Методы и алгоритмы построения негладких решений краевых задач теории позиционных дифференциальных игр и оптимального управления Успенский Александр Александрович

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1. Характеризация невыпуклых множеств 44

1.1. Понятие «-множества 45

1.3. Пример немажорируемого «- множества 54

1.4. Биссектриса множества. Определения псевдовершины множества и крайней точки биссектрисы 61

1.5. Примеры построения биссектрисы множества и вычисления меры невыпуклости 68

1.6. Псевдовершина кривой как точка стационарной кривизны 73

1.7 Отделимость «-множеств 78

ГЛАВА 2. Численно-аналитический метод решения краевой задачи дирихле для уравнения типа эйконала

2.1. Постановка задачи 92

2.2. Структура минимаксного решения задачи Дирихле для уравнения типа эйконала 95

2.3. О продолжимости локального решения уравнения, связывающего параметры краевой задачи

2.4. Условия трансверсальности ветвей решения уравнения, связывающего параметры, в вырожденном случае 116

2.5. Теорема о предельных значениях производных локальных диффеоморфизмах 1 2.6. Понятие псевдопроизводной 140

2.7. Формулы исчисления крайних точек сингулярного множества 146

2.8. Необходимые условия существования псевдовершин краевого множества в случае параметрически заданной границы 166

2.9. Необходимые условия существования псевдовершин краевого множества в условиях разрыва кривизны его границы 201

2.10. Производные в силу диффеоморфизмов и их приложения в теории управления и геометрической оптике 216

2.11. Примеры 240

ГЛАВА 3. Оператор стабильного поглощения и порождаемые им разностные схемы приближенного построения функции цены дифференциальной игры 250

3.1.Постановка задачи, основные понятия, определения и формулировки 251

3.2. Разностные операторы 259

3.3. Свойства операторов шага. Формулировка основного результата 263

3.4. Построение миноранты и мажоранты минимаксного решения 269

3.5. Оценка рассогласования разностных операторов 275

ГЛАВА 4. Дефект стабильности множества в дифференциальной игре 286

4.1. Дифференциальная игра сближения-уклонения предписанной продолжительности 287

4.2. Дифференциальные свойства огибающих 289

4.3. Поверхность, построенная с помощью дискриминантных преобразований плоских кривых 3 4.4. Регуляризирующее отображение и его свойства. Объемлющий путь 315

4.5. Оценка дефекта стабильности объемлющего пути 332

4.6. Пример вычисления дефекта стабильности объемлющего пути для линейной дифференциальной игры 340

4.7. Моделирование решений дифференциальных игр в одном классеневыпуклых множеств с гладкой границей 348

Заключение 364

Список литературы

• Биссектриса множества. Определения псевдовершины множества и крайней точки биссектрисы
• О продолжимости локального решения уравнения, связывающего параметры краевой задачи
• Свойства операторов шага. Формулировка основного результата
• Дифференциальные свойства огибающих

Введение к работе

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности.

Задачи оптимального управления и дифференциальные игры тесно связаны с краевыми задачами Коши и Дирихле для уравнений в частных производных первого порядка (УЧППП) и особенно – с краевыми задачами для уравнений типа Гамильтона-Якоби (УГЯ). При этом математические модели, которые формализуются в виде краевых задач для УЧППП и УГЯ, встречаются в различных разделах математики, физики, механики, акустики, при решении прикладных задач экономики, экологии, биологии и многих других отраслей знания. Объединяющая эти задачи особенность – негладкость, присущая их решениям, которые понимаются здесь в обобщенном смысле. Наличие у функций свойства недифференцируемости существенно затрудняет их построение как в аналитическом виде, так и в аппроксимационной форме. Многообразие сфер приложения УЧППП и УГЯ и сложности формирования обобщенных решений этих уравнений мотивируют исследователей на создание и развитие методов и разработку алгоритмов конструирования таких функций.

Всплеск интереса к изучению негладких решений УЧППП обозначился в середине XX-го века. В 50-70-е годы недифференцируемые решения краевых задач для УЧППП исследовались в работах как отечественных, так и зарубежных математиков. Они прибегали к обобщению классического метода характеристик, сводящего решение краевой задачи к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений, либо использовали иные подходы, опирающиеся, в частности, на методы и конструкции функционального анализа и математической физики.

