Некоторые бифуркационные задачи теории упругой устойчивости и математической физики Куликов Анатолий Николаевич

Содержание к диссертации

Введение

Нелинейный панельный флаттер 42

1.1. О возможности жесткого возбуждения колебаний в случае близком к резонансу 1:1 54

1.2. О периодических решениях в случае близком к резонансу 1:2..75

1.3. К вопросу о существовании и устойчивости малых периодических решений вблизи резонанса 1:3 89

1.4. Пример краевой задачи, в которой реализуется резонанс 1:1...100

1.5. К вопросу о возможности бифуркаций малых периодических решений вблизи резонанса 1:2 111

1.6. Пример краевой задачи, в которой реализуется внутренний резонанс 1:3 117

1.7. Нелинейный панельный флаттер. Исследование модельной задачи, предложенной В.В. Болотиным 128

1.8. Задача о дивергенции крыла самолета 138

ГЛАВА 2. Пример реализации сценария ландау-хопфа перехода к турбулентности ..143

2.1. О реализации сценария Ландау в одной из версий модели макроэкономики "мультипликатор-акселератор" 143

2.2 . О реализации сценария Ландау перехода к турбулентности в некоторых задачах теории упругой устойчивости 156

ГЛАВА 3. Комплексное уравнение гинзбурга-ландау 175

3.1. Локальные бифуркации плоских бегущих волн слабодиссипативного варианта уравнения Гинзбурга-Ландау 177

3.2. Об одной модификации слабодиссипативного варианта уравнения Гинзбурга-Ландау 193

3.3. Иные варианты слабодиссипативного уравнения Гинзбурга-Ландау 201

3.4. Особый случай для слабодиссипативного комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау 209

3.5. Комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау в вариационном случае 214

ГЛАВА 4. Обобщенное уравнение курамото-сивашинского 224

4.1. Локальные бифуркации периодической краевой задачи для обобщенного уравнения Курамото-Сивашинского 224

4.2. Обобщенное уравнение Курамото-Сивашинского с краевыми условиями, отличными от периодических 243

4.3. Обобщенное уравнение Курамото-Сивашинского в случае одной пространственной переменной. Локальные бифуркации в периодической краевой задаче 255

ГЛАВА 5. Инерциальные инвариантные многообразия нелинейной полугруппыв гильбертовом пространстве 270

5.1. Введение и постановка задачи 270

5.2. Доказательство теоремы о существовании инерциального многообразия 273

5.3. Доказательство теоремы об устойчивости инвариантного многообразия 279

5.4. Комментарии и замечания 280

Заключение 284

Литература

• К вопросу о существовании и устойчивости малых периодических решений вблизи резонанса
• . О реализации сценария Ландау перехода к турбулентности в некоторых задачах теории упругой устойчивости
• Иные варианты слабодиссипативного уравнения Гинзбурга-Ландау
• Обобщенное уравнение Курамото-Сивашинского с краевыми условиями, отличными от периодических

Введение к работе

Актуальность темы исследования. В диссертации рассмотрен ряд бифуркационных задач для динамических систем с бесконечномерным фазовым пространством (пространством начальных условий): нелинейных абстрактных эволюционных уравнений в гильбертовом пространстве, эволюционных уравнений с частными производными.

Изученные в диссертации задачи имеют актуальные приложения. Например, бифуркационные задачи из первой главы диссертации для достаточно широкого класса нелинейных абстрактных дифференциальных уравнений имеют, в первую очередь, приложения в теории упругой устойчивости. Этот класс дифференциальных уравнений, разрешимость задачи Коши которых была изучена в работах И. Сегала, С.Я. Якубова и др., включает в себя широкий ряд нелинейных эволюционных краевых задач для дифференциальных уравнений, описывающих колебания пластин в сверхзвуковом потоке газа.

Анализ явления флаттера крыла в потоке газа или жидкости был предложен М.В. Келдышем и М.А. Лаврентьевым, Т. Теодорсеном и во многом послужил толчком к развитию теории несамосопряженных дифференциальных операторов. Во второй половине 20 века возник интерес к изучению колебаний пластин в сверхзвуковом потоке газа (панельный флаттер). Постановку многих таких задач можно найти в монографии В.В. Болотина ¹. В ней отмечены причины, по которым анализ таких задач актуален в нелинейной постановке. При их анализе следует различать два случая. В первом из них предполагается, что коэффициент демпфирования - это величина порядка единицы. Во втором случае его считают малой величиной, интерпретируют как малый параметр.

С математической точки зрения первый вариант задачи приводит к необходимости распространения бифуркационной теоремы Андронова-Хопфа на соответствующий класс нелинейных эволюционных уравнений (см. работы Ю.С. Колесова, А.Н. Куликова, Дж. Марсдена, Ф. Холмса).

К иным бифуркационным задачам приводит второй вариант задачи о нелинейном флаттере. Случай малого демпфирования не является исключительным и достаточно типичен. Его актуальность отмечалась в ряде работ В.В. Болотина. Второй вариант постановки задачи приводит к необходимости анализа краевых задач для нелинейных эволюционных уравнений с частными производными в ситуации, когда их линеаризованный вариант при равном нулю коэффициенте демпфирования имеет счетный набор собственных частот колебаний, среди которых могут быть резонансные. Три из возможных и естественных бифуркационных задач рассмотрены в диссертации.

¹Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматлит. 1961. 340 c.

К математическому анализу флаттерных систем обращались многие математики и механики. В большинстве работ изучались конечномерные аналоги соответствующих краевых задач (см. работы В.В. Болотина, В.В. Веденеева, И.А. Кийко, А.Ю. Колесова, А.Н. Куликова, А.Д. Морозова, Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розова и др.). Иные, отличные от диссертационной работы, математические аспекты флаттерной тематики изучались в работах П.А. Вельмисова, Б.В. Логинова, Л. де Монвеля, И.Д. Чуешова.

