Введение к работе
Актуальность темы.
В диссертации приводятся оценки наименьшего собственного значе-шя задач Штурма-Лиувилля
у"(х)+ХР(х)у(х)=0, (1)
у(0) = у(1) = 0, (2)
іри различных предположениях относительно функции Р(х).
Уравнение вида (1) было предметом изучения многих авторов.
Так, задача (1)-(2) рассматривалась Ю.В. Егоровым и В.А. Кон-фатьевым1,2 при условии
і
Р{х)>0, fpy{x)dx = \ (3)
Гочные оценки снизу наименьшего собственного значения задачи (1)-(3) фи 7=1 были получены также и И.М. Рапопортом3.
Такого типа оценки получил и А.Ю. Левин4, изучая проблему устой-іивости, которая тесно связана с рассматриваемыми здесь задачами.
1 Ю.В. Егоров, В.А. Кондратьев. // Об оценках первого собственного значения за-
іачи Штурма-Лиувилля. Успехи матем. наук. 1984, Т.39, вып. 2, с. 151-152.
2 Ю.В. Егоров, В.А. Кондратьев. // Об оценке главного собственного значения опе-
>атора Штурма-Лиувилля. Вестник Моск. Ун-та. Сер. 1, Матем. Мех., 1991, № 6,
:. 5-11.
3 И.М. Рапопорт. //Об одной вариационной задаче в теории обыкновенных диффе-
эенциальных уравнений с краевыми условиями. Докл. АН СССР. 1950, т. 73, № 5,
:. 889-890.
4 А.Ю. Левин. // Неосцилляция решений уравнения х'"'+pix'n-1'-| \-pn[t)x — 0.
/спехи матем. наук. 1969, т. 24, № 2, с. 43-96.
Подобные оценки первого собственного значения Лі(Р) могут быт получены и для других задач, например для задачи:
(Р(х)у")" + \у"(х) = 0, 2/(0)=7/(0) = 2/(1)=1/(1) = 0,
которая была изучена авторами многих статей5,6,7. Эта задача част встречается в приложениях и известна как задача Лагранжа или задач о наиболее прочной колонне заданного объема.
Интерес представляет также изучение Aj(P, Q) задачи
y"{x)-Q{x)y{x)+XP{x)y{x)=0, 2/(0) = 2/(1) = 0,
где функции Q{x) и Р(х) измеримые, неотрицательные и такие, чт.
выполнено
[Q0dx=l, fpadx = l, al, /З Є R.
о о
Цель работы — оценить наименьшее собственное значение з; дач Штурма-Лиувилля при различных предположениях относительг функции Р(х).
5 А.С. Братусь. // Кратные собственные значения в задачах оптимизации. Спе тральные свойства систем с конечным числом степеней свободы. Журнал Вычис Матем. и Мат. Физики 1986. Т. 26, с. 1-7.
s А.С. Братусь, А.П. Сейранян. // Бимодальные решения в задачах оптимизаці собственного значения. Прикл. Мат. Мех. 1983, Т. 47, с. 451-457.
7 S.J. Сох. // The shape of ideal column. The Mathematical Intelligencer. 1992. v. 1 p. 16-24.
Методы исследования. В диссертации используется вариационный метод нахождения первого собственного значения краевой задачи. Для получения оценок Ai(P) широко применяется обобщенное неравенство Харди, теорема о сжимающем отображении.
Научная новизна. 1. Для некоторых классов уравнений (1), а также для уравнений вида
y"(x)+Q(x)yk(x) = 0,
где к > 1, доказаны новые теоремы существования и единственности в случае, когда Q(x) может иметь особенности. Также установлены некоторые свойства решений уравнений класса (1), в случае когда Q{x) имеет особенности.
-
Найдено минимальное достаточное условие на функцию Р{х), при котором выполняется вариационный принцип.
-
Получены оценки наименьшего собственного значения задачи (1), (2) при различных условиях на функцию Р(х). Рассмотрен вопрос о достижимости экстремальных значений Ai(P).
Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит те-эретический характер и может представлять интерес для специалистов в области обыкновенных дифференциальных уравнений и спектральной теории дифференциальных операторов.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в МГУ (рук. проф. В. А. Кондратьев, проф. В. М. Миллионщиков, проф. Н. X. Розов), на конференции молодых ученых в МГУ, на конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" в Самаре.
Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре научные работы. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура работы. Диссертация состоит из введения и двух глав включающих в себя восемь параграфов. Работа изложена на 116 страницах. Библиографический список содержит 29 наименований.