Нелинейные вырожденные эволюционные уравнения дробного порядка. Разрешимость задач оптимального управления Плеханова Марина Васильевна

Содержание к диссертации

Введение

1 Классические решения вырожденных эволюционных уравнений 35

1.1 Пространства функций со значениями в банаховых пространствах 43

1.2 Дробные производные и некоторые их свойства 46

1.3 Невырожденное линейное уравнение дробного порядка 48

1.4 Невырожденное полулинейное уравнение дробного порядка 50

1.5 Дополнительная гладкость решений 53

1.6 Относительные резольвенты и относительная ограниченность 57

1.7 Вырожденное линейное уравнение дробного порядка 59

1.8 Вырожденные полулинейные уравнения дробного порядка 66

1.9 Вырожденные уравнения дробного порядка с ограничением на образ нелинейного оператора 70

1.10 Некоторые случаи слабого вырождения 73

1.11 Вырожденные линейные уравнения целого порядка 76

1.12 Вырожденные полулинейные уравнения целого порядка 79

1.13 Вырожденные уравнения целого порядка с ограничением на образ нелинейного оператора

2 Сильные решения вырожденных эволюционных уравнений

2.1 Сильное решение неоднородной задачи Коши для линейного уравнения дробного порядка 88

2.2 Задача Коши для полулинейного уравнения 91

2.3 Существование решений дополнительной гладкости 95

2.4 Вырожденное линейное неоднородное уравнение 99

2.5 Полулинейное вырожденное уравнение 103

2.6 Вырожденные полулинейные уравнения с ограничением на образ нелинейного оператора 108

2.7 Сильные решения вырожденных линейных уравнений целого порядка 111

2.8 Полулинейное вырожденное уравнение целого порядка 114

3 Начально-краевые задачи для вырожденных эволюционных систем 118

3.1 Уравнение с многочленами от самосопряженного эллиптического оператора 123

3.2 Уравнение с многочленами при ограничении на образ нелинейного оператора 127

3.3 Сильные решения уравнений с многочленами 129

3.4 Уравнения с многочленами многих переменных от операторов дифференцирования 133

3.5 Уравнения с многочленами многих переменных от операторов дифференцирования при ограничении на образ нелинейного оператора 139

3.6 Некоторые невырожденные нелинейные уравнения 141

3.7 Уравнение Аллера 145

3.8 Некоторые вырожденные нелинейные уравнения 148

3.9 Примеры вырожденных линейных уравнений 151

3.10 Система гравитационно-гироскопических волн 154

3.11 Система уравнений динамики дробного вязкоупругого тела Кельвина — Фойгта 157

3.12 Начально-краевая задача для системы уравнений динамики жидкости Кельвина — Фойгта порядка 1 161

3.13 Модельный пример 163

4 Оптимальное управление вырожденными эволюционными системами в банаховых пространствах 168

4.1 Абстрактная задача управления 175

4.2 Распределённое управление для линейного невырожденного уравнения дробного порядка

4.3 Полулинейное невырожденное уравнение дробного порядка с распределённым управлением 182

4.4 Распределённое управление в случае

полулинейного невырожденного уравнения целого порядка .190

4.5 Распределённое управление

для линейного вырожденного дробного уравнения 193

4.6 Неполное полулинейное вырожденное дробное уравнение с распределённым управлением 199

4.7 Распределённое управление для полулинейной вырожденной системы дробного порядка 203

4.8 Распределённое управление полулинейной вырожденной системой целого порядка 209

4.9 Стартовое управление для линейного

невырожденного уравнения дробного порядка 212

4.10 Полулинейное невырожденное уравнение дробного порядка со стартовым управлением 218

4.11 Стартовое управление в случае

полулинейного невырожденного уравнения целого порядка 222

4.12 Стартовое управление

для линейного вырожденного дробного уравнения 224

4.13 Неполное полулинейное вырожденное дробное уравнение со стартовым управлением 229

4.14 Стартовое управление для полулинейной вырожденной системы дробного порядка 233

4.15 Стартовое управление полулинейной вырожденной системой целого порядка 239

4.16 Задачи без учета затрат на управление 241

5 Оптимальное управление решениями начально-краевых задач 246

5.1 Задачи оптимального управления для линеаризованного уравнения Осколкова — Бенджамена — Бона — Махони — Бюргерса 248

5.2 Задача управления для уравнения «замагниченной» плазмы 250

5.3 Задача оптимального управления для дробного уравнения метастабильных состояний в полупроводниках 251

5.4 Задача оптимального управления для дробной системы гравитационно-гироскопических волн 252

5.5 Задача оптимального управления

для дробных уравнений Кельвина — Фойгта 253

5.6 Задача оптимального управления для системы

движения жидкости Кельвина — Фойгта порядка L = 1 255

Заключение 257

Обозначения и соглашения

• Дополнительная гладкость решений
• Вырожденное линейное неоднородное уравнение
• Уравнения с многочленами многих переменных от операторов дифференцирования
• Распределённое управление для линейного невырожденного уравнения дробного порядка

Введение к работе

Актуальность темы исследования. Теория дробного дифференцирования в последние десятилетия активно применяется в инженерных и естественнонаучных задачах. Развитие теории обусловлено не только интересом к новым методам исследования, но и новыми возможностями математического моделирования сложных процессов. Математические модели, использующие аппарат дробного дифференцирования, описывают различные процессы в биологии, гидрогеологии, применяются при моделировании процессов тепло-и массопереноса в сильно неоднородных средах, трансзвуковых течений, при исследованиях в области физики полупроводников, в эпидемиологии, теории финансовых рынков и др. Хорошо зарекомендовала себя теория дробных дифференциальных уравнений при изучении вязкоупругих тел. Систематизации различных свойств и применений дробного дифференцирования посвящено множество работ, отметим монографии K. Nishimoto, С. Г. Самко, А. А. Ки-лбаса, О. И. Маричева, А. М. Нахушева, А. В. Псху, R. Hilfer, В. В. Учайкина, В. Е. Тарасова, работы F. Mainardi, Р. Р. Нигматуллина.

С другой стороны, актуальность задач оптимального управления и их математических аспектов сложно переоценить. Интерес к исследованиям в данной области подкрепляется все новыми прикладными задачами. Возможности в изучении систем, описываемых уравнениями с дробными производными, открыли новый пласт неизученных проблем по управлению такими системами.

Постановка задачи. Работа посвящена исследованию вопросов однозначной разрешимости начальных задач для уравнений с дробной производной Герасимова — Капуто¹'²

D^Lx(t) = Mx{t) + N(t, x(t), яг '(t),..., x^^r'(t)), (1)

(Sxp (to) = Xk, к = 0,1,... , m — 1, (2)

а также задач оптимального управления для распределённых систем, состояние которых описывается соотношениями (1), (2). Здесь X, У — банаховы пространства, L Є С(Х]У), т. е. линейный непрерывный оператор, S Є L(X\X\ М Є С1(Х\У\ т. е. линейный замкнутый оператор, плотно определенный в X, действующий в У, А : R х X^r+1 —> У — нелинейный оператор, Df — оператор дробной производной Герасимова — Капуто, m Є N, т — 1 < а < m, г Є {0, l,...,m — 1}. Помимо уравнения (1) рассматривается аналогичное уравнение с левой частью вида LDfx{t).