В начале второй половины прошлого века стала формироваться теория дифференциальных игр. Одна из первых постановок антагонистических игр принадлежат Р. Айзексу¹, работы которого оказали значительное влияние на развитие динамического программирования, становление которого связано с трудами Р. Беллмана². Фундаментальный вклад в построение теории математического управления (как в игровой постановке, так и в рамках концепции оптимального управления) внесли научные школы академиков Н.Н. Красовского^3,4,5,6 и Л.С. Понтрягина^7,8.

¹ Айзекс Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967. 479 с.

² Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. 400 с.

³ Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 475 с.

⁴ Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

Унифицикация, введенная в дифференциальные игры Н.Н. Красовским^9,10, вскрыла наличие глубокой взаимосвязи теории позиционных дифференциальных игр с теорией обобщенных решений УЧППП и УГЯ, в том числе, с теорией минимаксных решений А.И. Субботина¹¹ и теорией вязкостных решений математической физики М.Дж. Крэндалла и П.Л. Лионса¹². Современная теория минимаксных и/или вязкостных решений УГЯ базируется на ключевом свойстве слабой инвариантности (стабильности) графиков таких решений относительно обобщенных характеристик – решений дифференциальных включений, определяемых гамильтонианом уравнения¹³. Гладкие (классические) и кусочно-гладкие решения подходящих УГЯ составляли основной инструмент в исследованиях дифференциальных игр еще в работах Р. Айзекса и Р. Беллмана.

Тематика краевых задач Коши и Дирихле для УЧППП и, в том числе, УГЯ находится в тесной взаимосвязи с проблемами и задачами, относящимися к конструированию и оценке множеств достижимости и трубок траекторий управляемых систем. К настоящему времени в работах А.Б. Куржанского^14,15, Ф.Л. Черноусько¹⁶ и их сотрудников^17,18,19,20 предложен

ряд методов приближенного вычисления множеств достижимости и трубок

⁵ Ушаков В.Н. К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения //

Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1980. №.4. С.29-36.

⁶ Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. 288 с.

⁷ Понтрягин Л. С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных

процессов. М.: Физматгиз, 1961. 391 с.

⁸ Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1966. 308 с.

⁹ Красовский Н.Н. К задаче унификации дифференциальных игр // Докл. АН СССР. 1976. Т. 226, № 6. С.

1260-1263.

¹⁰ Красовский Н.Н. Унификация дифференциальных игр // Тр. Ин-та математики и механики УНЦ АН

СССР. Свердловск, 1977. Вып. 24: Игровые задачи управления. С. 32-45.

¹¹ Субботин А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби. М.: Наука. 1991. 214 с.

¹² Crandall M.G., Lions P.L. Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations. em Trans. Amer. Math.Soc. 1983.

Vol. 277. No. 1. P. 1-42.

¹³ Субботина Н.Н., Колпакова Е.А., Токманцев Т.Б., Шагалова Л.Г. Метод характеристик для уравнения
Гамильтона–Якоби–Беллмана // РИО УрО РАН, Екатеринбург. 2013. 244 с.

Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 390 c. Kurzhanski A.B., Vlyi I. Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control. Boston. Birkhuser, 1997. 321 p. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988. 319 с. Kurzhanski A.B., Filippova T.F. On the theory of trajectory tubes - a mathematical formalism for uncertain

dynamics, viability and control // Advances in Nonlinear Dynamics and Control. Boston: Birkhauser, 1993.

P.122-188. Черноусько Ф.Л., Ананьевский И.М., Решмин С.А. Методы управления нелинейными механическими

системами. М.: Физматлит, 2006. 328 с.

Филиппова Т.Ф. Дифференциальные уравнения эллипсоидальных оценок множеств достижимости

нелинейной динамической управляемой системы // Тр. ИММ УрО РАН. 2010. Т.16, № 1. С.223–232.

Гусев М.И. Внутренние аппроксимации множеств достижимости управляемых систем с фазовыми

ограничениями // Тр. ИММ УрО РАН. 2013. Т.19, № 4. С.73–88.

