Введение к работе
Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена некоторым вопросам теории дифференциальных включений и теории /правления.
Дифференциальное включение
TeF(t,X) {1)
тредстввляет собой обобщение обыкновенного дифференциального равнения
b=f(t,x) аа случай, когда функция f(i,x) неоднозначна. В теории дифференциальных включений кроме проблем, присущих обыкновенным №ффэренциальннм уравнениям, возникает множество новых проблем, характерных для управляемых систем. Это происходит вследствие того, что из каждой начальной точки выходит уже целое семейство траекторий дифференциального включения.
Развитие теории дифференциальных включений стимулирова
лось потребностью решения важных практических задач управле
ния сложшйяі динамическими системами и во многом в начале
определялось развитием математической теории оптимального
управления, созданной в середине 50-х годов Л.С.Понтрягашм,
В.Г.Болтянским, Р.В.Гамкрелидзе, Е.Ф.Мищенко. ;,
В настоящее время теория дифференциальных включений достаточно хорошо развита. Качественная теория дифференциальных включений развивалась в работах Ю.И.Алимова, Л.Ю.Ана-польского, Дж.Де Блази, А.Брессана, Т.Вахевского, М.Валадье, В.В.Гончарова, Ж.Дэви, С.ЗаремОы, Ш.Кастена, А.Маршо, Дн.Моро, Ч.Олеха, Ж.-П.ООэна, А.И.Панасвка, В.И.Панасша, А.Плис-са, В.А.Плотникова, Дж.Пьянидшани, Г.В.Смирнова, А.А.Толс-тоногова, А.Ф.Филиппова, Х.Хормса, А.Челлшш и др. Отдельное
направление составляют исследования, связанные с решением задач оптимизации траекторий дифференциальных включений. Условия оптимальности для дифференциальных включений отражены в работах В.й.Влагодатских, Ф.Кларка, С.Лоясввича, Л.И.Ыин-ченко, С.Мирики, Ч.Олеха, Е.С.Шловинкина, В.Н.Пшеничного, Т.Рокафеллара, Г.В.Смирнова, Н.Н.Субботиной. А.Ф.Филиппова, Г.Франковской и др.
Вместе с тем некоторые вопроси теории дифференциальных включений исследованы недостаточно полно. К малоизученным вопросам относятся и свойства функции оптимального результата в задаче управления для дифференциального включения, и количественное описание эволюции множества достижимости диф-ференшюльного включения при наличии фазовых ограничений, и численные метода построения мнокества достижимости. Указанные проблемы изучались в работах Ю.Ф.Белова, А.В.Богатырева, В.Вельова, Р.Бинтера, П.Боленски, Ф.Кларка, Г.Н.Константинова, А.В.Куржашкого, А.В.Лотова, О.Й.Никонова, М.С.Никольского, А.Й.Панасюка, Н.К.Петрова, А.И.Субботина, Н.Н.Субботиной, Т.Ф.Филипповой, Г.Франковской, Х.Хермса, М.М.Хрустале-ва, Ф.Л.Черноусько и др.
Настоящая работа посвящена некоторым, из этих многочисленных проблем - необходимым и достаточным условиям оптимальности в задаче быстродействия, описанию эволюции и оценкам множества достижимости да4ференциалыюго включения, а такке построению траекторий, попадающих в заданную точку фазового пространства.за конечное время. Эти же задачи актуальны и для управляемых систем, записываемых в г-ассич'еской. форме
X=f(t,X,U.), VdJ.
В диссертации такке рассматриваются некоторые приложе-
_ 4 -
гош полученных результатов и способ численного ггосгроения множества достижимости с заданной точностью. Поэтому приведенные в диссертационной- работе исследования представляются'актуальными.
Цель работа., Целью работа является получение необходимых и достаточных условий оптимальности в терминах динамического программирования для задачи быстродействия с Фазовыми ограничениями, описание эволюции и получение эффективных оценок множества достижимости даффзреициального включения, а также построение траекторий, попадавших в заданную точку фазового пространства за конечное время.
Методи исследования. Для получения приводимых в диссертации результатов были использованы метода нелинейного и випуклого анализа, теории многозначных функций, качественной теории обшдаовоніікх дифференциальных уравнения и дифференциальных включений, теории управления.
Научная новизна. Полученные в диссертации результаты являются новими. Среди них отметим следующие:
необходимые и достаточные условия оптимальности для задачи быстродействия с фазовыми ограничениями в формо метода динамического ггрограшировашя;
новые способи количественного описания эволюции множества достижимости дифференциального включения с помощью уравнения Гамильтона-Якоби и с помощь» уравнения интегральной воронки;
новые количественные динамические оценки множества,дости-кимости дифференциального включения*,
способ синтеза ограниченных управления, переводящих управляемую систему в заданное состоящие за коночное время;
метод аппроксимации множества достижимости дифференциального включения с заданной точностью.
Теоретическая и. практическая ценность. Подученные в диссертации разультаты могут применяться в теории управления для точного описания и оценивания состояния динамических систем, для проверки оптимальности траекторий и исследования задачи быстроде. твия при наличии фазовых ограничений, для синтеза алгоритмов управления, переводящих систему в заданное состояние. Предложенный в работе4 численный метод построения множества достижимости с заданной точность» может найти применений для решения важной практической задачи моделирования процесса травления в технологии интегральных схем,
Апробация работы. . Результаты диссертации были представлены в докладах Всесоюзной конференции "Управление многосвязными системами" (Тбилиси, 1984), Всесоюзной конференции "Метод функций А.М.Ляпунова в современной математике" (Харьков. 1986), Всесоюзной школы "Оптимальное управление, Геометрия и анализ" (Кемерово, 1986), Всесоюзного совещания "Проблемы оптимизации и управления. данамическю.л системами" (Владивосток, 1986), Семестра по теории дифференциальных включений в Международном математическом центре им.С.Банаха (Варшава, Польша,.1989), а также неоднократно докладывались на семинарах в Московском государственном университете (рук. проф. Никольский Ы.С.) и в Математическом институте йм.В.А.Стеклова РАН (рук. проф. Благодатских В.И.). .
Структура g объем работы. Работа состоит из введения, трех глав, развитых на параграфы, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 184 стр. машинописного текста. Список' литературы состоит из 803 наименований. Имеются 8 иллюстраций.
- б -