Введение к работе
Актуальность темы Теория диффэренциалных игр является сравнительно новым разделом математической теории оптимального управления, связанным с функционированием в условиях конфликта или неопределённости. Первые игровые задачи динамики были исследованы Р.Айзексом с помощью метода динамического программирования. На основе этого метода им было выведено уравнение, которое в дальнейшем получило название уравнения Айзекса-Беллмана.
Существенный прогресс теории детерминированных дифференциальных игр связан прежде всего с именами советских математиков. Крупные результаты в этой области этой теории были получены Л.С.Понт-рягиным, Н.Н.Красовским, Е.Ф.Мищенко, Б.Н.Пшеничным, Ю.С. Осипо-вым, А.И.Субботиным,П. Б.Гусятниковым, Л.А.Петросяном, М.С.Никольским, Н.Ю.Сатимовым, Ф.Л.Черноусько, А.А.Чикрией, А.Б.Куржанским, А.В.Кряжимским, А.Г.Ченцовым и др.
Позиционный подход к дифференциальным играм, разработаный Н.Н.Красовским и его школой, позволяет с помощью принципа экстремального прицеливания решать игровые задачи с точки зрения игрока-союзника без дискриминации противника, в частности, доказать ряд утверждений (в форме альтернатив) о существовании ситуаций равновесия <є-равновесия) в позиционных дифференциальных играх, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений, системами с памятью, эволюционными системами, системами уравнений в частных производных и дифференциально-функциональных уравнений.
Новое направление в теории детерминированных дифференциальных игр изучен в работах М.С.Габриелянэ, В этих работах решена задача сближения-уклонения с несколькими целевыми множествами в различных классах стратегий, имеющие "конечную" память о складовав-
- 4 -шихся до текущего момента ситуаций в отдельные моменты времени, когда порядок встреч с целевыми множествами не фиксирован.
При исследовании стохастических дифференциальных игр возникают сложности, обусловленые трудностями создания конструктивных математических постановок и развития эффективных вспомогательных конструкций в общем случае присутствующего в игре вероятностного процесса с независимыми приращениями.
В последние годы ученными свердловской школы дана новая математическая постановка стохастической позиционной дифференциальной игры, доказано существование цены и седловой точки игры, указана структура оптимальных стратегий, разработан метод стохастического программного синтеза, установлена связь этого метода с другими известными подходами в теории дифференциальных игр.
В настоящей работе рассмотрены стохастические и детерминированные дифференциальные игры с поводырём при нескольких целевых множествах для линейных, собственно-линейных и нелинейных систем в классе стратегий с "конечной" памятью о складовавшихся до текущего момента ситуаций в отдельные моменты времени.
Целью работы является доказательство существования ситуаций равновесия <є-равновесия) и оптимальных стратегий в рассматриваемых дифференциальных играх, а также построение функции цены игры и оптимальных стратегий для линейных и собственно-линейных систем.
Методика исследования состоит б использовании способа управления с поводырем для доказательства альтернативного утверждения при стохастических процедур управлений, в использовании метода стохастического программного синтеза для построения функции цены игры и оптимальных стратегий.
Научная новизна Поставлены и решены новые задачи теории диф-
ференциальных игр при нескольких целевых множествах. Определены новые классы позиционных и программных стратегий с "конечной" памятью о складовавшихся до текущего момента ситуаций в отдельные моменты времени. Введены вспомогательные конструкции, позволяющие построить функцию цены игры и оптимальные стратегии достаточно эффективно для широкого класса детерминированных и стохастических дифференциальных игр.
Апробация работ. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на ежегодных конференциях профессорско-преподавательского состава и аспирантов Ереванского госуниверситета в 1988-1992 гг., на семинарах кафедры теоретической механики в 1988-1992 гг., на семинаре кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа Ереванского госуниверситета в 1993г. на семинаре профессора Н.Б.Енгибаряна при центре математической физики Бюраканской абсерватории.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах с1-5з.
Структура и объем работы. Настоящая диссертационная работа содержит 163 страницы машинописного текста, включающих введение, три главы состоящих из 14 параграфов, заключение и библиографический список, содержащий 80 наименований.