Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию вопроса о разрешимости начально-краевых задач для квазилинейных параболических уравнений, у которых функции, входящие в уравнение, могут обращаться в нуль на отрезке, а также разрешимости краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с немонотонной функцией в главной части. Начально-краевые задачи для квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными являются в настоящее время одним из интенсивно развивающихся направлений математики и ее приложений. Особенно часто в приложениях возникают уравнения второго порядка, изучению которых посвящена обширная литература. Отметим обобщающие монографии Ладыженской О.А., Ураль-цевой Н.Н., Солонникова В.А., а также Лионса Ж. Л. и Крылова Н.В. Многие работы в значительной степени посвящены гладким решениям. В связи с развитием методов монотонности и компактности возрастает интерес к так называемым слабым решениям этих уравнений. Для уравнений с неявным вырождением глубокая математическая теория предложена в работе Ю.А. Дубинского "Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнениях" / Мат. сб., 1965/, в которой рассмотрены уравнения высокого порядка 2т (т ^ 1) в предположении, что производные порядка го входят в коэффициенты линейно. Еще в монографии Лионса Ж. Д. "Некоторые методы решения нелинейных краевых задач4 /1972/ сформулирована теорема существования для частного случая краевой задачи
щ - V -7Г— «,(/,х, н, (p{u)S/u) + no(f.х, и,
(*,х)Є0(x); «|ад = 0, (1)
p-2
когда коэффициенты имеют конкретный вид ai = |»|* j~-?t jJt~", где s > 0, р ^ 2. Однако путь к построению общей теории уравнений вида (1) оказался трудным и длинным. Заметим, что уравнение (1) может вырождаться как при <р(и) = 0, так и при V« = 0. Изучение уравнений г двойным вырождением активизировалось после обзорной статьи Калашникова А.С. "Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка" /Успехи мат. наук, 1987/, в которой чм-пещенм разнообразные приложения таких уравнений.
Существенные результаты по квазилинейным вырождающимся параболическим уравнениям второго порядка получены в работах Иванова А.В. Часть их собрана в обзорной работе Иванова А.В. /Алгебра и анализ, 1992/ Теорема существования неотрицательного решения получена в работе Иванова А.В., Мкртычана П.З. / Зап. научн. семнн. ПОМИ, 1990/. Все результаты относятся к уравнению (1) с конкретной функцией <р(и) = \n\s , s > 0.
В работах зарубежных математиков также имеются теоремы существования для уравнений с. двойным .вырождением, однако, в предположении, что функция имеет вид 'р(и) — \и\" , 6- > 0, и что степень s существенно связана со степенью роста коэффициентов «;(/,х, ц,) по аргументу . Укажем наиболее полные работы в этом направлении Bernis F. и Blanchard D., Francfort G.
В работе Лаптева Г.И. /Сибирский матем. журнал, 1997/ доказывается теорема существования задачи (1) с произвольной функцией <р(и) степенного роста в предположении, что она обращается в нуль только в нуле и положительна для остальных значений аргумента.
В диссертации изучаются уравнения типа (1), в которых функция <р(п) вырождается на целом отрезке [«,/3], 0 < <т < j3_< оо. Задачи с существенно вырождающимися коэффициентами возникают, в приложениях, в частности, в задаче Стефана о переходе вещества из одной фазы в другую. Например, в работе М. Bertsh, P. de Mottoni, L.A. Pcletier /Trans. AMS, 1986/ изучается задача о плавлении, которая описывается уравнением
"'= ^ (^"^) + Ли)'
где функция ч>{и) = 0 на отрезке [а,/3], 0 < а < 0 < оо, и положительна для и [fv,/?]. Приведенное уравнение является линейным по градиенту, тогда как в диссертации рассматривается более общий случай, когда производные по пространственным переменным входят нелинейно в коэффициенты уравнения.
Кроме того, в диссертации изучена начально-краевая задача для уравнения, в котором вырождается коэффициент при щ . Это уравнение с так называемой двойной нелинейностью при производной и, , а также но производным по пространственным переменным."Эти уравнения тесно связаны с уравнениями вида (1) и 'переходят друг в друга после
замены U= \ <р(»}tLs, если функция <р{и) обращается в нуль; напри-
.,...., <> . - ...... ...''.'
мер, только п"точке и — 0. По этой причине'есть попытки объединить
оба типа уравнений в один. Все же пока теоремы существования для
этих типов уравнений доказываются независимо. Отмстим еще работу Иванова А.В., Мкртычана ПЛ., Яегсра 13, /Лап. научи, ссмин. ПОМИ, 1994/, в которой установлена теорема существования положительного решения для уравнения с двойной нелинейностью снова для случая конкретной функции ip(u) = \п\", s > 0. Возможность отказа от требования положительности решения обоснована в работе Лаптева Г.И. /Мат. сб. РАН, 1997/.
Цель работы. Получить результаты о разрешимости начально-краевых задач для квазилинейных параболических уравнений с неявным существенным вырождением, а также изучить особенности краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старшей производной.
Общая методика исследования. При решении поставленных задач используются методы исследования квазилинейных дифференциальных уравнений, созданные в теории монотонных операторов, методы регуляризации и компактности, а также методы, созданные в теории сингулярных возмущений дифференциальных уравнений.
Научная новизна. В работе получены следующие основные результаты:
-
Доказано существование решения начально-краевой задачи для параболического уравнения второго порядка с существенным неявным вырождением, когда функции, составляющие уравнение, могут обращаться в нуль на отрезке.
-
Доказана разрешимость начально-краевой задачи для параболического уравнения второго порядка с двойной нелинейностью.
-
Доказана теорема существования решения параболического уравнения высокого порядка с вырождающимися коэффициентами и неограниченным возмущающим оператором.
-
Доказано существование гладких и негладких решений краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка со знакопеременным коэффициентом при старшей проіпподной; построены решения специального вида и доказано, что они могут быть сколь угодно точно приближены решениями уравнений с малым параметром при старшей производной.
-
Доказана разрешимость краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка, не разрешенного относительно старшей производной.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер. Однако изученные в диссертации классы дифференциальных уравнений имеют своим источником математические модели конкретных физических процессов, в которых необходим учет существенной нелинейности задачи. Результаты диссертации могут быть использованы в этом направлении.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на ежегодных научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава Тульского государственного университета, на Седьмой научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара — 1997), на Международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования" (Москва, март 1998г.). Детально результаты неоднократно докладывались на семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством проф. Г.И. Лаптева. В целом диссертация доложена на заседании кафедры математического анализа Тульского государственного университета и на семинаре по дифференциальным уравнениям Московского энергетического института под руководством проф. Ю.А. Дубинского, а также на семинаре по дифференциальным уравнениям факультета ВМК Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова под руководством проф. В.Г. Сушко.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка цитированной литературы. Общий объем диссертации составляет 173 страницы машинописного текста, включающего 31 рисунок. Библиография содержит 47 наименований работ.