В рамках темы диссертационной работы были затронуты и другие актуальные вопросы теории колебаний нелинейных систем с распределенными параметрами. Были предложены краевые задачи для нелинейных эволюционных уравнений с частными производными, в которых может быть реализован известный сценарий Ландау-Хопфа-Селла перехода к турбулентности. Один из таких примеров относится к теории упругой устойчивости. Актуальность построения такого сорта примеров обсуждалась во многих работах (см., например, обзорную статью ²).

К числу наиболее более известных уравнений математической физики можно отнести такие уравнения как уравнение Гинзбурга-Ландау (УГЛ), уравнение Курамото-Сивашинского (УКС), а также их различные модификации и обобщения. Так, например, некоторые из вариантов УКС используют при математическом моделировании процесса формирования неоднородного (волнового) рельефа на поверхности полупроводниковых материалов под воздействием ионной бомбардировки, т.е. для изучения технологического процесса, который используется в современной наноэлектронике. Рассмотренные в диссертации версии УГЛ имеют приложения во многих разделах физики (нелинейной оптике, гидродинамике и др.). В диссертации рассмотрены версии этих уравнений, которые во многих случаях более естественны для приложений. Например, когда неизвестная функция зависит от времени и более чем одной пространственной переменной. Естественно, что такие версии УГЛ и УКС часто приводят к новым бифуркационным задачам теории бесконечномерных динамических систем, для которых характерны ситуации с высокой коразмерностью, вырожденностью, кратностью собственных решений.

Их анализ предполагает развитие методов анализа динамических систем, алгоритмической их части. Во многих случаях удачно выбранный алгоритм – это существенная часть при бифуркационном анализе бесконечномерных динамических систем. Актуальность развития алгоритмической части особенно выпукло проявляет себя в приложениях.

Подчеркнем, что изучению динамики решений УГЛ и УКС уделялось и продолжалось уделять большое внимание. Достаточно вспомнить работы А.В. Гапонова-Грехова,

²Колесов А.Ю., Розов Н.Х., Садовничий В.А. Математические аспекты развития турбулентности по Ландау // УМН. 2008. Т. 63. В.2. С. 21-81.

Т.С. Ахромеевой, С.П. Курдюмова, Г.Г. Малинецкого, А.А. Самарского и др., в которых исследовались конечномерные приближения УГЛ, работы Р. Темама с соавторами, где был изучен вопрос о существовании глобальных аттракторов в двух краевых задачах для традиционной версии УКС. Бифуркационные задачи для УГЛ изучались в работах Ю.С.Колесова, А.Ю. Колесова, С.Д. Глызина, А.Н. Куликова, Н.Х. Розова. Актуальность изучения УГЛ проявляет себя и в том, что анализ нелинейных параболических уравнений с малой диффузией может быть сведен к изучению УГЛ (см., например, работы А.Б. Васильевой, С.А. Кащенко, Ю.С. Колесова, А.Ю. Колесова, Н.Х. Розова).

Цель исследования. Цель работы состояла в развитии методов анализа локальных бифуркаций в динамических системах с бесконечномерным пространством начальных условий, теории нелинейных колебаний систем с распределенными параметрами, которые, в частности, позволили бы изучить новые содержательные задачи из теории упругой устойчивости (аэроупругости), математической физики. Такие методы предполагают единый подход при анализе локальной динамики, который позволяет исследовать одновременно следующий комплекс вопросов: о существовании бифурцирующих инвариантных (интегральных) многообразий, устойчивость в смысле нормы фазового пространства им принадлежащих решений, получать асимптотические формулы для таких решений.

Научная новизна. Основные результаты. Все результаты, представленные в диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно. Эти результаты в тексте диссертационной работы приведены в виде теорем и состоят в следующем.

1. Для широкого класса нелинейных эволюционных уравнений второго порядка в
гильбертовом пространстве получены три теоремы о существовании, устойчивости и асимп
тотическом представлении малых по амплитуде периодических решений в ситуации харак
терной для бесконечномерных динамических систем, ряда задач теории упругой устой
чивости. Основные особенности условий теории состоят в том, что спектр устойчивости
линеаризованного в нуле дифференциального уравнения состоит из счетного набора соб
ственных значений. При равном нулю коэффициенте демпфирования весь их счетный
набор находится на мнимой оси ("бесконечномерное вырождение") и среди них есть две
пары, находящиеся в резонансе. В основной теореме из 1.1 реализуется резонанс 1:1, в
1.2 – резонанс 1:2 и, наконец, в 1.3 – резонанс 1:3.

Приведены примеры, анализ которых иллюстрирует содержательность выводов из результатов трех основных теорем для задач о нелинейном панельном флаттере.

2. Предложены три краевые задачи, в которых реализуется сценарий Ландау-Хопфа-
Селла перехода к турбулентности, т.е. доказано наличие каскада бифуркаций инвари
антных торов, размерность которых растет при возрастании (убывании) управляющего

параметра.При этом притягивающим является тор наибольшей размерности.

3. Рассмотрена периодическая краевая задача для слабодиссипативной версии УГЛ,
для которой характерно наличие счетного набора решений типа плоских бегущих волн.
Изучен вопрос об их устойчивости, а также вопрос о локальных бифуркациях при смене
ими устойчивости. Данная задача рассмотрена в случае произвольного числа простран
ственных переменных. Полученные результаты позволяют выявить зависимость харак
тера бифуркаций от числа пространственных переменных. В частности, показано, что
докритические бифуркации инвариантных торов могут реализоваться, если число про
странственных переменных больше двух.

