Введение к работе
Актуальность темы. В последние десятилетия широкое раз-питие получила теория некорректных задач. Некорректные задачи связаны с различными прикладными проблемами: интерпретацией показаний физических приборов, геофизических, геологических , астрономических наблюдений, оптимизацией управления и планирования и т.д. Принципы подхода к постановкам некорректных задач, естественные с точки зрения приложений, были впервые высказаны А .Н.Тихоновым и были связаны с обоснованием метода подбора при интерпретации данных геофизических измерений.
Обратные задачи - одно из направлений теории некорректных задач. Обратньши задачами для дифференциальных уравнений принято называть задачи определения коэффициентов дифференциальных уравнений, границы области, граничных или начальных условий по той или иной информации о решениях этих уравнений. Многие важные прикладные вопросы, касающиеся упругих смешений, электромагнитных колебаний, диффузионных процессов приводят к обратным задачам. Причем круг таких проблем постоянно расширяется.
Первые исследования в теории обратных задач связаны с обратными задачами сейсмики. В одномерном случае одна из таких задач впервые была рассмотрена Герглотцем. Теорема единственности решения сложной многомерной задачи для уравнения Шредингера в классе кусочно - аналитических функций впервые была доказана Ю.М. Березанским в начале 50 - х годов. Исследования других многомерных обратных задач впоследствии были проведены М.М. Лаврентьевым, В.Г. Романовым , Ю.Е. Аниконовым , А.И. Прилепко и др.
Вопросы корректности краевых задач, их аппроксимация задачами, содержащими малые параметры, являются одной из важных областей в теории дифференциальных уравнений. Многие задачи механики сплошной среды описываются системами уравнений в частных производных, при изучении которых важную роль, играют их аппроксимации, зависящие от малых параметров. Введение в исходное уравнение добавочных членов, содержащих малый параметр, позволяет улучшить дифференциальные свойства решения, сделать задачу более устойчивой к из-
менениям входных данных, строить более простые и экономичные численные алгоритмы. Первыми по теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной были работы А.Н. Тихонова и И.С. Градштейиа . Е. Хопфом был использован малый параметр при исследовании уравнения переноса. Различные краевые задачи для линейных эллиптических уравнений с малым параметром при старших производных изучались в работах О.А. Олейник , О.А. Ладыженской . Вопрос об аппроксимации системы уравнений течения вязкой несжимаемой жидкости системой уравнений с малым параметром при производной по времени был рассмотрен Н.Н. Владимировой , Б.Г. Кузнецовым, Н.Н. Яненко . Одним из возможных методов исследования систем уравнений параболического типа является их "гиперболическая аппроксимация," т.е. включение в уравнение второй производной по времени с малым параметром є, исследование решений гиперболической задачи и предельный переход при е. При этом часто оказывается, что решение и~ аппроксимирующей гиперболической задачи сходится к решению и исходной параболической задачи. Эти задачи возникают, например, в вычислительной математике, когда при решении различных задач для параболических систем используются трехслойные разностные схемы. Так, при изучении задач фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости в случае линейной модели задача аппроксимации исследована Коноваловым А.Н.
Цель работы. Состоит в постановке и исследовании вопросов корректности обратных задач с малым параметром при старшей производной по времени.
Методика исследования. Связана с применением метода срезок, получением априорных опенок и применении на их основі обших методов решения нелинейных краевых задач.
Научная новизна. В диссертации получены следующие но вые результаты:
-доказана теорема существования и единственности решенш первой краевой задачи для гиперболического уравнения с малы» параметром при старшей производной по времени и неизвестнь»
коэффициентом при первой производной по пространственной переменной;
найдены необходимые условия существования и единственности решения задачи для гиперболического уравнения с малым параметром при старшей производной по времени и неизвестным коэффициентом при второй производной по пространственной переменной в случае граничных условий первого и второго рода;
получена теорема существования и единственности решения гиперболического уравнения с малым параметром при старшей производной по времени и неизвестной функцией источника, зависящей от всех независимых переменных, входящих в уравнение;
изучено поведение решений указанных задач при стремлении малого параметра к нулю.
Теоретическое и практическое значение. Полученные результаты имеют теоретическое значение и могут быть использованы при построении общей теории обратных задач.
Аппробадия работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах " Качественные теории дифференциальных уравнений" института математики им. С.Л. Соболева СО РАН, руководимом Т.И.Зеленяком,теоретическом семинаре под руководством Ю.Е. Аниконова ( института математики им. С.Л. Соболева СО РАН), теоретическом семинаре, руководимом Ю.Я. Беловым, на восьмой международной школе - семинаре " Качественная теория дифференциальных уравнений гидродинамики" (Красноярск , 1992), на Сибирской конференции по неклассическим уравнениям математической физики (Новосибирск, 1995), на Международной конференции" Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов) " (Красноярск, 1997), на международных конференциях: International Conference Advanced Mathematics computations and applications (Novosibirsk, 1995), Inverse and ill - posed problems (Moscow, 1996).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-7].
Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы из 69