ на проведение научных исследований студентов и молодых ученых (2009, 2014), аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала» (коды проекта 2.1.1/3443 и 2.1.1/13607), при поддержке Минобрнауки России в рамках государственного задания на выполнение НИР на 2012-2014 гг. (проект 4402) и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (ГК 02.740.11.0609), ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. мероприятия 1.3.2 «Проведение научных исследований целевыми аспирантами» (Соглашение 14.132.21.1349).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 7 параграфов, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 118 страниц. Список цитируемой литературы содержит 102 наименования.
Разрешимость вспомогательной краевой задачи 2
Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались и обсуждались на семинаре при кафедре дифференциальных уравнений Казанского федерального университета под руководством д.ф.-м.н., профессора В.И. Жегалова (Казань, 2015), на объединенном семинаре кафедры математического анализа СВФУ (Якутск, 2014, 2015), НИИ математики СВФУ "Неклассические дифференциальные уравнения, управляемые процессы и их приложения "(директор д.ф.-м.н., профессор И.Е. Егоров), на семинаре "Неклассические уравнения математической физики "Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН под руководством д.ф.-м.н., профессора А.И. Кожанова (Новосибирск, 2012-2014), на Всероссийской научной конференции и Всероссийской школе-семинаре студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития северных территорий Российской Федерации "(Якутск, 2012), на XVI-XVIII Международных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов"(2009-2011, Москва), на II Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития северных территорий Российской Федерации" (Якутск, 2009), на Всероссийском научном семинаре "Неклассические уравнения математической физики посвященной 65-летию со дня рождения профессора В.И. Врагова (Якутск, 2010), на III Международной молодежной научной школе-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач "(Новосибирск, 2011), на Международной конференции, посвященной 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева "Обратные и некорректные задачи математической физики "(Новосибирск, 2012), на Международной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и информационных технологий - аль-Хорезми 2012" (Ташкент, Узбекистан, 2012), на Международной конференции, посвященной 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева (Новосибирск, 2013), на Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Молодежь и научно-технический прогресс в современном мире" (Мирный, 2014), на XLVII-LII Международных научных студенческих конференций "Студент и научно-технический прогресс"(Новосибирск, 2009-2014), на VI и VII Международных конференциях по математическому моделированию (Якутск, 2011, 2014).
Работа выполнена при поддержке гранта ректора СВФУ на проведение научных исследований студентов и молодых ученых (2009, 2014), аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала"(коды проекта 2.1.1/3443 и 2.1.1/13607), при поддержке Минобрнауки России в рамках государственного задания на выполнение НИР на 2012-2014 гг. (проект 4402) и ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России"на 2009-2013 гг. (ГК 02.740.11.0609), ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России"на 2009-2013 гг. мероприятия 1.3.2 "Проведение научных исследований целевыми аспирантами "(Соглашение 14.132.21.1349).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 30 работах: 8 статьях и 16 тезисах докладов [79] - [102]. 7 статей [96] - [102] опубликованы в журналах из Перечня рецензируемых научных изданий ВАК, в том числе 4 статьи [99] - [101] (2 статьи переводные), входят в международные реферативные базы данных и систем цитирования Web of Science, Scopus.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 7 параграфов, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 118 страниц. Список цитируемой литературы содержит 102 наименования. Формулы, теоремы и замечания в каждой главе нумеруются тремя натуральными числами, первое из которых указывает на номер главы, второе - номер параграфа, третье - номер формулы в параграфе.
Благодарности. Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю, профессору Александру Ивановичу Кожанову за предложенную тему, ценные советы и постоянное внимание к работе
Проводится исследование разрешимости пространственно нелокальных краевых задач для одномерных линейных псевдопараболических уравнений с интегральными граничными условиями. Используемые методы основаны на переходе от задачи для "хорошего"уравнения с "плохими"граничными условиями к задаче с "хорошими"граничными условиями, но для "плохого"уравнения — так называемого нагруженного [42] уравнения, доказательстве разрешимости полученной задачи с помощью метода продолжения по параметру и априорных оценок.
Краевые задачи с граничными условиями А.А. Самарского и интегральными граничными условиями для псевдопараболиче ского уравнения
Краевая задача 5: найти функцию u(x,t): являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения (1.2.1), и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия 2 (1.2.3), а также начальные условия (1.2.5).