Получен ряд результатов, относящихся к задачам о локальных бифуркациях бегущих волн для естественных с точки зрения физических приложений модификаций УГЛ.

4. Рассмотрены три краевые задачи для обобщенного УКС. В том числе рассмот
рен вариант такого уравнения, когда неизвестная функция зависит от двух простран
ственных переменных. Доказаны теоремы о бифуркациях инвариантных многообразий
при смене устойчивости пространственно однородным состоянием равновесия. Дан ответ
об устойчивости пространственно неоднородных решений, принадлежащих инвариантным
многообразиям. Получены асимптотические формулы для таких решений.

Методы исследований. В диссертационной работе были использованы такие методы качественной теории дифференциальных уравнений как

– метод интегральных (инвариантных) многообразий;

– аппарат теории нормальных форм;

– одна из версий метода Крылова-Боголюбова.

В диссертации эти методы развиты и применены к динамическим системам с бесконечномерным фазовым пространством.

Анализ бифуркационных задач опирался также на

– асимптотические методы анализа;

– некоторые разделы функционального анализа (например, аналитическую теорию полугрупп, теорию возмущений линейных операторов);

– некоторые разделы теории дифференциальных операторов.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. В ней решены новые задачи для динамических систем с распределенными параметрами. Их анализ предполагал развитие метода качественной теории таких систем и, в частности, его алгоритмической части. Предложенные алгоритмы исследований рассмотренных бифуркационных задач позволяют получать ответы о характере бифуркаций в удобной для использования форме. Развитая методика анализа бесконечномерных ди-

намических систем может и уже использовалась для иных классов дифференциальных уравнений, отличных от рассмотренных в диссертации. На базе применения подходов диссертационной работы были рассмотрены задачи для функционально-дифференциальных уравнений с частными производными, которые имеют приложения в наноэлектронике, физике пограничных явлений (см. работы А.Н. Куликова, Д.А. Куликова, А.М. Ковалевой, А.В. Метлицкой, А.С. Рудого). Результаты анализа четвертой главы нашли свое применение в работах по моделированию некоторых технологических процессов. Часть таких результатов нашла свое отражение в коллективной монографии Ярославского филиала физико-технологического института РАН ³.

Результаты первой главы с математической точки зрения подтверждают гипотезу В.В. Болотина о том, что задача о нелинейном панельном флаттере принципиально нелинейная и явление флаттера может возникнуть при скоростях меньших "скорости флаттера" , определяемой из линейного анализа соответствующих краевых задач.

Положения, выносимые на защиту.

1. Метод и результаты анализа бифуркационных задач для абстрактных нелинейных гиперболических уравнений и их приложений. Теоремы первой главы о существовании, устойчивости периодических решений. Алгоритм построения асимптотических формул для этих решений.

2. Метод и результаты анализа нелинейных эволюционных краевых задач, в которых возможна реализация сценария Ландау-Хопфа-Cелла перехода к турбулентности. Теоремы второй главы о реализации каскада бифуркаций инвариантных торов, возрастающей размерности. Алгоритм построения асимптотических формул для решений, формирующих инвариантные торы.

3. Методы, результаты анализа окрестности бегущих волн у ряда версий УГЛ (обобщенного УГЛ). В частности, для слабодиссипативной версии УГЛ с произвольным числом пространственных переменных. Алгоритм сведения задачи к конечномерной, построения асимптотических формул для решений, принадлежащих инвариантным многообразиям.

4. Метод и результаты исследований окрестности однородных состояний равновесия в краевых задачах для УКС. Теоремы о бифуркациях интегральных (инвариантных) многообразий, включающие алгоритмы построения асимптотических формул для решений, формирующих интегральные многообразия.

Апробация работы. В разные годы основные результаты диссертации были доложены на международных конференциях: "Дифференциальные уравнения и тополо-³Кремниевые наноструктуры. Физика. Технология. Моделирование. Ярославль. Изд-во "Индиго". 2014. 559 с.

гия"(Москва, 2008); "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики"(Москва, 2009); "Современные проблемы математики и механики"(Москва, 2009); "Differential equations and related topics"(Москва, 2011); Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2016); "Нелинейная динамика и ее приложения"(Ярославль, 2013); "Нелинейные методы в физике и механике"(Ярославль, 2015); "Третьи Курдюмовские чтения: синергетика в естественных науках"(Тверь, 2007); "Дифференциальные уравнения и оптимальное управление"(Москва, 2012); "Dynamical system modeling and stability investigation"(Киев, 2011); "Моделирование, управление и устойчивость MCS-2012" (Севастополь, 2012); "Метод функций Ляпунова и ее приложения MFL-2014"(Севастополь, 2014); "Bogolubov readings DIFF-2013. Differential equations, theory of functions and their applications"(Севастополь, 2013); "Теория оболочек и мембран в механике и биологии: от микро- до наноразмерных структур"(Беларусь, 2013); "XII Белорусская математическая конференция"(Минск, 2016); "Second international conference new trends in the applications of differential equations in sciences"(София, 2015); "Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций"(Казань, 2014); "Теория управления и математическое моделирование"(Ижевск, 2015); Sixth EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference (Санкт-Петербург, 2008); "Mathematical modelling and analysis"(Тарту, 2016); "Проблемы математической физики и математическое моделирование"(Москва, 2016,2017); "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения VII"(Ростов-на-Дону, 2017).

На международных и российских математических школах и семинарах: "Хаотические автоколебания и образование структур"(Саратов, 2007); Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна (Воронеж, 2010, 2012); "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления (X семинар им. Е.С. Пятницкого)"(Москва, 2008); "Колмого-ровские чтения"(Ярославль, 2010,2012,2013); Крымская осенняя математическая школа (Ласпи-Балтиманн, 2012); Workshop in Nonlinear PDEs (Брюссель, 2015).