Уравнение (1) исследуется в невырожденном случае (X = У, L = /), а также при kerL ф {0}. Далее будем говорить соответственно о невырожденных и вырожденных эволюционных уравнениях. Задача (1), (2) представляет собой задачу Коши (S = І в (2)) или обобщённую задачу Шоуолтера — Сидорова в вырожденном случае, когда S = Р — проектор на фазовое пространство соответствующего линейного однородного уравнения (N = 0 в уравнении (1))

^Герасимов А. Н. Обобщение линейных законов деформации и их приложение к задачам внутреннего трения // Приклад. математика и механика. 1948. Т. 12. С. 529-539.

²Caputo M. Linear model of dissipation whose Q is almost frequancy independent. II // Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society. 1967. Vol. 13. P. 529-539.

вдоль его подпространства вырождения. В работе получены условия существования единственного классического и сильного решений задачи (1), (2) в невырожденном и вырожденном случаях. В случае уравнения высокого целого порядка а = т Є N многие результаты в нелинейном случае удаётся улучшить, ослабив некоторые предположения на оператор N.

Помимо качественного исследования начальных задач для невырожденных и вырожденных дифференциальных уравнений дробного порядка в банаховых пространствах и начально-краевых задач для соответствующих уравнений или систем уравнений в частных производных целью диссертационной работы является также исследование разрешимости задач оптимального управления

LD^x(t) = Mx(t) + N(t,x(t),x^ '(t),... ,x^^r'(t)) + Bu(t), t Є (to,T), (3)

(Sxp '(to) = Xk, к = 0,1,... ,m — 1, (4)

и Є Ые, (5)

J(x, и) —> inf, (6)

где U — банахово пространство, В є С(Ы; У), операторы L, М, N, S описаны выше, множество допустимых управлений IAq непустое, замкнутое и выпуклое в пространстве управлений, J — целевой функционал.

Степень разработанности темы исследования. История дробного исчисления берет свое начало с работ Г. Лопиталя и Я. Бернулли. После известной задачи Абеля о таутохроне приложения дробного дифференциального исчисления в геометрии, физике, механике представили Лаплас, Фурье, Лиувилль, Риман, Грюнвальд, Хэвисайд, Зигмунд, Курант и др. В XX веке интерес к дробному исчислению был возрождён книгой «Дробное исчисление» (K. B. Oldham, J. Spanier), в которой были систематизированы знания в этой области. В работах С. Г. Самко, А. А. Килбаса с соавторами, B. Ross можно найти подробный анализ развития дробного исчисления.

К настоящему времени только определений дробной производной существует несколько десятков. Отметим посвященные изучению дробных производных, соответствующих уравнений и смежных вопросов работы последних лет I. Podlubny, А. А. Килбаса, С. Г. Самко, О. И. Маричева, H. M. Srivastava, J. J. Trujillo, K. Nishimoto, А. М. Нахушева, А. В. Псху, K. Diethelm, M. Kostic и др. Р. К. Газизовым, А. А. Касаткиным, С. Ю. Лукащуком развиваются методы группового анализа для уравнений с дробной производной Римана — Лиувилля.

Исследования разрешённых относительно старшей дробной производной Римана — Лиувилля или Капуто полулинейных уравнений в случае скалярной неизвестной функции проводились многими авторами (см. работы M. A. Al-Bassam, D. Delbosko, R. Gorenflo, I. Podlubny, А. А. Килбаса, K. Dlethelm и многих других авторов). Аналогичные исследования для систем уравнений в конечномерном случае проведены, например, в работах N. Hayek с соавторами, V. Daftardar-Gejji.

При своих исследованиях автор данной работы во многом опирается на методы теории разрешающих семейств операторов уравнений в банаховых пространствах, обобщающей теорию полугрупп операторов на случай уравнений

дробного порядка. Для невырожденных интегральных уравнений Вольтерра, обобщающих уравнения дробного порядка, весьма содержательная теория разрешающих семейств операторов развита в монографии J. Pruss. Для разрешённых относительно дробной производной линейных уравнений в банаховых пространствах своё продолжение эта теория получила в работах Э. Бажлеко-вой. Отметим работы П. А. Киричука о необходимых и достаточных условиях в терминах оператор-функции типа Миттаг-Лёффлера равномерной корректности линейного уравнения в банаховом пространстве, разрешённого относительно производной высокого порядка, результаты В. А. Костина о критерии существования сильно непрерывного семейства разрешающих операторов для уравнения в банаховом пространстве, разрешённого относительно дробной производной Римана — Лиувилля, работы R. Gorenflo, Y. Luchko и P. Zabreyko, A. M. A. El-Sayed, посвященные исследованию разрешённых относительно дробной производной линейных однородных уравнений в банаховых пространствах, а также исследования А. В. Глушака, касающихся уравнений с различными дробными производными в банаховых пространствах. Cуществование и единственность решения задачи Коши для нелинейных эволюционных уравнений первого порядка в банаховых пространствах, разрешённых относительно производной, исследовались в монографии A. Pazy методами теории полугрупп операторов.

В серии работ A. Debbouche, J. Wang, F. Li уравнения вида (1) рассматриваются при условии существования обратного оператора L~^l : У —> X, который предполагается непрерывным или даже компактным. Вопросы принадлежности различным классам корректности линейных дробных дифференциальных уравнений в локально выпуклых пространствах, включая уравнения с многими дробными производными, интегральные эволюционные уравнения, изучаются в работах М. Костича.

Очень большое количество работ посвящено исследованию разрешимости начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных, среди которых самыми популярными у исследователей являются так называемые дробные диффузионные уравнения. Отметим работы А. Н. Герасимова, Р. Р. Нигматуллина, А. Н. Кочубея, J. Fujita, F. Mainardi, Y. F. Luchko, R. Gorenflo, E. Buckwar, I. Podlubny, А. А. Килбаса, О. А. Репина, А. В. Псху, Л. Н. Ляхова. При этом уравнения, не разрешённые относительно старшей дробной производной по времени в работах авторов, проводящих исследования в данном направлении, практически не встречаются.

Основные результаты данной диссертации касаются уравнений и систем уравнений, не разрешённых относительно старшей производной, которые занимают особое место в теории уравнений в частных производных. Подобными уравнениями и системами описываются многие модели математической физики. Интерес к ним со времен Пуанкаре, Озина, Лере, Шаудера во многом был обусловлен интересом к системе уравнений Навье — Стокса. Первые систематические исследования, касающиеся начально-краевых задач для таких уравнений, получены С. Л. Соболевым, поэтому такие уравнения часто называют уравнениями соболевского типа или уравнениями типа Соболева. Среди наиболее близких работ по изучению таких уравнений выделим работы

М. И. Вишика, А. Г. Костюченко и Г. И. Эскина, R. E. Showalter и T. W. Ting, С. Г. Крейна и его учеников, А. П. Осколкова.

