Введение к работе
Актуальность темы. Уравнения Гамильтона-Якоби и другие типи дифференциальных уравнений в частных производных СУЧГО первого порядка рассматриваются во многих раздела-' математики, механики, физики. Как правило, эти уравнения нелинейны, их классические нелокальные решения не существуют. Вместе с тем, для исследуемых проблем содержательно определены функции (возможно негладкие), удовлетворяющие рассматриваемым УЧП всюду, где эти функции дифференцируемы. Таким образом, возникает потребность вводить обобщённые решения. В качестве примера можно привести уравнение Беллмана-Айзекса, которое рассматривается в теории оптимального управления и дифференциальных игр. Этому уравнению удовлетворяет функция цены (функция оптимального результата) в тех точках, гаде она дифференцируема. Однако, как правило, функция цены не является дифференцируемой всюду.
Исследования, относящиеся к обобщенным решениям УЧП первого порядка, проводились многими математиками, начиная с 50-х годов. В 80-х годах М.Дж.Крэндаллом и П.-Л.Лионсом 13 было введено понятие вязкостного решения. Определение вязкостного решения основано на замене исходного уравнения парой дифференциальных неравенств. К этим работам было привлечено внимание многих авторов, которые исследовали различные типы краевых задач и задач Коши для УЧП первого порядка, выроаденных параболических и эллиптических уравнений. ЕЫли изучены вопросы единственности и существования вязкостных решений. Рассматривались также применения теории вязкостных решений к задачам оптимального управления и дифференциальных игр. Упомянутые
^Crnnda?? Af.G..Ltona P.-L. Vlscoaity solutions of HamKton-JacoSl equations // Тгалз. Amer. Math. , » 1.-P. 1-42.
исследования составляют р настоящее время обширную библиографию.
Другой подход к УЧП первого порядка имеет своим источником ис
следования дифференциальных игр. В начале 70-х в работах Н.Н;Кра-
совского и А.И.Субботина Мыли введены u-стабильные и и-стабильныв
функции, которые мажорируют и минорируют функцию цены. Функция цены
дифференциальной игры -единственная функция, обладающая одновремен
но свойствами и и v-стабильности. Известно таклщ, что функция цены
в тех точках, где она дифференцируема, удовлетворяет УЧП первого
порядка (уравнению Беллмана-Айзекса). Таким образом, указанные
свойства определяют-одно и только одно обобщённое С минимаксное) ре
шение уравнения Беллмана-Айзекса. Свойства и и и-стабильности можно
выразить различными способами, в том числе в форме неравенств для
производных по направлениям, введённых в работах , которые были
по-ридимому первыми, где обобщенное решение определено в результате замены уравнения парой дифференциальных неравенстз, 8 дальнейшем было показано ', что предлагаемый подход можно использовать для изучения иглг-жого круга краевых задач и задач Ноши для различных типов УЧП первого порядка, тс есть не только для уравнений Беллмана-Айзекса. При этом сохраняется конструктивная основа подхода, который можно трактовать как редукцию классического метода характеристик. Минимаксное решение должно быть слабо инвариантно относитель-—_
Красовский ІЇ.К., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные
игры. - М.: Наука, 1974.- 456 с.
а)
Субботин А.И., Субботина Н.Н. Необходимые и достаточные условия для кусочно-гладкой цены дифференциальной игры у у Докл. АН СССР. -1978.-Т.243, J. 4.-С.862-865.
Субботин А'.И. Обобщение основного уравнения теории дифференциальных игр уу Докл. АК СССР.-1980.-Т.254, Л8 2.-С.293-297.
но "характеристических" дифференциальных включении, то есть по графику минимаксного решения через любую точку графика должны проходить траектории этих включений.
Заметим, что, несмотря на различное происхождение и форму определений, минимаксные и вязкостные решения оказываются эквивалентными.
Отметим также, что минимаксные операции присущи обобщенным решениям УЧП первого порядка и проявляются не только в исследованиях, связанных с задачами оптимального управления и дифференциальных игр. Наглядный пример - известные формулы Хопфа, в которых обобщённые решения'определены операциями минимакса и максимина. В исследованиях В.П.Маслова, С.Н.Самборского } и их сотрудников решение определяется на основе обобщённого дифференцирования, которое, в своп
очередь, опирается на понятие "скалярного произведения" функций, введённого с помощью операции минимума.
Несмотря на прогресс, достигнутый к настоящему времени в теории обобщённых решении УЧП первого порядка, имеющиеся результаты не являются исчерпывающими.
Диссертационная работа относится к исследованиям минимаксных решений и их приложениям в теории дифференциальных игр.
Цель работы. В диссертации основное внимание уделено уравнениям, гамильтониан которых зависит не только от фазовых переменных
и градиента искомой функции, но и от значения этой функции. Целью —-
Субботин А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-
Якоби. - М.: Наука. 1991.-216 с.
Маслов В.П., Самборский G.H. Стационарные уравнения Гамильтона-Якоби и задачи синтеза оптимальных управлений /v Докл. АН СССР. -1994.-Т.337, №6.-0.721-724.
работы является изучение существования, единственности минимаксных решений задач Кэши для уравнений указанного вида и ограниченных минимаксных решения УЧП первого порядка общего вида. Самостоятельная цель работы состоит в дальнейшем развита метода минимаксных решений. Объектом исследования являются также дифференциальные игры неограниченной продолжимосш и обобщённые решения соответствующих уравнений Беллмана-Айзекса.
Методика исследования В основе исследований лежат результаты теории минимаксных решений уравнений Гамильтона-Якоби *" и теории 'позиционных дифференциальных игр Z^-4J. Также используются понятия и факты из теории оптимального управления, выпуклого анализа и оптимизации недифференцируемых функций.
Научная новизна. Диссертационная работа относится к новому направлению в теории уравнений Гамильтона-Якоби и других типов УЧП первого порядка. Исследования в этой области привлекают внимание многих отечественных и зарубежных -лтема-jiiKOB. Работа содержит также результата, относящиеся к смежным проблемам негладкого анализа и теории дифференциальных игр. В диссертации представлены исследования, выполненные автором в 1985-1991 годах. На момент опубликования результатов этой работы они были новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Исследования обобщённых решений УЧП первого порядка представляют самостоятельный математический интерес и имеют важные приложения в теории управления, дифференциальных играх, в некоторых разделах механики и физики. Диссертационная работа дополняет знание в этой области новыми результатами. Важное качество метода минимаксных решений состоит в его конструктивности, в работе, возможности этого метода применены для новых типов УЧП первого порядка. Получены приложения к задачам оп-
тимального управления и дифференциальных игр, в частности, получены новые результаты для дифференциальной игры неограниченной продолжимости с целевым функционалом, типичным для задач математической экономики. Попутно получен результат, выражающий важное свойство негладких функций.
Апробация работы,. Основные результаты работы докладывались на VII Всесоюзной конференции "Управление в механических системах" -(Екатеринбург, 1990), конференции молодых ученых Института математики и механики УрО РАН (Екатеринбург, 1983) и обсуждались на семинарах отдела динамических систем Института математики и механики УрО РАН, кафедры прикладной математики Уральского госуниверситета.
Публикацииf По теме диссертация опубликовано 7 работ [1-7).lb работ, опубликованных в соавторстве с А.И.Субботиным и A.M.Тарасовым, в диссертацию включены результаты, полученные автором диссертации.
Структура и оо>бм работы, диссертация состоит из введения, трвх глав, приложения и списка литературы из 47 наименований, и занимает 149 страниц машинописного текста.