На Всероссийских конференциях и съездах: Научная сессия "НИЯУ МИФИ" (Москва,2014,2015); Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Нижний– Новгород, 2006,2011; Казань, 2015); "Нелинейные колебания механических систем"(Нижний – Новгород, 2005, 2008, 2016); На конференциях по качественной теории дифференциальных уравнений (Рязань, 2001,2006,2016); "Математическое моделирование и краевые задачи"(Самара, 2011).

Результаты докладывались на научном семинаре "Нелинейная динамика и синергетика" (руководители семинара: профессор С.А. Кащенко, профессор С.Д. Глызин), на

научном семинаре в МГУ им. М.В. Ломоносова "Нелинейные динамические системы и процессы управления"(руководители семинара: академик РАН С.В. Емельянов, академик

РАН |С.К. Коровин), на нижегородском научном семинаре "Математическое моделирование динамики систем процессов управления"(руководители семинара: профессор Д.В. Баландин, профессор Н.В. Дерендяев, профессор Г.В. Осипов).

Публикации. Результаты диссертации полностью опубликованы. Список основных публикаций приведен в конце автореферата и насчитывает 51 работу (без учета публикаций в материалах конференций и тезисов докладов). Из них 37 работ опубликованы в рецензируемых изданиях, входящих в список ВАК, базы Web of Sciences, Scopus.

Ни один из результатов совместных работ с Ю.С. Колесовым, А.Ю. Колесовым, Н.Х. Розовым не вошел в текст диссертации. Эти работы внесены в список работ по той причине, что часть результатов из них была использована при доказательстве утверждений из диссертационной работы. Остальные совместные публикации были, как правило, выполнены с аспирантами и студентами кафедры дифференциальных уравнений ЯрГУ.

Объем и структура работы. Работа содержит 299 страниц печатного текста. Состоит из введения, пяти глав с результатами работы, заключения и списка литературы. Он содержит 178 наименований.

К вопросу о существовании и устойчивости малых периодических решений вблизи резонанса

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. В ней решены новые задачи для динамических систем с распределенными параметрами. Их анализ предполагал развитие метода качественной теории таких систем и, в частности, его алгоритмической части. Предложенные алгоритмы исследований рассмотренных бифуркационных задач позволяют получать ответы о характере бифуркаций в удобной для использования форме. Развитая методика анализа бесконечномерных динамических систем может и уже использовалась для иных классов дифференциальных уравнений, отличных от рассмотренных в диссертации. На базе применения подходов диссертационной работы были рассмотрены задачи для функционально-дифференциальных уравнений с частными производными, которые имеют приложения в на-ноэлектронике, физике пограничных явлений (см. работы А.Н. Куликова, Д.А. Куликова, А.М. Ковалевой, А.В. Метлицкой, А.С. Рудого). Результаты анализа четвертой главы нашли свое применение в работах по моделированию некоторых технологических процессов. Часть таких результатов нашла свое отражение в коллективной монографии Ярославского филиала физико-технологического института РАН 3.

Результаты первой главы с математической точки зрения подтверждают гипотезу В.В. Болотина о том, что задача о нелинейном панельном флаттере принципиально нелинейная и явление флаттера может возникнуть при скоростях меньших "скорости флаттера" , определяемой из линейного анализа соответствующих краевых задач.

Положения, выносимые на защиту.

1. Метод и результаты анализа бифуркационных задач для абстрактных нелинейных гиперболических уравнений и их приложений. Теоремы первой главы о существовании, устойчивости периодических решений. Алгоритм построения асимптотических формул для этих решений.

2. Метод и результаты анализа нелинейных эволюционных краевых задач, в которых возможна реализация сценария Ландау-Хопфа-Cелла перехода к турбулентности. Теоремы второй главы о реализации каскада бифуркаций инвариантных торов, возрастающей размерности. Алгоритм построения асимптотических формул для решений, формирующих инвариантные торы.

3. Методы, результаты анализа окрестности бегущих волн у ряда версий УГЛ (обобщенного УГЛ). В частности, для слабодиссипативной вер сии УГЛ с произвольным числом пространственных переменных. Алгоритм сведения задачи к конечномерной, построения асимптотических формул для решений, принадлежащих инвариантным многообразиям.

4. Метод и результаты исследований окрестности однородных состояний равновесия в краевых задачах для УКС. Теоремы о бифуркациях интегральных (инвариантных) многообразий, включающие алгоритмы построения асимптотических формул для решений, формирующих интегральные многообразия.

Апробация работы. В разные годы основные результаты диссертации были доложены на международных конференциях: "Дифференциальные уравнения и топология"(Москва, 2008); "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики"(Москва, 2009); "Современные проблемы математики и механики"(Москва, 2009); "Differential equations and related topics"(Москва, 2011); Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2016); "Нелинейная динамика и ее приложения"(Ярославль, 2013); "Нелинейные методы в физике и ме-ханике"(Ярославль, 2015); "Третьи Курдюмовские чтения: синергетика в естественных науках"(Тверь, 2007); "Дифференциальные уравнения и оптимальное управление"(Москва, 2012); "Dynamical system modeling and stability investigation"(Киев, 2011); "Моделирование, управление и устойчивость MCS-2012"(Севастополь, 2012); "Метод функций Ляпунова и ее приложения MFL-2014"(Севастополь, 2014); "Bogolubov readings DIFF-2013. Differential equations, theory of functions and their applications" (Севастополь, 2013); "Теория оболочек и мембран в механике и биологии: от микро- до наноразмерных структур"(Беларусь, 2013); "XII Белорусская математическая конференция"(Минск, 2016); "Second international conference new trends in the applications of differential equations in sciences" (София, 2015); "Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций"(Казань, 2014); "Теория управления и математическое моделирование"(Ижевск, 2015); Sixth EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference (Санкт-Петербург, 2008); "Mathematical modelling and analysis"(Тарту, 2016); "Проблемы математической физики и математическое моделирование"(Москва, 2016,2017); "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения VII"(Ростов-на-Дону, 2017).