траекторий для некоторых классов управляемых систем. На базе этих методов разработаны вычислительные алгоритмы.

Работы Л.В. Овсянникова²¹, его последователей и учеников²², выполненные на стыке алгебры и математического анализа, позволили создать методы и алгоритмы для эффективного исследования конкретных дифференциальных уравнений, возникающих в качестве математических моделей в физике, механике, теории управления, вычислительной математике и других областях знания.

Полезными с точки зрения создания конструктивных подходов к построению обобщенных решений краевых задач УЧППП, оказались методы теории особенностей дифференцируемых отображений, разработанные В.И. Арнольдом²³, его коллегами и последователями. Средствами этой теории, в частности, формируются списки типичных особенностей каустик и волновых фронтов, предлагаются подходы к построению дискриминантных множеств. Эти же подходы распространяются на задачи геометрической оптики, позволяя формировать эволюцию волновых фронтов, конструировать эйконал – обобщенное в смысле С.Н. Кружкова²⁴ решение соответствующего УЧППП. Здесь уместно, говоря о переплетении задач разных теорий, подчеркнуть, что обобщенный эйконал связан с функцией оптимального результата соответствующей задачи управления по быстродействию.

Круг исследователей, занимавшихся и продолжающих заниматься
изучением обобщенных решений уравнений в частных производных и их
приложениями, обширен. Негладкие решения краевых задач для УЧППП
исследовались в работах Н.Н. Кузнецова, С.К. Годунова, С.Л. Соболева,
Н.С. Бахвалова, О.А. Олейник, Е. Хопфа, П. Лакса, В. Флеминга и многих
других математиков. Существенные результаты по теории динамических игр
и смежным вопросам получены отечественными и зарубежными
математиками А.В. Кряжимским, Е.Ф. Мищенко, М.С. Никольским,
Ю.С. Осиповым, Л.А. Петросяном, Б.Н. Пшеничным, Н.Н. Субботиной,
В.Н. Ушаковым, А.Г. Ченцовым, Р.Е. Калманом, Дж. Лейтманом,

П.-Л. Лионсом, А. Фридманом и другими авторами. Наряду с упомянутыми

²¹ Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 339 с.

²² Боровских А.В. Группы эквивалентности уравнений эйконала и классы эквивалентных уравнений //
Вестник НГУ. 2006, № 4. С. 3-42.

²³ Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов // М.: «Фазис», 1996. 334 с.

²⁴ Кружков С.Н. Обобщенные решения уравнений Гамильтона-Якоби типа эйконала, I.// Матем. сборник.

1975. Т. 98, Вып. 3. С. 450-493.

выше специалистами весомые результаты в рамках теории оптимального
управления, теории дифференциальных игр и их приложений получены в
работах Э.Г. Альбрехта, Б.И. Ананьева, А.В. Арутюнова, С.М. Асеева,
В.И. Благодатских, Ю.И. Бердышева, В.Г. Болтянского, А.С. Братуся,
Р.Ф. Габасова, Р.В. Гамкрелидзе, H.Л. Григоренко, М.И. Гусева,

А.Р. Данилина, В.Н. Дыхты, Г.Е. Иванова, М.И. Зеликина, В.И. Зубова,
Ф.М. Кирилловой, А.Ф. Клейменова, А.И. Короткого, Е.К. Костоусовой,
Ю.С. Ледяева, А.В. Лотова, Н.Ю. Лукоянова, В.И. Максимова,

А.А. Меликяна, Б.Ш. Мордуховича, В.С. Пацко, Н.Н. Петрова,

Е.С. Половинкина, Б.Т. Поляка, Д.А. Серкова, А.Н. Сесекина,

А.С. Стрекаловского, Л.И. Родиной, А.М. Тарасьева, А.А. Толстоногова, Е.Л. Тонкова, В.Е. Третьякова, В.И. Ухоботова, Т.Ф. Филипповой, С.В. Чистякова, А.Ф. Шорикова, Л. Берковица, А. Брайсона, П. Варайя, М.Дж. Крэндалла, В. Лакшмикантама, Хо Ю-Ши.

