Введение к работе
Г0.' Актуальность темы Переопределенные системы линейных д.у. "' возникают в различных разделах современного естествознания при моделировании процессов, характеризующихся сильно связанными между собой величинами. Развитие (формальной) теории переопределенных систем СС. Ли, 3. Картай, Л.К. Спенсер, С. Стернберг и др.) вывело теории уравнений с частными производными за классические рамки аначиза и привнесло ъ эту теорию идей и достижения целого ряда математических дисциплин: дифференциальной геометрии, алгебракческой топологии, коммутативной алгебрн и др.
Эвристическое определение переопределенной (неоднородной) системы д.у. Pu»f заключается б тем, что существует д.о. Р^ Ф О, для которого композиция Р,| Р (определена я) = 0. Тогда для разрешимости этой системы необходимо, чтобы Р,, і = о . Л.К. Спенсер СІ969) предлагает сразу называть переопределенной системой д.у. пару (Р, Р^) , где Р.. Р - о,
Из сказанного понятно, что теория переопределенных сметем д.у. есть теория комплексов д.о., или дифференциальных комплексов,
е-(Х): О— v'(X) ~v (?1 (X) -v ... 1* SN(X) —О, (Т.)
где 3^(1-0, N) - (ко-) пучки-ростков сечений класса в некоторых векторных расслоений Е нзд дифференцируемым многообразием X, а Р - дифференциал комплекса, определенный последовательностью д.о- Р^оо^СК1 -*ї1+ ) с Р^+1Р^"0 по Формулfj I f = Р± t для ft За(Х) .
Л. у. - Д7! фф аоенциальное ураяьенуе,
In.) д.о. - ІПСЄЕДС-) диі'форенц.іалм-гчп оператор.
Примарам переопределенной системы д.у. является система Коши - Римана в Сп, где п>1. Тогда комплекс (I) суть комплекс Дольбо. Этот пример не случаен» поскольку комплексный анализ и теория переопределенных систем тесно связаны. С одной стороны, классические исследования К. Ока, К, Кодаиры, П. Дольбо, Е.-П. Серра, Дж.Длс. Кона, Л. Хермандера к др., посвященные аналитическим функциям многих переменных, дают богатую интуицию к зачастуе трактуются в контексте решений общих переопределенных систем д.у. С другой сторони, в начале 60-х годов 5 работах Л. Эренпрайса, Б. Мальграяжа, Е.П. Паламодова и др. была построена обцая теория переопределенных систем д.у. с постоянными коэффициентами (или комплексов Гильберта), в которой аналитические функции выступают и мощным средством исследования. В основе этой теории лежал "фундаментальний принцип" Л. Эренпрайса (I960), согласно которому каждое решение системы д.у. с постоянными коэффициентами есть интеграл с подходящей мерой по множеству экспоненциальных реивкий системы. Отдельные фрагменты теории позднее были перенесены на переопределенные системы д.у, с весественно аналитическими (Б. Мальг-ранж, Е.П. Лаламодов, Л.К. Спенсер и др.) или с периодическими коо4Фиш:ентами (теория ч\локе П.С. Кучм'ента).
Б методическом плане наиболее близкими к переопределенным системам д.у. с постолккыми коэффициентами являются система д.у. с инъектипным символом. Это пенлтие является естесі-і'СКпЬім обо'і'деккеь алгьбраичйскогс условие. эллиптичности на пи--ьеог.рсде/Ен.нш системи v. ЗоЛ'ік.чя.ется '.-. т')'/., что отображение сиььо.'а ^!х> ость и.'-ъекииа. Построение /7..: own* ссв.лєсїностк пео дкор.'ДГЬ'. chctcv і.у. ; ккт-еьлиыим ?.м'.і-плоч пркьслпт к так назнвгісчун ».':;, '.'.гти'.є;'.".;:'-' '.сомг.'лекг'.у .'. ,, г.иторыо хар-иле-т-иг-уг'.'ел точ,:.іст'..і. ь.ч ус:>ьпс опмьолоь >j.rl. Сгенсео л др.). йх
имерами является классические комплекси до Рама и Лольбо, раюшие большую роль в геометрии. Н. де Рам б своей значенн-й монографии (1955), изучая потеки на дифференцируемых мно-образиях, подсказал подход к эллиптическим комплексам, кото-й основан на понятии парамзтрккса. Эта подсказка оказалась1 еждевременной, поскольку не могла быть реализованной- до по-
ЛЄИИЯ современной Теории П.Д.О., КОТОраЯ ТребуеТСЯ ДЛЯ'ІЇОСТ'-
ения и оперирования с параметриксамл общих эллиптических мплексов. Начиная с конца 60-х 7ЭДОВ, метод . параметре.кса нтегральных представлений) очень активно разрабатывал ся* в мплексном анализе, в основном, применительно к- 'о4'-.проблеме . Коппельман, Г.М. Хенкик, S.M. Чирка, Р. Харви'Ч'Л- Дій1 Пол-нг, И. Либ и Р. Рэйндк и др.). Однако развитие языка и су-ственное упрочение технологии б таких областях математики, .к дифференциальная геометрия, алгебраическая топология, тео-я п.д.о. и др., открыли возможность для пэреоомысления под-да Ж. де Рама з^контексте общих эллиптических комплексов. рвым шагом здесь было построение глобальной теории (.Ходжа) я оллиптических комплексов на компактных многообразиях (М.Ф.. ья и Р. Ботт, Т. Котаке и др.) и разработка основ теории эл-птичееккх дифференциально-граничных комплексов (В. Липла? к -В. ІНульце, С.Н. Самборский и др.).