На международных и российских математических школах и семинарах: "Хаотические автоколебания и образование структур"(Саратов, 2007); Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна (Воронеж, 2010, 2012); "Устойчивость и колебания нелинейных систем управ ления (X семинар им. Е.С. Пятницкого)"(Москва, 2008); "Колмогоров-ские чтения"(Ярославль, 2010,2012,2013); Крымская осенняя математическая школа (Ласпи-Балтиманн, 2012); Workshop in Nonlinear PDEs (Брюссель, 2015).

На Всероссийских конференциях и съездах: Научная сессия "НИЯУ МИФИ"(Москва,2014,2015); Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Нижний– Новгород, 2006,2011; Казань, 2015); "Нелинейные колебания механических систем"(Нижний – Новгород, 2005, 2008, 2016); На конференциях по качественной теории дифференциальных уравнений (Рязань, 2001,2006,2016); "Математическое моделирование и краевые задачи"(Самара, 2011).

Результаты докладывались на научном семинаре "Нелинейная динамика и синергетика" (руководители семинара: профессор С.А. Кащенко, профессор С.Д. Глызин), на научном семинаре в МГУ им. М.В. Ломоносова "Нелинейные динамические системы и процессы управле-ния"(руководители семинара: академик РАН С.В. Емельянов, академик РАН С.К. Коровин ), на нижегородском научном семинаре "Математиче ское моделирование динамики систем процессов управления"(руководители семинара: профессор Д.В. Баландин, профессор Н.В. Дерендяев, профессор Г.В. Осипов).

Публикации. Результаты диссертации полностью опубликованы. Список основных публикаций приведен в конце автореферата и насчитывает 51 работу (без учета публикаций в материалах конференций и тезисов докладов). Из них 37 работ опубликованы в рецензируемых изданиях, входящих в список ВАК, базы Web of Sciences, Scopus.

Ни один из результатов совместных работ с Ю.С. Колесовым, А.Ю. Колесовым, Н.Х. Розовым не вошел в текст диссертации. Эти работы внесены в список работ по той причине, что часть результатов из них была использована при доказательстве утверждений из диссертационной работы. Остальные совместные публикации были, как правило, выполнены с аспирантами и студентами кафедры дифференциальных уравнений Яр-ГУ.

Объем и структура работы. Работа содержит 299 страниц печатного текста. Состоит из введения, пяти глав с результатами работы, заключения и списка литературы. Он содержит 178 наименований.

. О реализации сценария Ландау перехода к турбулентности в некоторых задачах теории упругой устойчивости

Последняя краевая задача выглядит как наиболее простой вариант из возможных краевых задач для комплексного УГЛ. Тем не менее, динамика ее решений не совсем простая. Краевая задача (43),(44) может иметь решения вида ип{х) = г]п ехр(тж), п = 0, ±1,..., ±по, (45) где натуральное число щ будет указано ниже. Наряду с решениями (45) существуют решения ип{х + h) = r]nexp(inh)exp(inx),h Є R. Поэтому, при рассмотрении решений (45) можно считать, что г]п Є R+(rjn 0), а положительную постоянную г]п следует искать как соответствующий корень уравнения г] — rf — dn2r] = 0. Кроме нулевого корня последнее уравнение имеет корень г]п = (1 — dn2)12, который существует, если 1 — dn2 0. Поэтому данные состояния равновесия Sn существуют, если \п\ по, где щ = епЫег(у/Щ или щ = епЫег(у/Щ -1. Последний вариант выбора щ реализуется, если /f/d Є N.

Решение с номером п = 0 устойчиво. При п О ситуация иная. Теорема 5.1.Краевая задача (43),(44) имеет 2п0 + 1 одномерных инвариантных многообразий Sn(a), сформированных решениями видаип(х+ а), а Є R, n = 0,±l,...,±n0.

Пусть п 0. Тогда одномерное инвариантное многообразие Sn(a) является притягивающим (локальным аттрактором), если d Є (0,dn), неустойчивым (седловым), если d Є (rfn, ос). Здесь dn = 2/(6n2 - 1). При п = 0 многообразие Sn(a) - локальный аттрактор, который устойчив при всех d 0. Данная краевая задача (43), (44) имеет состояния равновесия иной структуры ит(х, hiM) = ехр(г/і2)г;т(ж + /гі), где huh2 Є Л, а vm(x) - нетривиальные решения краевой задачи dv" + v - v:i = 0, (46) v(x + 27i) = v(x). (47) Обыкновенное дифференциальное уравнение (46) имеет решения, которые могут быть выражены через эллиптические функции v(x)=psn(5x,k). (48) При этом функция (48) удовлетворяет краевым условиям (47) при соответствующем выборе 6 и к. В 3.5 показано, что краевая задача (46), (47) имеет решения, если т Є N и т m0, т0 = entier{l/Vd). При каждом подходящем т инвариантные многообразия размерности 1, порожденные решениями семейства иn(х, hhh2), неустойчивы. В 3.5 также изучены локальные бифуркации решений (45) при смене ими устойчивости. От решений (45) бифурцируют неустойчивые состояния равновесия более сложной структуры.