Краевая задача 6: найти функцию u(x,t): являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения (1.2.1), и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия 3 (1.2.4), а также начальные условия (1.2.5). Отметим, что в работе [27] методом регуляризации и продолжения по параметру была исследована разрешимость начально-краевой задачи для гиперболического уравнения utt-uxx + c(x,t)u = f(x,t) (1.2.6) с краевыми условиями 1, 2 или 3. В случае локальных краевых условий (1.2.2) или (1.2.3) или (1.2.4) — т.е. при выполнении условий a2(t) = Pi(t) = 0 теоремы разрешимости аналогичных краевых задач для уравнений (1.2.1), называемых псевдогиперболическими, были доказаны в работах [60, 74]. Отметим также, что в работе [33] для волнового уравнения (1.2.6) в случае с = с(х) методом Фурье были исследованы общие пространственно нелокальные краевые задачи с постоянными коэффициентами с , (3j при выполнении условия самосопряженности в L2 оператора — л + с(ж), определенного на функциях, удовлетворяющих краевым условиям.
Искомая разрешимость устанавливается с помощью метода продолжения по параметру. Основой для применения метода продолжения по параметру и для предельного перехода по параметру регуляризации являются априорные оценки.
Покажем, что данная краевая задача имеет решение, принадлежащее пространству W\ для всех чисел Л из отрезка [0,1]. Для доказательства воспользуемся методом продолжения по параметру.
Обозначим через Л множество тех чисел Л из отрезка [0,1], для которых краевая задача (1.2.12), (1.2.10), (1.2.11) при выполнении условий (1.2.7), (1.2.8) имеет решение w(x,t): принадлежащее пространству W\. Если мы покажем, что множество Л не пусто, открыто и замкнуто, то получим, что оно будет совпадать со всем отрезком [0,1].
При Л = 0 краевая задача (1.2.12), (1.2.10), (1.2.11) при выполнении условий (1.2.7), (1.2.8) разрешима в пространстве W\ (см. [60]). Из этого следует, что число 0 принадлежит множеству Л и тем самым — что множество Л не пусто.
Открытость и замкнутость множества Л доказывается с помощью априорных оценок. Установим их наличие. Для правой части уравнения (1.2.12) введем обозначение где постоянная 7 есть фиксированное положительное число, величина которого будет уточнена ниже. Интегрируя по частям и используя указанное выше начальное условие для функции w(x,t), нетрудно от данного равенства перейти к следующему неравенство Юнга и элементарные неравенства вложения, нетрудно показать, что оставшиеся слагаемые правой части равенства (1.2.14) оцениваются сверху величиной с произвольным положительным числом 6 и числом К\, определяющимся функциями a(x,t), c(x,t), a\(t), а ), /3i(t) и (t), а также числами 5 и 7-Выберем число 7 так, чтобы выполнялось неравенство
Оценок (1.2.19) и (1.2.20) вполне достаточно для доказательства открытости и замкнутости множества Л. Действительно, эти оценки означают выполнение неравенств \\w\\Wl Mi(/L2(Q) + /XL2(Q)), \\F\\L2(Q) + XL2(Q) M2HWl. С помощью полученных неравенств, применяя стандартные приемы доказательства открытости и замкнутости множества Л (см. [56]), нетрудно установить требуемое. Конкретные реализации можно найти, например, в [22, 30].
Другими словами, краевая задача (1.2.12), (1.2.10), (1.2.11) при выполнении условий теоремы имеет решение w(x,t): принадлежащее пространству W\ при всех значениях Л, в том числе и при Л = 1. Очевидно, что функция u(x,t) принадлежит пространству Vi, и что она является решением поставленной краевой задачи.
Единственность решений краевой задачи 4 (1.2.1), (1.2.2), (1.2.5) в пространстве V\ следует из оценки (1.2.19). Теорема полностью доказана. 1.2.3 Разрешимость краевых задач 5 и Теорема 1.2.2. Пусть выполняются условия
Тогда существует единственная функция u(x,t) из пространства V\, являющаяся в прямоугольнике Q решением краевой задачи 5.
Замечание 1.2.2. Условия (1.2.21) очевидно будут выполнены при любых t Є [0, Т], если для заданных функций cti(t)/32(t) 0 и /32(t) — a\{t) + 1, a2(t) или / (t) малы no абсолютной величине.