Процедуры численного построения решений дифференциальных игр и обобщенных решений УГЯ разрабатываются в рамках теории вязкостных решений зарубежными специалистами М. Барди, М. Фальконэ, С. Ошером и П. Суганидисом. Алгоритмы построения на сетках обобщенных решений уравнений гамильтонова типа и уравнений типа эйконала развивает Дж.А. Сифиан (J.A. Sethian) и его коллеги.

Важно отметить, что развитие новых подходов при построении недифференцируемых решений УЧППП, основных разрешающих конструкций теории позиционных дифференциальных игр и оптимального управления идет благодаря концепциям негладкого анализа, восходящим к работам У. Дини, Ф. Кларка, Ж.П. Обэна, Р.Т. Рокафеллара, В.Ф. Демьянова и других специалистов.

Цели и задачи. Целью диссертационной работы является разработка методов и алгоритмов построения негладких решений дифференциальных игр, задач управления, а также задач геометрической оптики.

В диссертации исследуются следующие задачи и проблемы:

I. Построение обобщенного решения краевой задачи Дирихле для УЧППП типа эйконала с постоянным коэффициентом преломления среды в контексте решения задачи управления по быстродействию с целевым множеством сложной геометрии (невыпуклым и допускающим негладкость границы).

II. Построение обобщенного (в минимаксном смысле) решения краевой задачи Коши для УГЯ с положительно однородным по импульсной переменной гамильтонианом в контексте решения позиционной дифференциальной игры сближения-уклонения с терминальной платой.

1. Изучение свойств некоторых классов невыпуклых множеств, разработка методов вычисления меры (коэффициента) невыпуклости для различных классов плоских замкнутых множеств, развитие теории отделимости для некоторых классов невыпуклых множеств, приложение полученных результатов для построения сингулярных множеств решений в задачах управления по быстродействию и задачах геометрической оптики.

2. Изучение понятия дефекта стабильности на множествах различной геометрии; выделение классов множеств со свойствами, обеспечивающими их использование при построении решений дифференциальных игр и задач управления, рассматриваемых в отличных от строгих классических постановок, допускающих приведение движений динамических систем не точно на цель, а в некоторую окрестность целевого множества.

Методология и методы исследования. В диссертационной работе используются методы теории позиционных дифференциальных игр, развиваемые в научной школе по теории управления Н.Н. Красовского. Используются конструкции теории минимаксных (обобщенных) решений УЧППП А.И. Субботина. Результаты исследования опираются также на методы и конструкции, развитые и развиваемые в рамках теории оптимального управления, теории особенностей гладких отображений. Используются методы и конструкции выпуклого и негладкого анализа, дифференциальной геометрии, а также оригинальные конструкции.

Научная новизна. Все полученные в работе результаты являются новыми.

Основные результаты диссертации. Положения, выносимые на защиту.

1. Выявлены и описаны характерные признаки и особенности

замкнутых множеств конечномерного евклидова пространства в терминах скалярной функции, значения которой имеют смысл угловых величин, а супремальное значение выражает степень невыпуклости множества. Осуществлена классификация невыпуклых множеств по признакам регулярности и мажорируемости (в силу введенных определений). Введены в

рассмотрение основные структурные элементы развиваемой теории (биссектриса множества, псевдовершина множества, крайняя точка биссектрисы, обобщенная гиперплоскость). Для некоторых классов невыпуклых множеств сформулированы и доказаны утверждения, аналогичные теоремам из выпуклого анализа о существовании опорной гиперплоскости выпуклого множества и об отделимости выпуклых множеств в евклидовом пространстве.

2. Изучены свойства функции оптимального результата в задаче
управления по быстродействию для вектограммы скоростей частного вида.
Установлена связь этой функции с обобщенным решением краевой задачи
Дирихле для уравнения типа эйконала. С помощью техники исследования,
основанной на свойствах локальных диффеоморфизмов, выявлены условия
возникновения сингулярности у решения. Развит теоретический аппарат
выявления сингулярных множеств для случая невыпуклого краевого
множества, имеющего кусочно-гладкую границу. Показано, что структура
сингулярного множества определяется геометрией краевого множества и
дифференциальными свойствами его границы. Приведены формулы
вычисления крайних точек сингулярного множества. Создана совокупность
численно-аналитических подходов к построению основных структурных
элементов функции оптимального результата – псевдовершин целевого
множества, крайних точек сингулярного множества, ветвей сингулярных
кривых.