В главе 4 рассмотрено уравнение, которое принято называть УКС или обобщенным УКС. В настоящее время под термином УКС, обобщенное УКС часто понимают класс достаточно похожих уравнений. В данном разделе, как правило, рассматриваются те варианты обобщенного УКС, которые появились в связи с моделированием процесса формирования неоднородного рельефа на поверхности твердых тел под воздействием потока ионов (ионной бомбардировки). При этом в соответствующих опытах поверхность может может оставаться плоской или может появиться неоднородный рельеф разной конфигурации. Очень часто такой рельеф классифицируют как волновой. Если длина волны достаточно мала, то принято говорить о нанорельефе. Причины появления нанорельефа продолжает вызывать дискуссии, но все большее число физиков склоняются к детерминистскому подходу в определении причины, как к процессу самоорганизации.

В 4.1 рассмотрена задача для одного из вариантов УКС, который получен после перенормировок и возникает при описании формирования неоднородного рельефа на поверхности полупроводников под воздействием потока ионов &и дЧ дЧ d3dxw+а1дхз+а2дх у2+ (49) +С1(-) 2 + с2(-) 2 ди д2и ди д2и + С2( — Г + СзН) + С4 дх лду лдхдх2 дхду2 u{t, х + 2тг,у) = u{t, х)У + 2тг) = u{t, х,у). (50) Здесь a, bh Ь2, dud2,d3,аиа2,със2,с3,с4 Є R, dud2,d3 0 и зависят обычно от свободного параметра 7о (см. 4.1) и поэтому можно считать, что rfi = 1 ( или d2 = 1). Краевая задача (49), (50) имеет семейство однородных состояний равновесия u(t,x) = const, а также инвариантна относительно замен и — и + а. Поэтому достаточно проанализировать устойчивость состояния равновесия и = 0. Для анализа устойчивости нулевого решения в линейном приближении следует рассмотреть линейную краевую задачу д = Аи, u(t,х + 2тг,у) = u(t,x,у+ 2тг) = и(і,х,у), где линейный дифференциальный оператор определен на гладких функциях v(x,y), имеющих по обоим переменным X, у период 27Г. Лемма 1.1. Линейный дифференциальный оператор А имеет собственные значения А = А(п, к) = (Ът2 + Ъ2к2) - (п4 + d2k4 + d3n2k2) + іап - іащ3 - іа2пк?, каждому из которых отвечает собственная функция епк(х} у) = ехр(тж+ iky),n,keZ. Отметим, что А(0,0) = 0. Если Re А(п, к) 0 при всех к2 + п2ф 0, то любое из состояний равновесия краевой задачи (49), (50) устойчиво, но не может быть асимптотически устойчиво, так как в любой окрестности произвольного состояния равновесия есть иные, отличные от него. Пусть существует хотя бы одна пара целых чисел (щ,ко), п + к$ Ф 0, для которых Re Х(п0}ко) 0. Тогда состояния равновесия и(х,у) = const неустойчивы.

Критические случаи выделяются условиями: 1) при всех п, к справедливы равенства Re А(п, к) 0; 2) существуют такие п = п0,к = ко, что Re А(п0, ко) = 0, п + к2 ф 0. Подчеркнем, что в нашем случае Re А(п, к) = Ьщ2 + Ь2к2 - п4 1,Є d2kA-d3k2n2. Поэтому условия устойчивости приобретают вид двух неравенств: Ъ\ 1, Ъ2 d2. Следовательно, можно выделить три критических случая: l)bi = 1, Ь2 d2; 2) Ьх 1, Ь2 = d2; 3) Ьх = 1, Ь2 = d2. В первом случае линейный дифференциальный оператор А имеет три собственных значения, у которых Re Х(п}к) = 0 : А(0,0) = 0, А(±1,0) = = а-аі(аф аі). Им отвечают собственные функции е0г0(х,у) = е±і,о(х,у) = ехр(±гж). Во втором случае имеет место трехкратное нулевое собственное значение. Этому собственному значению отвечают три собственные функции е0го(х,у) = 1, е0г±і(х,у) = ехр(±іу). Наконец, в третьем случае имеем пять вариантов, при которых Re А = 0, справедливы равенства А(0,0) = 0, А(±1,0) = ±iu, А(0,±1) = 0. Основные результаты относятся к анализу локальных бифуркаций в случаях близких к критическим:

Иные варианты слабодиссипативного уравнения Гинзбурга-Ландау

Здесь функции Y,-( 1 є) зависят непрерывно дифференцируемым образом от ф1є. Выше везде речь шла об "одномерном" торе, который обычно называют циклом. Последнее означает, что результаты работ [53-57] были использованы в относительно частном случае.

Результаты, изложенные в работах [53-57], предполагают определенную гладкость потока (нелинейной группы или полугруппы), порождаемого решениями задачи Коши для абстрактного уравнения (системы) (3.21), (3.22). Отметим, что она входит в класс абстрактных уравнений, рассмотренных, например, в работе [49]. Иные ссылки можно найти в упомянутой работе (см. также [50]). В работе [49] вопрос о разрешимости задачи Коши и свойствах ее решения сведен к исследованию существования решения достаточно стандартного интегрального уравнения, которое изучается на базе применения метода последовательных приближений и, следовательно, необходимые утверждения о гладкости по параметру є и начальным условиям могут быть получены. В работе [51] многие из этих вопросов разобраны достаточно полно и детально. При построении НФ использован алгоритм, который можно считать, в определенной степени обобщением известного алгоритма Крылова-Боголюбова для обыкновенных дифференциальных уравнений (см. [58-60]).

В 1.1 показано, что в случае близком к резонансу 1:1 могут возникнуть незатухающие колебания в докритической области. Применительно к задаче о флаттере это означает возможность возбуждения колебаний при скоростях меньших скорости флаттера. Далее в 1.4 будет разобран соответствующий пример (см. также работы [28,35,36,41]).