Отметим работы Н. А. Сидорова, М. В. Фалалеева, О. А. Романовой. Ими доказаны существование и единственность решения однородной задачи для уравнения (1) первого порядка с начальными значениями из некоторого подпространства для случая замкнутых, плотно определенных операторов L, М, где L фредгольмов. М. В. Фалалеевым методами теории фундаментальных решений получены условия разрешимости вырожденных линейных уравнений (1) первого порядка, а совместно с С. С. Орловым исследованы вырожденные линейные интегро-дифференциальные уравнения высокого порядка.

Заметим также что R. E. Showalter и Н. А. Сидоров независимо друг от друга рассматривали начальную задачу

Lx(0) = Lxq (7)

для уравнений соболевского типа первого порядка, где L — вырожденный оператор при производной. Перекликаются с этой постановкой результаты данной работы при исследовании вырожденного уравнения с начальным условием (2) при S = Р (см. выше). В задачах, в которых пространство вырождения шире, чем ядро оператора L, естественным является именно такое начальное условие, оно названо здесь обобщённым условием Шоуолтера — Сидорова. Это условие эквивалентно условию Шоуолтера — Сидорова (7) в случае, когда оператор L не имеет М-присоединенных векторов.

В работах В. Н. Врагова и его учеников исследуется разрешимость начально-краевых задач для неклассических уравнений в частных производных, в том числе и уравнений соболевского типа. Отметим работы А. И. Кожанова, который исследовал однозначную разрешимость ряда начально-краевых задач для различных классов линейных и нелинейных уравнений составного, а также соболевского типа, в том числе высокого порядка.

Работы Г. В. Демиденко и С. В. Успенского содержат изложение результатов, касающихся уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешённых относительно старшей производной по времени. В частности, с использованием методов построения приближенных решений и получения Lp-оценок решений изучены задача Коши и смешанные краевые задачи в четверти пространства для уравнений и систем уравнений соболевского типа.

Спектральная задача fiLu = Ми, тесно связанная с линейным уравнением (1) (N = 0), исследовалась в работах А. А. Шкаликова, С. Г. Пяткова, И. Е. Егорова, C. В. Попова.

Многочисленные неклассические уравнения и системы уравнений математической физики, в том числе и соболевского типа, рассматриваются в работах А. Г. Свешникова, М. О. Корпусова, А. Б. Альшина. Помимо вывода уравнений, описывающих различные процессы в теории полупроводников, теории плазмы и др., эти работы содержат качественное и численное исследование начально-краевых задач для таких уравнений, в том числе условия разрушения их решений. Многие работы при этом касаются уравнений с нелинейным оператором при старшей производной по времени.

Отметим также работы И. А. Шишмарева, Е. И. Кайкиной, П. И. Наумки-на, касающиеся нелинейных уравнений соболевского типа, работы В. Г. Звяги-

на, В. П. Орлова, М. В. Турбина о системах уравнений динамики вязкоупругих и термовязкоупругих сред целого порядка по времени.

Для уравнений первого порядка вида (1) в линейном случае результаты о разрешимости получены в работах Г. А. Свиридюка, В. Е. Федорова, в полулинейном случае с нелинейностью, зависящей лишь от фазовой переменной, — в работах Т. Г. Сукачевой. Неполное уравнение второго порядка Lx^²>{t) = Mx{t) +N{x) исследовалось А. А. Замышляевой, Е. В. Бычковым.

В современной математике теория оптимального управления является очень важной частью. Сфера её применения постоянно расширяется, начиная от исследования экономических моделей и заканчивая математическими моделями в физике. Бурное развитие теории управления системами с сосредоточенными параметрами во многом связано с использованием принципа максимума Л. С. Понтрягина. Различные аспекты теории оптимального управления получили свое развитие в работах Р. В. Гамкрелидзе, В. А. Якубовича, А. Д. Иоффе, В. И. Благодатских, Ф. П. Васильева и др.

Нельзя не отметить огромное влияние на современную теорию управления динамическими системами научной школы Н. Н. Красовского (см., например, работы Ю. С. Осипова, А. И. Субботина, В. Н. Ушакова, А. Г. Ченцова,

A. Б. Куржанского, А. В. Кряжимского, Н. Н. Субботиной, А. И. Короткого,

B. И. Максимова, Н. Ю. Лукоянова), в которой получены фундаментальные
результаты о задачах управления динамическими, стохастическими система
ми, управления и наблюдения при наличии помех, развита теория дифферен
циальных игр, метод динамических обратных задач.

Задачи управления для систем вида (1) первого порядка с вырожденным оператором L в случае конечномерных пространств X, У, Ы часто возникают при моделировании различных процессов в механике и технике. При этом соответствующая система уравнений часто называется дескрипторной (см. работы D. G. Luenberger, D. Cobb). P. C. Miiller отмечает, что в общем случае управление дескрипторными системами осуществляется не только функцией управления, но и её производными. Разрешимость дескрипторных систем и задачи управления для них исследуют в своих работах L. Pandolfi, Г. А. Курина, Ю. Е. Бояринцев, В. Ф. Чистяков, М. В. Булатов, А. Ю. Щеглова, F. L. Lewis.

В то же время для эффективного управления многими системами реальные объекты управления необходимо рассматривать как объекты с распределёнными параметрами. Возникают задачи оптимального управления для систем, состояние которых описывается дифференциальными уравнениями в частных производных, функционально-дифференциальными или интегральными уравнениями — распределённых или, по-другому, бесконечномерных систем.

На теорию оптимального управления распределёнными системами значительное влияние оказали работы Ж.-Л. Лионса. Им исследованы различные задачи оптимального управления для систем, описываемых корректными краевыми задачами для дифференциальных уравнений в частных производных: эллиптических, гиперболических, параболических, корректных по Петровскому. Отметим также монографии таких авторов, как X. Li, J. Yong, H. O. Fatto-rini, I. Lasiecka, R. Triggiani, A. Bensoussan, G. Da Prato, M. C. Delfour, S. K. Mit-ter, также посвященные задачам управления для распределённых систем, опи-

сываемых, как правило, корректными начально-краевыми задачами для уравнений в частных производных, функционально-дифференциальных или интегральных уравнений, линейных и нелинейных.

Отметим, что задачи оптимального управления для одного класса уравнений вида (1) первого порядка с нелинейностью, зависящей только от фазовой переменной, рассматривались Н. А. Манаковой в случае слабого вырождения с использованием понятия слабого решения. Некоторые задачи управления для систем, описываемых линейным вырожденным уравнением первого порядка в банаховом пространстве, рассматривались в работах Г. А. Свири-дюка, А. А. Ефремова, аналогичные задачи для уравнений второго порядка изучались А. А. Замышляевой, О. Н. Цыпленковой.