Вместе с тем ряд актуальных задач теории уравнений с ча-нкни производными и оэ приложения привел к необходимости зработки метода параметрикса и других методов комплексного ализа для эллиптических комплексов на некомпактных многооб-.яиях.
. Цзль исследования Целью диссертационной работы
является : I) систематическая разработка методов комплексного ана/и--
за, в основном, истода парамотрккса, в теории эллиптических комплексов на многообразиях;
2.) установление связей теории эллиптических комплексов с гомологической алгеброй и другими разделами алгебраической топологии;
3) применение разработанных методов к исследованию пиро-кого спектра вопросов, связанных с когомологиями оллиптичос-г.цу. комплексов, таких, как существование фундаментальных ре-пений, теория двойственности, краевые задачи, когомологик с носителем в точке, задачи аппроксимации, задача Коши с данными на куске граница области и др.
3е. Общая нзтодика Основная методика исследова-
ксследования . иия- синтез методов комплексного анализа с: I) теорией распределений с векторными значениями Л. Шварца, в частности, аппаратом топологических тензорных произведений А.Гротендика;;-. 2) гомологической алгеброй и теорией пучков; 3) современной теорией п.д.о. и 4) основными теоремами линейного функционального анализа.
4. Научная новизна и Развиты: I) метод параметри-
практическал цен- кса (интегральных представ-ность диссертации лений); 2) метод когомоло-
гий Чеха; 3} таблица скачков граничных интегралоЕ (формулы Сохоцкого - Племеля); 4) не-. тод разложзни.ч реиенлк е ряд Лорана; 5) аппарат специальных ємкосте?.; 6) язик пространств Харди, - и др. методы комплекс-ноге анализа в .контексте решений общих переопределенных систем ?.у. с кч-ьективным символом. Получены многочисленные применения р?.зрабс7а.чных методов. Ьсе результаты диссертации является новими. Ь части, связанной с.злли:ляческими комплекса-
ми Сгл. і-3), они могут бить использованы в геометрии а теоретической физике. Результаты, относящиеся к устранимом особенностям и аппроксимации, жопт многочисленные п' чменетгип к основным проблемам уравнении с частники производными - краевым задачам. Наконец, результаты последней (6-й) главы, связанные с некорректными задачами, представляют ценность во многих вопросах естествознания.
5. Апробация Материали диссертации неод-
Всесоюзных конференциях по теория операторов в функциональных пространствах (Новосибирск, 1985; Челябинск, I9S6), во теории функций и дифференциальным уравнениям (Черноголовка, 1933; 1987), по геометрии и анализу (Новосибирск, 1959), на Всесоюзных шчолах-семкнарах "Нокоррзктпие задачи математической физики и анализа1' (Красноярск, 1986), "Комплексний анализ и математическая физика" (Дивногсрск, 1987), "Актуальнее вопросы комплексного ана'/иза" (Тшілсент, 1989), а также на научно-исследовательских семинарах npv* Институте математики СО АН СССР (Новосибирск, 1903; 1935; 1983), Уральском государственной университете (СвердлоЕск, 1933), Московском государственном университете (IS83; 1986; 1959) и Математическом-институте им. В.А.Стеклова АН СССР (Мосісес, Ї969; Ленинград, 1989). Некоторые результаты диссертации включены в книги -5.А. Аязе»-.-берга "Формулы Кэрлемаиа в комплексном в"ализе,, Первые приложения" (Новосибирск: паука, 1990) и А.П. Копылова "Устойчивость в С-корме классов отображении" (.Новосибирск: Наука, 1990), а такне б монографиях других авторов.
6. Публикации Основные результаты диссер-
тации опубликованы в работах _'.J - [30] ч отраизни в монографиях [31], [32].
7. Структура и объ- Диссертация состоит из введе
ем диссертации ния, 0 предварительных све
дений и б глав. Главы раэде лены на 24 параграфа, параграфи разбиты на пункты с самостоя тельными названиями. Объем диссертации 330 машинописных стра ни.', список цитированной литературы содержит 243 наименования