Введение к работе
Актуальность темы. Среди нелинейных дифференциальных уравнений очень важный класс составляют дифференциальные уравнения с диссипативными нелинейностями. Изучению таких уравнений посвящены многочисленные исследования, которые ведутся в нескольких направлениях и для различных классов дифференциальных уравнений. Существенный вклад в развитие теории диссипативных уравнений (операторов) внесли М.М.Вайнберг, Ф.Браудер, Т.Като, Р.И.Качуровский, В.М.Чересиз, А.И.Перов и многие другие математики. Определенная часть исследований в области теории диссипативных (монотонных) уравнений с ограниченными коэффициентами подытожена в монографии Ю.В. Трубникова, А.И.Перова.1 Ряд новых результатов и методов исследования полулинейных параболических уравнений в банаховых пространствах с неограниченными коэффициентами изложены в монографии Д.Хенри.2 Важную роль в построении такой теории, которая находит широкое применение в нелинейных уравнениях с частными производными, играют результаты, изложенные в монографиях Ю.Л.Далецкого, М.Г.Крейна3 и Х.Массера и Х.Шеффера.4 Однако для дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами и диссипативными (монотонными) не-
гТрубников Ю.В., Леров А.И.. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями.-Минск: Наука и техника, 1986.-198 с.
2Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. -М.:Мир,1985.-376 с.
3Далецкий Ю.Л.,Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве,-М.:Наука, 1970.-536 с.
*Массера Х.Л., Шеффер X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства.-М.: Мир,1970.- 536 с.
линейностями подробные исследования не проводились.
Цель работы. Исследование существования решений, их единственности, почти периодичности ограниченных решений диссипативных дифференциальных уравнений (как с ограниченными так и неограниченными коэффициентами) в банаховых пространствах. Изучение метода Галеркина для нахождения периодических решений уравнений с диссина-тивными нелинейностями.
Методика исследования. В диссертации используются методы качественной теории дифференциальных уравнений, теории дифференциальных неравенств, методы линейного функционального анализа, теории полугрупп линейных операторов.
Научная новизна. Получено обобщение теоремы Ляпунова на неограниченные секториальные операторы, установлена взаимосвязь условия диссипативности линейного неограниченного оператора с расположением его спектра;
получены новые теоремы о нелокальной разрешимости задачи Коши для абстрактных параболических уравнений с диссипативными нелинейностями;
получены условия существования ограниченных решений и почти периодических решений (а также их оценки) для рассматриваемых дифференциальных уравнений;
в условиях Каратеодори для дифференциальных уравнений с диссипативными нелинейностями получены достаточные условия нелокальной разрешимости задачи Коши;
в условиях сильной диссипативности и при условии ограниченности (почти периодичности) правой части диф-
ференциального уравнения доказано существование ограниченного (почти периодического) решения рассматриваемого дифференциального уравнения. Получены их оценки;
в условиях индефинитной диссипативности получены достаточные условия обратимости линейного дифференциального оператора - ft - A(t) и получены оценки обратного к нему оператора;
дано обоснование метода Галеркина для нахождения периодических решений диссипативных уравнений и получены неасимптотические оценки скорости сходимости галер-кинских приближений.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты могут найти применение при дальнейшем развитии теории дифференциальных уравнений с диссипативными нелинеиностями и, особенно, уравнений с неограниченными коэффициентами.
Апробация работы. Основные результаты докладывались на семинарах кафедры нелинейных колебаний (рук. проф.Баскаков А.Г., проф. Перов А.И.), на семинарах Воронежской зимней математической школы 1975 г., 1979 г., на научных сессиях Воронежского госуниверситета и Восточно-Сибирского государственного технологического университета, на Всесоюзных школах-конференциях по дифференциальным уравнениям и вычислительной математике (г.Улан-Удэ, 1975, 1985 гг.), на семинарах кафедры высшей математики Восточно-Сибирского государственного университета (рук. проф.Шойнжуров Ц.Б.) и на объединенном семинаре кафедр Высшей математики, Прикладной математики и программирования Хабаровского государственного технического уни-
верситета (рук. проф. Зарубин А.Г.).
Публикации. Основные результаты диссертации изложены в девяти работах [1-9], список которых приведен в конце автореферата. Из совместных работ [1,8,9] в диссертацию включены только принадлежащие автору результаты, которые вошли в главу 3.
Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Она изложена на 105 страницах машинописного текста, включая библиографический список из 64 наименований. Нумерация приводимых в автореферате теорем совпадает с нумерацией, принятой в диссертационной работе.