А. В. Фурсиковым³ исследуются задачи оптимального управления для распределённых систем, описываемых некорректными краевыми задачами. В этом случае невозможна ситуация, при которой для исследования задачи оптимального управления состояние системы выражается через управление, и функционал стоимости становится зависящим лишь от функции управления. Доказательство существования решения в таких задачах оптимального управления опирается на свойства функционала, в частности, на коэрцитивность, а также условия нетривиальности множества допустимых пар и компактности (в нелинейном случае). Задача (1), (2) с вырожденным оператором L даже в линейном случае является некорректной. Этот факт во многом определил выбор методов исследования задач оптимального управления вида (3)–(6) в данной работе, близких к методам работ А. В. Фурсикова.

Управление распределёнными системами, описываемыми дробными дифференциальными уравнениями, является перспективной ветвью развития теории управления, в том числе с точки зрения математического моделирования и прикладных задач, однако работ по этой тематике пока немного (см., например, работы O. P. Agrawal⁴ J. Wang⁵ и ссылки там же). Одной из целей данной диссертационной работы является частичное восполнение этого пробела.

Цели и задачи. Основными целями и задачами диссертационной работы являются:

исследование локальной однозначной разрешимости в классическом смысле начальных задач для линейных и нелинейных уравнений, не разрешённых относительно дробной производной по выделенной переменной;

исследование однозначной разрешимости в классе сильных решений на заданном интервале начальных задач для линейных и нелинейных уравнений, не разрешённых относительно дробной производной по выделенной переменной;

получение условий однозначной разрешимости в классическом и сильном смысле начально-краевых задач для некоторых классов уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешённых относительно

³Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределёнными системами. Теория и приложения. Новосибирск: Науч. кн., 1999.

⁴Agrawal O. P. A quadratic numerical scheme for fractional optimal control problems // Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control. 2008. Vol. 130, no. 1. P. 011010.

⁵Wang J. Time optimal control problem of a class of fractional distributed systems // International Journal of Dynamical Systems and Differential Equations. 2011. Vol. 3, no. 3. P. 363–382.

дробной производной по времени;

вывод условий разрешимости задач с распределённым управлением для систем, состояние которых описывается операторными дифференциальными уравнениями в банаховых пространствах, не разрешёнными относительно дробной производной по выделенной переменной;

исследование разрешимости задач стартового управления для рассматриваемых классов уравнений;

применение описанных абстрактных результатов для исследования разрешимости различных задач управления для уравнений и систем уравнений в частных производных с дробной производной по времени;

перенос всех результатов на случай уравнений с производной по выделенной переменной целого высокого порядка и задач управления для соответствующих систем.

Научная новизна. В ходе работы были получены условия однозначной разрешимости в смысле классических, а также в смысле сильных решений задачи Коши и обощённой задачи Шоуолтера — Сидорова для некоторых классов полулинейных уравнений дробного порядка в банаховых пространствах, как невырожденных, так и не разрешимых относительно дробной производной по времени. Проведенные исследования позволили также получить теоремы о существовании и единственности решения начальных задач для вырожденных и невырожденных полулинейных уравнений высокого порядка.

Кроме того, в диссертационной работе изучены вопросы разрешимости задач оптимального управления для систем, описываемых линейными и полулинейными эволюционными уравнениями дробного порядка, как разрешёнными относительно дробной производной, так и вырожденными. В задачах рассмотрены различные функционалы стоимости: компромиссные и не зависящие от функции управления, представляющие собой степени норм функций состояния системы и управления в различных функциональных пространствах, терминальные функционалы. Исследованы различные типы управления: распределённое, стартовое, жёсткое (без учета затрат на управление). Для систем управления, состояние которых описывается линейными уравнениями, найдены достаточные условия единственности оптимального управления.

Абстрактные результаты использованы для исследования разрешимости ряда начально-краевых задач для некоторых классов уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешённых относительно дробной или целой старшей производной по времени, а также задач оптимального управления для систем, состояние которых описывается такими начально-краевыми задачами.

Все результаты работы являются новыми. Отметим, что для уравнений, составляющих главный объект интереса в данной работе, — полулинейных эволюционных уравнений c вырожденным оператором при дробной производной начальные задачи и задачи оптимального управления, по-видимому, вообще не рассматривались другими авторами. То же касается задач оптимального управления для линейных вырожденных эволюционных уравнений дробного порядка.

Теоретическая и практическая значимость работы. Практическая значимость и существенность теоретических выводов работы подтверждается уже тем фактом, что полученные абстрактные результаты об однозначной разрешимости начальных задач для эволюционных уравнений дробного порядка в банаховых пространствах использованы в данной работе при доказательстве существования единственного решения для ряда начально-краевых задач для различных уравнений в частных производных как дробного порядка по времени, так и целого высокого порядка. Кроме того, эти результаты используются для исследования разрешимости задач оптимального управления для распределённых систем, описываемых соответствующими начальными или начально-краевыми задачами для изученных классов уравнений.

Полученные результаты вносят вклад в развитие теории дифференциальных уравнений и оптимального управления. В то же время они могут быть использованы при решении прикладных задач: для корректного выбора постановки и параметров задачи, для разработки численных методов решения задач и т. д.

Методология и методы исследования. Полученные в работе результаты можно разделить на две части — об однозначной разрешимости начально-краевых задач и о разрешимости задач оптимального управления для уравнений с дробной производной по времени. В первой части исследование наряду с традиционными методами, основанными на принципе сжимающего отображения и свойствах функции Миттаг-Лёффлера, существенным образом опирается на теорию разрешающих семейств операторов вырожденных эволюционных уравнений. Условие (L, ^-ограниченности оператора М⁶, используемое при рассмотрении вырожденного уравнения в банаховом пространстве, не разрешённого относительно дробной производной по времени, достаточно для существования аналитического разрешающего семейства операторов линейного вырожденного эволюционного уравнения дробного порядка D"Lu(t) = Mu(t). Для построения разрешающих операторов в случае уравнения дробного порядка, как оказалось, можно использовать аналогичные используемым в теории вырожденных полугрупп операторов⁶ конструкции — контурный интеграл вокруг области, содержащей весь L-спектр оператора М, от его правой или левой L-резольвенты, умноженной уже не на экспоненту, как в случае уравнения первого порядка, а на функцию Миттаг-Лёффлера. При t = 0 такие интегралы дают проекторы, с помощью которых вырожденное уравнение заменяется на систему двух уравнений на взаимно дополнительных подпространствах, одно из которых невырожденное, а второе имеет нильпотентный оператор при дробной производной.

Исследования нелинейного вырожденного уравнения используют один из двух типов условий: предполагается, что образ нелинейного оператора лежит в подпространстве, гомеоморфном фазовому пространству соответствующего линейного однородного уравнения, либо нелинейный оператор зависит лишь от проекций искомой функции и её производных на фазовое пространство.

Часть работы, посвященная задачам оптимального управления, опирает-

⁶Sviridyuk G. A., Fedorov V. E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht; Boston: VSP, 2003.