Доказательство разрешимости краевой задачи 5 основано на методе регуляризации этих задач краевыми задачами вида 4, использовании теоремы 1.2.1, априорных оценок и предельном переходе. Пусть є есть положительное число. Положим
Рассмотрим следующую вспомогательную краевую задачу: найти функцию u(x,t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения (1.2.1), и такую, что для нее выполняются начальные условия (1.2.5), а также нелокальные условия
Покажем, что полученная краевая задача для любого є 0 при выполнении условий (1.2.21)-(1.2.23) имеет решение u(x,t) такое, что u(x,t) Є Vi, ut{x,t) Є Vi. Положим Доє() = cti(t)fa(t) — a2(t)fa(t). Заметим, что в силу второго условия (1.2.21) при t Є [0,Т] выполняется неравенство
Если положить VQ = 0, то функция Д(), вычисленная по этим условиям, имеет вид AW = 1-2A (i)[aieW a2WI Согласно третьему условию (1.2.21), выполняется неравенство Д() 1. Выполнение этого неравенства и первое условие (1.2.21), (1.2.22) означают, что для краевой задачи (1.2.1), (1.2.5), (1.2.25) выполняются все условия теоремы 1.2.1. Тогда эта задача будет иметь решение, принадлежащее V\. Более того, если вместо задачи (1.2.1), (1.2.5), (1.2.25) рассмотреть "продифференцированную по t" задачу: найти функцию u(x}t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения иш -a(x,t)uxxt - at(x,t)uxx + c(x,t)ut + ct(x,t)u - uxxtt = ft(x,t), и такую, что для нее выполняются условия (1.2.5), а также условия и т = MU( M) - W, )+
Разрешимость краевой задачи 10
С і наибольшее значение K2(x,y,t), K2(x,y,t) по области Г x Q x (0,T). Как и выше, при выполнении условий (2.2.27), основная априорная оценка будет определяться положительной постоянной К% в правой части, определяемой лишь функциями b(x,t): числами Т, а, /3, &о, а также областью Q. Имеем
Единственность решений краевой задачи 13 в пространстве V очевидна из априорной оценки (2.2.42). Теорема полностью доказана.
Замечание. В теоремах 2.2.1 и 2.2.2 от условий —b(x,t) bo О можно отказаться, но тогда, как и выше, при получении априорных оценок возникнут условия малости на функцию b(x, t) и ее производные.
Краевые задачи для псевдопараболического уравнения Общие нелокальные краевые задачи с условиями интегрального вида для некоторых классов нестационарных уравнений общего вида изучались в работе [29]. Методом Фурье изучаются одномерные псевдопараболические уравнения с постоянными коэффициентами, но с общими нелокальными краевыми условиями А.А. Самарского и интегральными условиями с переменными коэффициентами. 3.1.1 Постановка краевой задачи
Краевая задача 14: найти функцию и(x,t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения (3.1.1), и такую, что для нее двыполняются нелокальные краевые условия (3.1.2), а также начальные условия
Тогда существует единственная функция и(х, t) из пространства VQ, являющаяся в прямоугольнике Q решением краевой задачи 14.
Краевая задача (3.1.6), (3.1.7) при выполнении условий (3.1.5) разрешима в пространстве VQ (СМ. [60, 74]). Рассмотрим вспомогательную функцию V(x,t) = \[ {t) — ip(t)]x2 + (p(t)x, удовлетворяющую краевым условиям Vx(0,t) = (p(t), Vx(l,t) = ift(t) с неизвестными функциями (/?(), ф{Ь).
Замечание 3.2.2. Аналогично исследуются краевые задачи 15 с нелокальными краевыми условиями вида 1-3 (1.3.2), (1.3.3) или (1.3.4). Более того, в случае многомерных краевых задач для псевдопараболических, псевдогиперболических уравнений с постоянными коэффициентами, аналогичный подход метода Фурье также имеет смысл.
Метод доказательства разрешимости краевых задач 1-12 диссертации основан на переходе от задачи с неклассическим краевым условием к задаче с классическим условием, но для неклассического уравнения — так называемого нагруженного [42, 43] уравнения, в последующем, доказательстве разрешимости полученной задачи с помощью метода продолжения по параметру и априорных оценок, и далее — к построению решения исходной задачи. Отметим, что лишь для краевой задачи 13, для исследования многомерного псевдогиперболического уравнения, переход к нагруженному уравнению был необязателен. Ранее подобные методы в близкой ситуации эффективно использовались в работах А.И. Кожанова, но для параболических и гиперболических уравнений. Для пространственно нелокальных краевых задач 14, 15 применен метод Фурье.