3. Введены в рассмотрение четыре типа производных в силу
диффеоморфизмов. Созданы основы соответствующего дифференциального
исчисления, которое предназначено, в частности, для описания
сингулярностей обобщенных решений УЧППП. Эффективность подхода
продемонстрирована на примере построения минимаксного решения краевой
задачи Дирихле для уравнения типа эйконала.

4. Для дифференциальной игры сближения-уклонения,
рассматриваемой на отрезке времени фиксированной продолжительности,
доказана сходимость к функции цены разностных схем, основу которых
составляют операторы шага (по времени) максиминного типа, применяемые
к регуляризациям посредством локального овыпукления аппроксимаций
сужений функции цены в моменты времени. Полученнная оценка
сходимости разностных схем согласуется с оценками для разностных
операторов, полученных в рамках вязкостного подхода к определенияю

обобщенного решения соответствующего уравнения в частных производных первого порядка.

5. Исследованы теоретические и практические аспекты проблемы

привлечения для решения дифференциальных игр множеств, не обладающих
ключевым свойством стабильности (слабой инвариантности). С этой целью
введено в рассмотрение отображение, базу которого составляют
дискриминантные преобразования плоских кривых. Выявлен
регуляризующий (сглаживающий) эффект этого отображения,
рассматриваемого на одном классе кусочно-гладких поверхностей в
трехмерном пространстве. Найдена оценка для дефекта стабильности
трехмерного множества, полученного деформацией максимального
стабильного моста в дифференциальной игре «в момент» с помощью
упомянутого отображения. Оценка для дефекта стабильности зависит
квадратичным образом от коэффициента регуляризации и свидетельствует о
возможности построения управляющих воздействий за игрока, решающего
задачу сближения, гарантирующих приведение движений динамической
системы на цель в нестрогом смысле – в некоторую окрестность целевого
множества, размер которой поддается оценке через дефект стабильности
множества. Теоретические результаты иллюстрируется на примере решения
известной нерегулярной игры. Практические аспекты исследования
дополняются изложением алгоритмов построения решений

дифференциальных игр в классе невыпуклых трехмерных множеств, имеющих гладкие границы сечений по времени с разрывной кривизной.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Диссертационная работа имеет теоретическую и прикладную
направленность. Полученные в ней результаты могут быть использованы
для дальнейшего исследования обобщенных решений уравнений в частных
производных и уравнений гамильтонова типа. Развиваемые в работе методы
приложимы для выявления и построения сингулярных особенностей
решений в задачах оптимального управления и дифференциальных играх.
Предложенные в работе аппроксимационные операторы позволяют
численно конструировать функцию цены для дифференциальной игры
сближения-уклонения «в момент». В диссертации предложены реализуемые
на практике процедуры приближенного построения разрешающих
конструкций в игровых задачах управления, которые базируются на
обобщении понятия стабильности. Приведенная в диссертации

характеризация невыпуклых замкнутых множеств связана с задачей

выявления и построения сингулярных множеств при решении УЧППП и УГЯ, но при этом представляет самостоятельный интерес с точки зрения развития методов исследования множеств средствами негладкого анализа.