ся на схему исследования, предложенную в монографии А. В. Фурсикова³. В силу нетривиальности ядра оператора L при изучении задач оптимального управления вида (3)-(6) не имеется возможности выразить функцию состояния через функцию управления при произвольном её выборе. В качестве решения выбирается допустимая пара состояние-управление, минимизирующая выпуклый, ограниченный снизу, полунепрерывный снизу, коэрцитивный функционал стоимости. В работе формулируются результаты о существовании оптимального управления, касающиеся как задач с абстрактным функционалом с заданными свойствами, так и задач с конкретными целевыми функционалами, как правило, представляющими собой степени норм в пространствах Лебега, Соболева и в некоторых других функциональных пространствах. В тех случаях, когда функционал в задачах с линейным уравнением состояния является строго выпуклым в соответствующих пространствах, удается показать единственность решения.

Положения выносимые на защиту

1. Найдены условия однозначной разрешимости задач с условием Коши или c обобщённым условием Шоуолтера — Сидорова для некоторых классов линейных и полулинейных уравнений в банаховых пространствах с вырожденным оператором при дробной производной Герасимова — Капуто, а также разрешимых относительно этой производной. Рассматриваются классические и сильные решения.

2. Доказаны теоремы о существовании и единственности классических и сильных решений начальных задач с условием Коши или обобщённым условием Шоуолтера — Сидорова для некоторых классов линейных и полулинейных уравнений в банаховых пространствах с вырожденным оператором при старшей производной целого порядка.

3. На основе общих результатов получены условия однозначной разрешимости начально-краевых задач для различных линейных и нелинейных уравнений и систем уравнений в частных производных дробного или высокого порядка по времени, встречающихся при математическом моделировании в естественных и технических науках.

4. Исследованы задачи оптимального управления системами, состояние которых описывается уравнениями в банаховых пространствах указанных классов, с различными функционалами стоимости. Рассмотрены задачи с распределённым, стартовым управлением, задачи жёсткого управления (без учета затрат на управление). Получены теоремы о существовании решения. В задачах с линейным уравнением состояния найдены достаточные условия единственности решения.

5. С помощью результатов для задач управления в банаховых пространствах доказаны теоремы о разрешимости ряда задач оптимального управления распределёнными системами, описываемыми начально-краевыми задачами для линейных и нелинейных уравнений и систем уравнений в частных производных дробного и высокого порядка по времени.

Степень достоверности и апробация результатов. Обоснованность и достоверность полученных результатов обусловлена математической строго-

стью методов исследования и корректным использованием математического аппарата, адекватностью рассматриваемых моделей.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах лаборатории дифференциальных и разностных уравнений Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН (рук. д.ф.-м.н., проф. А. И. Кожанов), кафедры математического анализа Челябинского государственного университета (рук. д.ф.-м.н., проф. В. Е. Федоров), на конференциях:

International Conference «Boundary Value Problems and Related Topics», Hejnice, Czech Republic, 2007 г.; Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам., Суздаль, 2008 г.; Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна, Воронеж, 2010; Международная научно-техническая конференция «Физика и технические приложения волновых процессов», Челябинск, 2010 г.; Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященная 90-летию со дня рождения академика Н. Н. Яненко, Новосибирск, 2011 г.; Международная конференция «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», Екатеринбург, 2011 г.; Международная конференция «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений», посвященная 105-летию со дня рождения С. Л. Соболева, Новосибирск, 2013 г.; Международная конференция «Нелинейные уравнения и комплексный анализ» памяти академика А. М. Ильина, Банное, Башкортостан, 2014 г.; Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2014 г.; 5th International Conference on Nonlinear Science and Complexity , Xi’an Jiaotong University, Xi’an, China, 2014 г.; International Conference «PDE’s Inverse Problems and Control Theory» in memory of Alfredo Lorenzi, Universita di Bologna, Bologna, 2014 г.; Международная конференция, «Дифференциальные уравнения и математическое моделирование», посвященная 70-летию со дня рождения В. Н. Врагова, г. Улан-Удэ, 2015 г.; International Conference «Mathematical and Computational Modelling in Science and Technology», Izmir, Turkey, 2015 г.; Международная конференция «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах», г. Челябинск, 2015 г.; Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2016 г.; 3rd International Conference on Analysis and Applied Mathematics, Алма-Ата, Казахстан, 2016 г.; International Conference «Systems Analysis: Modeling and Control» in memory of Academician Arkady Kryazhimskiy, Ekaterinburg, Russia, 2016 г.; Международная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и физики», Нальчик, 2017 г.

Публикации

Результаты диссертации достаточно полно отражены в 34 научных работах, из которых 23 опубликованы в журналах, входящих в Перечень рецензируемых научных изданий списка ВАК ([7-17, 19-23]) или приравнены к ним, поскольку входят в издания, индексируемые международными реферативными базами данных и системами цитирования Web of Science и/или Scopus [1-6, 18]. Кроме того, работы [24-29, 31-34] проиндексированы в международной базе данных MathSciNet. Из работы [9] в диссертацию вошла теорема о раз-

решимости линейного неоднородного уравнения с дробной производной. В работах [11, 16-23] В. Е. Федорову принадлежит постановка задач, результаты получены М. В. Плехановой лично. В монографии [30] результаты автора диссертации представлены 1-3 главами, посвященными начальным задачам и задачам оптимального управления для вырожденных уравнений. В работах [14, 15, 27, 32, 33] автором диссертации разработаны методы исследования задач оптимального управления как для операторных уравнений, так и для систем уравнений в частных производных. В работе [27] М. В. Плехановой проведено исследование абстрактного уравнения. В работах [10, 13, 26, 28] результаты диссертации использованы при численном исследовании некоторых систем в частных производных.

Структура и объем работы

Дополнительная гладкость решений

Работы А. В. Фурсикова [142,143] посвящены исследованию задач оптимального управления для распределённых систем, описываемых некорректными краевыми задачами. В этом случае невозможна ситуация, при которой для исследования задачи оптимального управления состояние системы выражается через управление, и функционал стоимости становится зависящим лишь от функции управления. Доказательство существования решения в таких задачах оптимального управления опирается на свойства функционала, в частности, на коэрцитивность, а также условия нетривиальности допустимых пар и компактности (в нелинейном случае).

Задача (1), (2) с вырожденным оператором L даже в линейном случае является некорректной. Этот факт во многом определил выбор методов исследования задач оптимального управления вида (3)-(6) в данной работе, близких к методам работ [142,143].

Управление распределёнными системами, описываемыми дробными дифференциальными уравнениями, является перспективной ветвью развития теории управления, в том числе с точки зрения математического моделирования и прикладных задач, однако работ по этой тематике пока немного, см., например, [156,254] и ссылки там. Одной из целей данной диссертационной работы является частичное восполнение этого пробела.

Научная новизна

В ходе работы были получены условия однозначной разрешимости в смысле классических, а также в смысле сильных решений начальных задач Коши и Шоуолтера — Сидорова для некоторых классов полулинейных уравнений дробного порядка в банаховых пространствах, как невырожденных, так и не разрешимых относительно дробной производной по времени. Проведенные исследования позволили также получить теоремы о существовании и единственности решения начальных задач для вырожденных и невырожденных полулинейных уравнений высокого порядка.