Таким образом, в диссертации рассмотрены новые краевые задачи и доказаны теоремы однозначной разрешимости: пространственно нелокальных краевых задач с граничными условиями А.А. Самарского для одномерных псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений третьего порядка; краевых задач с интегральными граничными условиями по пространственной переменной для одномерных псевдопараболических уравнений третьего порядка; краевых задач с интегральными граничными условиями для многомерных псевдопараболических и псевдогиперболических третьего порядка; краевых задач с нелокальными условиями для псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений методом Фурье.
Результаты диссертации носят теоретический характер и являются новыми. Выводы и положения, сформулированные в диссертации, базируются на строгих математических доказательствах. В число перспективных направлений применения результатов для дальнейших исследований, можно отметить постановку и исследование новых краевых задач для неклассических уравнений, а также новых линейных и нелинейных обратных коэффициентных задач для уравнений математической физики.
Краевые задачи с интегральными граничными условиями для псевдогиперболического уравнения
Большой вклад в развитие теории нелокальных задач для дифференциальных уравнений различных классов внесли монографии А.Л. Скубачев-ского [78] и A.M. Нахушева [42, 43]. Отметим также, что пространственно нелокальные краевые задачи, в частности, задачи с интегральными условиями часто возникают при исследовании разрешимости линейных и нелинейных обратных коэффициентных задач для уравнений математической физики [24, 55].
Исследованию нелокальных краевых задач для смешанных уравнений математической физики были посвящены работы В.И. Жегалова и его учеников [13, 14, 57, 58]. Нелинейные краевые задачи со смещением для уравнений смешанного типа изучались в работах Л.К. Астафьевой [4].
В работе [29] рассматривались краевые задачи с условиями интегрального вида для некоторых классов нестационарных уравнений общего вида. Отметим также работы [1, 2], где были исследованы разрешимость краевой задачи для уравнений нечетного порядка. Разностные методы решения нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений изучались в работе М.Х. Бештокова [6].
Таким образом, нелокальные краевые задачи для параболических и гиперболических уравнений с граничными условиями А.А. Самарского, с интегральными условиями на боковой границе активно изучаются в последнее время, но при этом в основном рассматривается лишь одномерные по пространственным переменным случаи. Многомерные задачи для псевдопараболических, псевдогиперболических уравнений с интегральными условиями на боковой границе, по видимому, ранее не изучались.
Цель работы. Доказательство теорем существования и единственности, изучение свойств решений пространственно нелокальных краевых задач с граничными условиями А.А. Самарского с переменными коэффициентами и с интегральными условиями для одномерных и многомерных псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений третьего порядка. Методы исследования. При доказательстве существования искомого решения рассматриваемых краевых задач используются метод продолжения по параметру, основанный на методе априорных оценок, а также метод Фурье.
Теоретическая и практическая ценность. Данная работа имеет фундаментально-теоретическое значение. Все полученные результаты являются новыми. Область их практического применения - теория краевых задач для неклассических уравнений математической физики. Более конкретная задача, на решение которой направлена данная работа — построение теории разрешимости нелокальных краевых задач для неклассических уравнений. В число перспективных направлений применения результатов для дальнейших исследований, можно отметить постановку и исследование новых краевых задач для неклассических уравнений математической физики. Полученные результаты могут быть применены в дальнейших научных исследованиях, а также в образовательном процессе при чтении спецкурсов.
Содержание диссертации. Во введении обоснована актуальность темы диссертации, даны краткие исторические сведения по теме диссертации, в кратком виде приводится содержание работы.
Первая глава, состоящая из трех параграфов, посвящена исследованию разрешимости нелокальных краевых задач для одномерных псевдопараболических уравнений третьего порядка.
Тогда краевая задача 13 имеет решение u(x,t), принадлежащее пространству V , и это решение единственно.
Замечание 2.2.1. В теоремах 2.2.1 и 2.2.2 от условий —b(x,t) bo 0 можно отказаться, но тогда, как и выше, при получении априорных оценок возникнут условия малости на функцию b(x, t) и их производные.
В третьей главе, состоящей из двух параграфов, исследована разрешимость пространственно нелокальных краевых задач для псевдопараболических, псевдогиперболических уравнений с постоянными коэффициентами, но с общими нелокальными краевыми условиями А.А. Самарского и интегральными условиями с переменными коэффициентами.
В 3.1 проводится исследование разрешимости пространственно нелокальных краевых задач с интегральными граничными условиями, условиями А.А. Самарского с переменными коэффициентами для одномерных линейных псевдопараболических уравнений.