В данном разделе будет рассмотрена задача о бифуркации малых периодических решений в случае, когда собственные частоты близки к реализации резонанса 1:2. Как уже отмечалось во введении к данной главе, такая ситуация может возникнуть при скоростях близких к некоторой скорости С2. В рамках этого раздела задача будет рассмотрена в достаточно общей постановке для абстрактных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве.

Постановка задачи. Пусть Я действительное сепарабельное гильбертово пространство. В этом пространстве рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка її + д0й + {А2 + сВ)и = f{u, и, с), (1.1) зависящее от параметра с Є [0,оо). Операторы, входящие в правую и левую части уравнения (1.1) удовлетворяют ряду ограничений, которые индуцированы видом уравнений теории упругой устойчивости. Эти ограничения сведены в серию предположений.

Первые четыре из них имеют достаточно общий характер и скорее описывают класс рассматриваемых уравнений, а не задачу, которую предполагается изучить. Они совпадают с первыми четырьмя предположениями из 1.1 данной главы. Совпадают и некоторые из общих обозначений. Например, Я, Нк, НА} НА2 и т.д.

Следующие предположения носят уже более специальный характер и поэтому они будут приведены без сокращений, хотя они в некоторых своих фрагментах похожи на ограничения из 1.1. Предположение 2.1.Линейный оператор А2 + сВ при с=с2 имеет положительные и простые СЗ (г\ а\ (т\ ... При этом, (72 = 2(7U ак±а1 о3, ак±а2 (і3, к, j = 3,4, 5,..., то есть отсутствуют иные младшие резонансы порядка 2.

Отметим, что, в задачах упругой устойчивости обычно, с2 ch где С\ — нижняя скорость флаттера, но этот факт не имеет существенного значения для дальнейших построений.

Также будем считать, что а2 = 2сть ак ± ах ф о3, к, j = 3,4, 5,..., то есть отсутствуют "младшие" комбинационные резонансы при с = с2. Прежде чем перейти к описанию иных предположений, уместно подчеркнуть справедливость равенства lim ап = оо, что вытекает из предполо П—т 00 жения о компактности линейного оператора А 1. Предположение 2.2.В рамках этого раздела будем считать, что f(u,v,c) = f2(u,v,c) + f3(u,v,c), где f2(u, v} с), f3(u,v, с) - билинейный и трилинейный операторы по совокупности переменных и, v при всех рассматриваемых с. Будем считать, что они зависят от параметра с аналитически в метрике простран ства Н. В большинстве приложений т0 fJ{u)v)c) = 2fjm{u)v)cm) J = 1,2. m=0

Очень часто fjm = 0, т = 1, 2,..., то есть они от с не зависят. Так будет, например, если ограничиться рассмотрением задач, где учитывается лишь "геометрическая нелинейность"[3; гл. 7, 7.6]. Положим д0 = 2ед (д 0), с = с2 + ає, а Є R и рассмотрим линейный оператор А2{е) = А2 + (с2 + ає)В, а, є Є Л, є Є (0, є0). Пусть А2 = А2(0), а через А\ обозначим сопряженный ему линейный оператор. Через ек будем обозначать собственные элементы линейного оператора А2) а через hk — собственные элементы А2. Будем считать, что hj,ek биортогональны, то есть (ek,hj) = 5kj символ Кронекера.

Предположение 2.3.Наконец будем считать, что система собственных элементов {е }, как и система {hj}, образует базис Бари-Рисса [31-32]. В указанных монографиях изложены соответствующие определения и результаты (см., например, гл. 6 из монографии [32]). В монографии [31] эти результаты применяются к исследованию несамосопряженных дифференциальных операторов.

Линейный оператор А2{е) = А2 + аеВ имеет собственные числа и собственные элементы [52; гл. 8] \k(e) = а2к + evk + о(є), ек(є) = ек + єек1 + о(є). Итак, в рамках данного параграфа будем изучать уравнение (1.1), записанное следующим образом и + Чеаи + А2и + аеВи = F2(u, й)+ (Л п. +Р3(и + еС2(и е) + еС е). Здесь F2(u,u) = f2(u,u,c2),F3{u,u) = f3(u,u,c2), а G2,G3 билинейный и трилинейный операторы из 1.1, которые гладко зависят от параметра Є. Замечание 2.1.Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение u + A2u = qexp(iujt)} qe НК. Пусть ш ф o-j (j = 1,2,...), то последнее уравнение всегда имеет периодическое решение с периодом 2TT/W. Если же оказалось, что uj = aj, то данное уравнение имеет периодическое решение с периодом 2-K/GJ, если выполнено условие разрешимости (9,hj) = 0. При выполнении этого условия, равенство (и, hj) = О выделяет одно такое решение. Данные условия особенно актуальны при j = 1,2. Замечание 2.2. Подчеркнем, что в силу предположений можно утверждать, что линейное дифференциальное уравнение и + 2єдй + А(с)и = 0, при тех с 0, когда спектр А(с) состоит из счетного числа положительных чисел и) 0, входит в класс таких дифференциальных уравнений второго порядка, для которых: 1) решения задачи Коши и(0) = щ, й{0) = щ при щ Є НА Щ є НА2 порождают в пространстве НхН группу T(t) ограниченных операторов класса Со; 2) для нее справедлива оценка \\T(t)\\ Mexp(-eg6)t, где 0 S 1. В частности, решения дифференциального уравнения и + 2едй + А(с)и = 0 асимптотически устойчивы в смысле нормы пространства Нд2 х НА, а нулевое решение уравнения (1.2) локально асимптотически устойчиво.