Кроме того, в диссертационной работе изучены вопросы разрешимости задач оптимального управления для систем, описываемых линейными и полулинейными эволюционными уравнениями дробного порядка, как разрешёнными относительно дробной производной, так и вырожденными. В задачах рассмотрены различные функционалы стоимости: компромиссные и не зависящие от функции управления, представляющие собой степени норм функций состояния системы и управления в различных функциональных пространствах, терминальные функционалы. Исследованы различные типы управления: распределённое, стартовое, жёсткое (без учета затрат на управление). Для систем управления, состояние которых описывается линейными уравнениями, найдены достаточные условия единственности оптимального управления.

Абстрактные результаты использованы для исследования разрешимости ряда начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешённых относительно дробной или целой старшей производной по времени, а также задач оптимального управления для систем, состояние которых описывается такими начально-краевыми задачами.

Все результаты работы являются новыми. Отметим, что для полулинейных вырожденных эволюционных уравнений дробного порядка начальные задачи и задачи оптимального управления, по-видимому, вообще не рассматривались другими авторами. То же касается задач оптимального управления для линейных вырожденных эволюционных уравнений дробного порядка.

Во введении к каждой главе содержится подробный сравнительный анализ результатов главы с результатами работ других авторов, касающихся близких задач. Теоретическая и практическая значимость работы

Практическая значимость и существенность теоретических выводов работы подтверждается уже тем фактом, что полученные абстрактные результаты об однозначной разрешимости начальных задач для эволюционных уравнений дробного порядка в банаховых пространствах использованы в данной работе при доказательстве существования единственного решения для ряда начально-краевых задач для различных уравнений в частных производных как дробного порядка по времени, так и целого высокого порядка. Кроме того, эти результаты используются для исследования разрешимости задач оптимального управления для распределённых систем, описываемых соответствующими начальными или начально-краевыми задачами для изученных классов уравнений.

Полученные результаты вносят вклад в развитие теории дифференциальных уравнений и оптимального управления. В то же время они могут быть использованы при решении прикладных задач: для корректного выбора постановки и параметров задачи, для разработки численных методов решения задач и т. д..

Методология и методы исследования

Полученные в работе результаты можно разделить на две части — об однозначной разрешимости начально-краевых задач и о разрешимости задач оптимального управления для уравнений с дробной производной по времени. В первой части исследование наряду с традиционными методами, основанными на принципе сжимающего отображения и свойствах функции Миттаг-Лёффлера, существенным образом опирается на теорию разрешающих семейств операторов вырожденных эволюционных уравнений. Условие (L, т)-ограниченности оператора М, используемое при рассмотрении вырожденного уравнения в банаховом пространстве, не разрешённого относительно дробной производной по времени, достаточно для существования аналитического раз 18

решающего семейства операторов линейного вырожденного эволюционного уравнения дробного порядка D Lu(t) = Mu(t). Для построения разрешающих операторов в случае уравнения дробного порядка, как оказалось, можно использовать аналогичные используемым в теории вырожденных полугрупп операторов конструкции — контурный интеграл вокруг области, содержащей весь L-спектр оператора М, от его правой или левой L-резольвенты, умноженной уже не на экспоненту, как в случае уравнения первого порядка, а на функцию Миттаг-Лёффлера. При t = 0 такие интегралы дают проекторы, с помощью которых вырожденное уравнение заменяется на систему двух уравнений на взаимно дополнительных подпространствах, одно из которых невырожденное, а второе имеет нильпотентный оператор при дробной производной.

Исследования нелинейного вырожденного уравнения используют один из двух типов условий: либо предполагается, что образ нелинейного оператора лежит в подпространстве, гомеоморфном фазовому пространству соответствующего линейного однородного уравнения, либо нелинейный оператор зависит лишь от проекций искомой функции и её производных на фазовое пространство. В работе рассмотрены уравнения типа (1) с левыми частями видов LDfu{t) и D Lu{t) и подчеркнуто различие в определениях решения для таких уравнений и соответственно — в формулировках теорем однозначной разрешимости для них.

Вырожденное линейное неоднородное уравнение

По структуре эта глава похожа на предыдущую, если не считать отсутствия вспомогательных разделов, обусловленное тем, что 1.1, 1.2, 1.6 в предыдущей главе являются общими для всей работы. Кроме того, данная глава не содержит аналога параграфа 1.10. Цель главы — поиск условий существования и единственности начальных задач для вырожденных эволюционных уравнений дробного и высокого порядка, но не в смысле локальных классических решений, как в предыдущей главе, а в смысле сильных решений на заданном интервале (to,T). Именно такие решения представляют интерес с точки зрения исследования задач оптимального управления в главах 4, 5.

К сказанному во введении к первой главе добавим, что в одномерном и конечномерном случае разрешимость почти всюду на отрезке для невырожденных полулинейных уравнений с дробной производной Римана — Ли-увилля исследовались в работах [163], [199, гл. 3], см. также обзорные работы [200,201]. Вопросы существования и единственности сильных решений задачи Коши для нелинейных эволюционных уравнений первого порядка в банаховых пространствах, разрешённых относительно производной, исследовались в монографии [237].

В 2.1 получено решение задачи Коши для линейного уравнения в банаховом пространстве Z D"z(t) = Az(t) + f{t), разрешённого относительно производной Герасимова — Капуто D z, и доказана его единственность. При этом использована теорема 1.1.1 (i) о диффе-ренцируемости почти всюду интеграла с переменным верхним пределом, а также некоторые свойства пространств Соболева банаховозначных функций, коротко описанные в 1.1. В отличие от аналогичного результата первой главы здесь потребовалось проверить принадлежность почти всюду на (to,T) существующей производной пространству Лебега Lq(to,T;Z), при этом ис 86 пользуются более мягкие условия на функцию / в правой части уравнения. Для однозначной разрешимости задачи Коши для полулинейного уравнения D z(t) = Az(t) + B(t, z(t), z (t),..., z m ()), (2-1) разрешённого относительно производной, в 2.2 используется условие равномерной липшицевости нелинейного оператора В. В таком случае для для выполнения оценки подлинейного роста, гарантирующей действие оператора В из (Lq(to,T; Z))m в Lq(to,T;Z), достаточно потребовать, чтобы при некотором v = (г о,г і,... ,г т-і) Є Zm выполнялось включение B(-,v) Є Lq(to,T;Z). Как и в первой главе, показано, что начальная задача эквивалентна интегро-дифференциальному уравнению типа уравнения Вольтерра второго рода. Для оператора из правой части этого уравнения затем доказывается, что его некоторая степень является сжатием и поэтому уравнение имеет единственное решение, которое и является единственным решением задачи Коши для полулинейного уравнения дробного порядка (2.1). Существенное отличие от первой главы состоит в том, что теперь величина отрезка [ о,?1] существования решения фиксирована, её нельзя уменьшать, поэтому сжимающим получается не сам оператор, а его достаточно большая степень.

В 2.3 доказаны теоремы о дополнительной гладкости решения, используемые далее при исследовании вырожденных уравнений. Отличие этих утверждений от аналогичных теорем из 1.5 состоит в том, что для рассмотрения в дальнейшем задач оптимального управления в случае, когда от оператора В требуется некоторая гладкость, например, принадлежность пространству Cn([to,T];C(Z)), возникает необходимость рассмотрения уравнения с правой частью B(t, z(t), z l (t),... , z m 1 ) + f(t), где на функцию /, в задачах оптимального управления играющую роль слагаемого с функцией управления, налагаются по возможности минимальные требования гладкости, например, / Є Lq(to,T;Z) или хотя бы / Є Wq(to,T;Z).

Четвёртый параграф посвящен установлению условий однозначной разрешимости в смысле сильных решений начальных задач для вырожденного линейного эволюционного уравнения DfLx{t) = Mx(t) + f{t). По сравнению с аналогичными условиями существования и единственности классического решения из первой главы в данном случае потребовалась тщательная работа с условиями приналежности функции / и связанных с нею выражений различным функциональным пространствам.

В 2.5, 2.6 доказаны результаты об однозначной разрешимости начальных задач Коши и Шоуолтера — Сидорова для полулинейного эволюционного уравнения

D Lx{t) = Mx{t) + Nit, x{t), яг \t),..., x r it)) + fit) (2-2) с вырожденным оператором L при дробной производной Герасимова — Ка-путо и (L, -ограниченным оператором М в двух случаях — когда р = О и нелинейный оператор N не зависит от проекций фазовых переменных на подпространство вырождения Х (2.5), и когда образ нелинейного оператора N лежит в подпространстве У1, при произвольном р Є No (2.6). Структура этих разделов аналогична структуре параграфов 1.8, 1.9 из первой главы, главное же и принципиальное отличие заключается в том, что в данной главе от нелинейного оператора QN, где Q — проектор на подпространство У1, требуется равномерная липшицевость по фазовым переменным. Это позволяет доказать существование нелокальных решений.

Параграф 2.7 содержит результаты о существовании и единственности сильного решения начальных задач для вырожденного линейного эволюционного уравнения целого порядка. По сравнению с 2.4 здесь использованы преимущества дифференциальных операторов целого порядка перед дробными дифференциальными операторами для упрощения условий на функцию / в уравнении и придания тем самым теоремам об однозначной разрешимости более удобного вида.

Уравнения с многочленами многих переменных от операторов дифференцирования

В остальном структура параграфов 3.4, 3.5 сходна со структурой 3.1-3.3. В 3.4 получены условия существования единственного локального классического по t решения описанных в предыдущем абзаце начально-краевых задач с нелинейными операторами д(у, P2(Dx)w(y,t),..., D P2(Dx)w(y, t)) и P2(Dx)g(y, w(y,t), Dlw(y, ),..., D w(y,t)) и с начальными условиями Коши, либо условиями (3.2) c / (Аг) вместо Рп(А). В параграфе 3.5 всё то же сделано для сильных по t на (to,T) решений таких же задач.

Далее глава содержит множество примеров начально-краевых задач для конкретных уравнений в частных производных, не разрешённые относительно старшей производной по времени дробного или целого порядка. Многие из них рассматривались в разных ситуациях различными авторами. Большая часть из этих уравнений в случае целого порядка по времени получена и исследована в работах М. О. Корпусова, А. Г. Свешникова и их соавторов [84], многие такие уравнения и системы могут быть найдены, например, в монографии Г. В. Демиденко, С. В. Успенского [27], где для них в случае целого порядка по времени исследовались начально-краевые задачи во всём пространстве, в полупространстве. Автор данной работы не претендует на абсолютную новизну соответствующих результатов, однако именно для уравнений с дробной производной по времени представленные здесь результаты, как правило, являются новыми. В некоторых случаях, в том числе и для уравнений целого порядка, новизна состоит и в рассмотрении новой ситуации, когда оператор при производной по времени является вырожденным, как это сделано в случае уравнения Аллера и для ряда уравнений в параграфах 3.8, 3.9. В случае системы уравнений динамики жидкости Кельвина — Фойгта новизна представленных здесь результатов заключается также в получении условий существования и единственности классических по времени решений, в том время, как в работах А. П. Осколкова [100-102], В. Г. Звягина, М. В. Турбина [36] в случае систем целого порядка по времени доказывается существование обобщённых решений по всем переменным, включая время.

В 3.6 рассмотрены начально-краевых задачи для некоторых уравне 121 ний, не разрешённых, но разрешимых относительно дробной производной. Их локальная однозначная разрешимость в классическом смысле доказана с помощью теоремы 1.4.1 для уравнения, разрешённого относительно производной. Уравнение Аллера дробного порядка по времени исследовано в 3.7. Для него в одномерном случае рассмотрена периодическая на отрезке задача с условиями Коши в вырожденном и невырожденном случаях.

Параграф 3.8 содержит исследование однозначной разрешимости начально-краевых задач с начальными условиями различных типов для ряда нелинейных уравнений с вырожденным оператором при дробной производной по времени. Здесь оказалась полезной заложенная в используемом методе возможность изменения оператора М в уравнении за счёт изменения оператора N для того, чтобы выполнялось условие (L, -ограниченности оператора М. В 3.9 обсуждаются условия однозначной разрешимости начально-краевых задач для линейных уравнений, не разрешимых относительно дробной производной по времени. Проведён анализ также нескольких примеров, в которых используемые методы не позволяют достичь результата.

В параграфе 3.10 получены условия существования единственного сильного решения на заданном временном отрезке начально-краевой задачи для системы гравитационно-гироскопических волн дробного порядка по времени. Отметим, что предложенная здесь редукция начально-краевой задачи для системы уравнений в частных производных к задаче Шоуолтера — Сидорова для вырожденного эволюционного уравнения (3.1) в банаховом пространстве является новой и в работах других авторов не встречается.

Уравнение дробного порядка, задающее реологическое соотношение для некоторых вязкоупругих жидкостей или тел, исследовалось многими авторами (см. [197,220] и др.). Но содержащееся в 3.11 исследование касается системы уравнений динамики вязкоупругого тела Кельвина — Фойгта порядка 0 (в смысле реологического соотношения) в предположении, что она описывается производной по времени (от скорости) того же порядка а, что используется в реологическом соотношении. Начально-краевая задача для такой системы редуцирована к задаче Шоуолтера — Сидорова для вырожденного полулинейного уравнения (3.1) в банаховом пространстве. Аналогичная редукция использовалась в некоторых работах В. Е. Федорова и его соавторов при рассмотрении линеаризованной системы уравнений (см., например, [140,268]). Отметим, что близкая по форме, но принципиально другая редукция начально-краевых задач для систем целого порядка по времени уравнений динамики вязкоупругих жидкостей Кельвина — Фойгта к начальной задаче для уравнения (3.1) используется в работах Т. Г. Сука-чевой [126, 127] и некоторых других авторов. Ими уравнение несжимаемости описывается в операторном виде и, таким образом, не используется идея О. А. Ладыженской [80] поиска функции скорости в подпространстве солено-идальных вектор-функций, что автоматически учитывает это уравнение. В результате такого подхода пространства X и У в [126,127] получаются шире за счет расширения подпространства вырождения, по сути искусственного.