Обобщенное уравнение Курамото-Сивашинского с краевыми условиями, отличными от периодических

Введение. Уравнение Гинзбурга-Ландау в первоначальной форме было получено работах В.Л. Гинзбурга, Л.Д. Ландау, а также Л.А. Абрикосова [93-95], как одна из моделей сверхпроводимости. Вскоре его обобщения и различные модификации нашли свое применение при описании различных процессов и явлений. Например, при изучении плазмы, гидродинамики, нелинейной оптики и т.д. (см., например, [91,96-99]). Очень часто данное уравнение связывают с изучением турбулентных режимов, явления самоорганизации в нелинейных средах.

То уравнение, которое будет рассмотрено ниже следует скорее назвать комплексным уравнением Гинзбурга-Ландау, обобщенным уравнением Гинзбурга-Ландау. Употребляется также название "зависящее от времени уравнение Гинзбурга-Ландау" , что является переводом английской версии названия: "Time Dependent Ginzburg-Landau equation". Ниже будет использоваться сокращенный вариант названия "уравнение Гинзбурга – Ландау". Следует также отметить, что у данного уравнения есть и иное название: "уравнение Курамото-Цузуки". Этот вариант названия (уравнение Курамото – Цузуки) появился после работ японских физиков И. Курамото, Т. Цузуки [100 – 102], которые на физическом уровне строгости получили его при рассмотрении систем химической кинетики с учетом диффузии. Строгий математический вывод этого уравнения возможен при рассмотрении систем уравнений с частными производными типа реакция – диффузия, но лишь в том случае, когда коэффициенты диффузии пропорциональны малому параметру (см.,например, [58,91,103], а также библиографию, которая приведена в этих работах).

Исследованию динамики решений различных КЗ для уравнения Гинзбурга – Ландау посвящено достаточно большое число работ. Их обзор и библиографию можно найти в монографиях [58,91]. В физических приложениях уравнение Гинзбурга – Ландау изучаются очень часто сведением задачи к конечномерной с помощью разностных аппроксимаций или га-леркинских приближений (см.,например, работы А.В. Гапонова – Грехова [104], а также работы [105,106]). Естественно, что выводы после анализа таких конечномерных систем имеют феноменологический характер, тем более, как правило, рассматриваются малоразмерные приближения. Но традиции, физические соображения позволяют считать такой подход достаточно приемлемым.

Напомним, что уравнением Гинзбурга-Ландау, обычно, называют, урав 175 нение вида (см., [91,96-106]) ut = (a + iP)u - (ai + ia2)u\u\2 + (dx + id2)Au. (0.1) или его частные варианты. Здесь и = u(t, хи ..., хп), п Є Z, Аи = иХ1Х1 + +иХпХп - оператор Лапласа по пространственным переменным, а, /3, а і a2,dud2 Є R, rfi 0. Классический вариант предусматривает, что рассматривается уравнение (0.1) при х = Х\, при (п = 1). Широко известно такое уравнение, как іщ = 1U - Ъи\и\2 + duxx, где 7,&,rf Є Д. Его принято называть кубическим уравнением Шредин-гера. Если rfi = 0, то уравнение (0.1) можно называть обобщенным кубическим уравнением Шредингера или слабодиссипативным вариантом уравнения Гинзбурга-Ландау. Например, щ = и-(1 + ic)u\u\2 - iduxx. (0.2) Такой вариант уравнения Гинзбурга-Ландау можно найти в монографии Ф. Дразина (см. с. 96 [99]). Следует также подчеркнуть, что его можно получить как квазинормальную форму, если рассмотреть нелинейное телеграфное уравнение [107-112] иы - 2єщ + и + f(u, щ) = 2deuxx, где и = u(t,x), f(u,Ut) - некоторая достаточно гладкая функция, имеющая в нуле порядок малости выше первого. Типичный вариант, когда f(u,ut) = ju2ut, то есть нелинейность имеет вид характерный для классического уравнения Ван дер Поля. Здесь 0 є « l,d 0. Уместно еще раз подчеркнуть, что основной вариант уравнения Гинзбурга-Ландау можно получить как квазинормальную форму для такого класса параболических систем, как реакция-диффузия [103].

Если /3 = а2 = d2 = 0, то такие условия выделяют еще один частный случай, который используется для описания неравновесных фазовых превращений в конденсированных средах (см. [113], а также [114-115]). Как уже отмечалось, наиболее популярный вариант уравнения Гинзбурга -Ландау имеет следующий вид щ = (а + iP)u - (a + ib)u\u\2 + (dx + id2)uxx, (0.3) где и = u(t,x),a,P,a,b,dhd2 Є Л,a 0,d 0,a 0. Без нарушения общности можно считать, что /3 = 0. Последнее равенство достигается в уравнении (0.3) путем замены и = exp(i(3t)v. Формально уравнение (0.2) получаем из уравнения (0.3) при d\ = 0 (d2 = —d). Рассмотрим уравнение (0.3) вместе с периодическими краевыми условиями, которые после перенормировок можно записать в виде и( ,ж + 27г) = «( ,ж), жє R. (0.4) КЗ (0.3), (0.4) имеет t периодические решения вида u(t,x) = r]nexp(iant + inx), (0.5) где п = 0, ±1, ±2,..., щ. Решение (0.5) существует, если а - din2 0. При этом r)l = (a-dm2)/dU(Tn = (3-ЪгЦ-d2n2}n0 = епЫег(у/аЩ). В работе [116] был рассмотрен вопрос об устойчивости решений вида (0.5). Некоторые фрагменты работы [116] будут использованы в построениях данной главы, но часто в более простых ситуациях условия устойчивости будут записаны в иной форме.