О новизне полученных результатов параграфа 3.12, касающихся начально-краевой задачи для системы уравнений динамики жидкости Кельвина — Фойгта порядка 1 в смысле реологического соотношения, сказано выше. Отметим здесь, что предложенная нетривиальная редукция этой задачи к задаче Шоуолтера — Сидорова для вырожденного полулинейного уравнения (3.1) высокого порядка в банаховом пространстве является оригинальной и другими авторами не использовалась.

Распределённое управление для линейного невырожденного уравнения дробного порядка

В параграфах 4.6, 4.7 исследуются собственно нелинейные задачи (4.8)-(4.11) с дробным а. При этом дополнительно предполагается, что рефлексивное банахово пространство X компактно вложено в рефлексивное банахово пространство Х\. Это позволяет использовать полученный выше результат о компактном вложении Wq(to,T;X) в Wq+1(to,T;Xi). С этой целью для уравнений дробного порядка а приходится исключать из рассмотрений случай г = m — 1, что приводит к ограничению снизу на порядок уравнения: a 1, так как должно выполняться неравенство т — 2 0. При г = 0 формулировки полученных результатов имеют гораздо более простой вид, и в главе 5 именно они в основном используются при рассмотрении задач оптимального управления для систем, описываемых начально-краевыми задачами для конкретных уравнений и систем уравнений в частных производных. Поэтому соответствующие случаю г = 0 результаты выделены в отдельный параграф 4.6. В 4.7 рассматривается случаи г Є {1, 2,..., т—2} (при этом т — 2 1, поэтому возникает ограничение а 2). В целом задачи оптимального управления рассмотрены для различных классов нелинейных уравнений вида (4.8), однозначная разрешимость начальных задач для которых исследована в смысле сильных решений во второй главе. Помимо этого, как и в невырожденном случае, рассмотрена ситуация, в которой каратеодо-риевость и равномерная липшицевость по фазовым переменным нелинейного оператора N заменяется на непрерывность по совокупности всех переменных и локальную липшицевость по фазовым переменным, равномерную по t, этого оператора при условии существования решения задачи (4.8), (4.9) хотя бы при одном допустимом управлении. Это позволяет, например, исследовать задачи управления для систем уравнений со степенной нелинейностью (см. 5.5).

Отметим, что при доказательстве коэрцитивности функционалов в рассматриваемых задачах приходится оценивать норму значения нелинейного оператора N на решении уравнения. Делается это с использованием равномерной липшицевости N или его непрерывности по совокупности переменных.

Абстрактные результаты параграфов 4.6, 4.7 использованы для доказательства разрешимости задач оптимального управления с функционалами J(Z,U) = \\Z — Zd\\c - {[t0,T]]X) + \\Щ Х ll 2ag(t0,T;AO+ HM — UdWLq(t0,T;U) J„(z, u) = \\z — Zd\uMmU rp VN + 6\\u — lull /+ т — inf (4.12) ч її "и w ito,! ;л) и u,"Lq[to,l ;U) при 6 0. В последнем случае на данные задачи накладываются допол 173 нительные условия, гарантирующие существование решения из W(to,T; X) задачи (4.8), (4.9) при некотором щ Є IAQ.

В 4.8 исследована задача (4.8)–(4.11) для нелинейного уравнения при целом а = т. При этом формулировки некоторых полученных в предыдущем параграфе результатов допускают упрощение, как и в главе 2 для начальных задач для уравнений целого порядка. Задача с функционалом (4.12) в данном случае, естественно, не требует дополнительных условий, о которых говорится в предыдущем абзаце, так как самим пространством состояний в этом случае является W(to,T; X). Этот факт позволяет также рассматривать случай г = т — 1 для уравнений целого порядка.

В параграфах 4.9-4.15 проведено исследование задач стартового управления LDfx(t) = Mx(t) + N(t, x(t), яг (t),..., x r ()), (4-13) (Pxp (to) = Uk, к = 0,1... ,m — 1, (4-14) и = (щ,щ,..., um-\) Є Ые, (4-15) J(x,u) — inf, (4.16) в которых управление осуществляется за счёт выбора начальных данных щ,щ,... ,ит-і в управляемой системе. В целом идеи и результаты исследования задач стартового управления аналогичны изложенным для задач с распределённым управлением с той разницей, что другая природа управления приводит к выбору другого пространства Ы функций управления и дру-гой зависимости от и в функционалах стоимости — в виде 5 \\щ — UdkWx. В 4.9 рассмотрен невырожденный линейный случай: X = У, L = /, N(t, z(t), z l (t),..., z m l (t)) = f(t), P = І в (4.13)–(4.16) при дробном и при целом а. Параграф 4.10 посвящён исследованию разрешимости задач стартового управления для невырожденного нелинейного уравнения, а в 4.11 изучены такие задачи для нелинейного уравнения целого порядка. В 4.12-4.15 исследованы задачи стартового управления (4.13)–(4.16) для вырожденных уравнений (kerL ф {0}): для линейного уравнения в 4.12 при дробном и целом а, для неполного (г = 0) полулинейного уравнения в 4.13, для полулинейного уравнения с г Є {1,2,... ,m — 2} и с дробным а в 4.14, для нелинейного уравнения целого порядка в 4.15.

В последнем параграфе главы 4 обсуждаются задачи без учёта затрат на управление, называемые ещё задачами жёсткого управления. В них управление может быть распределённым или стартовым, но функционал стоимости напрямую зависит только от функции состояния ж, т. е. 5 = 0 в функционалах (4.5)-(4.7), (4.12) и др. В целом результаты о существовании решения для задач жёсткого управления не отличаются от соответствующих задач с компромиссными функционалами при наличии дополнительного условия ограниченности множества допустимых управлений IAQ в пространстве управлений Ы. Утверждения же о единственности решения для таких задач в линейном случае могу быть доказаны напрямую, что требует некоторых дополнительных условий, например, инъективности оператора В в случае задач с распределённым управлением.

Отметим, что автор в данной главе использует оригинальный подход, начало которому было положено в его кандидатской диссертации при исследовании задач оптимального управления для систем, описываемых вырожденными эволюционными уравнениями первого порядка в банаховых пространствах. Заключается он в редукции задач оптимального управления для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах к общей задаче оптимального управления, линейной или нелинейной, условия разрешимости которой известны. В следующей главе задачи оптимального управления для уравнений в частных производных сводятся к задачам управления для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, которые уже исследованы здесь. Этот подход отличается от другого, при котором к общей задаче оптимального управления сводится каждая конкретная задача для распределённой системы управления (см., например, [142]).