Степень достоверности и апробация результатов. Результаты диссертации приведены в виде строгих математических утверждений, а также примеров и иллюстраций, демонстрирующих применение этих утверждений. Все результаты диссертации обоснованы. Их достоверность и непротиворечивость подтверждается применением строгих математических методов исследований, публикацией работ в открытой печати в ведущих рецензируемых изданиях и апробацией результатов диссертации. Результаты докладывались на научных вузовских, академических и специализированных научных площадках России в городах Москва, Санкт-Петербург, Новосибирск, Екатеринбург, Нижний Новгород, Казань, Челябинск, Иркутск, Тамбов, Снежинск, а также на международных семинарах и конгрессах: Международный семинар IFAC “Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации” (Челябинск, 1993 г.); Международный симпозиум 8th International Symposium on Dynamic Games and Applications (July 5-8, 1998, Chateau, Vaalsbroek, Maastricht, The Neterlands); Всероссийская научная конференция «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (Екатеринбург, 2001 г., 2004 г., 2008 г.); Всероссийская конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» (Екатеринбург, 2003 г.); Международная конференция "Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения " (Тамбов, 2009 г., 2011 г., 2013 г., 2015 г.); Международный семинар «Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби» (Екатеринбург, 2005 г.); 9 Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2006 г.); 9-ая Международная Четаевская конференция (Иркутск, 2007 г.); Международная конференция памяти И.Г. Петровского (Москва, 2007 г.); Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина (Москва, 2008 г.); Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений» (Новосибирск, 2008 г.); Международный семинар им. Е.С. Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2008 г.); Международная конференция «Управление динамическими системами» (Москва, 2009 г.); Всероссийская конференция «Динамические системы. Управление и наномеханика» (Ижевск, 2009 г.); 9 Международная Казанская

летняя научная школа-конференция (Казань, 2009 г.); Международная конференция «Актуальные проблемы теории устойчивости и управления» (Екатеринбург, 2009 г.); XI Международная конференция «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2010 г.); Международная конференция «Забабахинские научные чтения» (Снежинск, 2010 г., 2012 г.); Всероссийская конференция, посвященная 80-ти летию со дня рождения В.И. Зубова «Устойчивость и процессы управления» (Санкт-Петербург, 2010 г.); 14-ая Всероссийская конференция «Математическое программирование и приложения» (Екатеринбург, 2011 г.); Международная конференция International Conference "Dynamical System Modeling and Stability Investigations" (Department of Complex System Modeling, Faculty Cybernetics, Taras Shevchenko National University of Kyiv, Ukraine, 2011); Международная конференция, посвященная 110-ой годовщине И.Г. Петровского (Москва, 2011 г.); Всемирный конгресс Международной федерации по автоматическому управлению 18th IFAC World Congress (Milan, 2011 г.); Международная конференция по системному моделированию и оптимизации 25th IFIP TC 7 Conference on System Modeling and Optimization (Berlin, 2011 г.); Конференция «Дифференциальные уравнения и оптимальное управление», посвященная 90-летию со дня рождения академика Е.Ф. Мищенко (Москва, 2012 г.); Международная конференция «Конструктивный негладкий анализ и смежные вопросы» (Санкт-Петербург, 2012 г.); Международный семинар 12th Viennese Workshop "Optimal Control, Dynamic Games and Nonlinear Dynamics" (Laxenburg, 2012); Семинар Международной федерации по автоматическому управлению 15th IFAC Workshop on Control Applications of Optimization (Rimini, Italy, 2012); Семинар кафедры математической теории моделирования систем управления факультета прикладной математики — процессов управления СПбГУ, руководитель семинара профессор В.Ф. Демьянов (Санкт-Петербург, 2013 г.); 12-ое Всероссийское совещание по проблемам управления (Москва, 2014 г.); Международная конференция, посвященная 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Красовского «Динамика систем и процессы управления» (Екатеринбург, 2014 г.); Всероссийская конференция "Математическое программирование и приложения", посвященная памяти академика И.И. Еремина (Екатеринбург, 2015 г.); II Международный семинар «Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби», посвященный 70-летию со дня рождения академика А.И. Субботина (Екатеринбург, 2015 г.);

Семинар кафедры «Математической теории игр и статистических решений» Санкт-Петербургского государственного университета, руководитель семинара профессор Л.А. Петросян (2015 г.); Десятый международный симпозиум IFAC “Нелинейные управляемые системы” (NOLCOS 2016, Monterey, USA, 23-25 August, 2016); Семинар кафедры дифференциальных уравнений Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, руководитель семинара профессор А.С. Шамаев (2016 г.); Семинар кафедры системного анализа Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, руководитель семинара академик А.Б. Куржанский (2016 г.); Семинары отдела динамических систем Института математики и механики имени Н.Н. Красовского УрО РАН, руководители семинара чл.-корр. РАН В.Н. Ушаков и профессор А.М. Тарасьев (1997-2017 гг.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1-54]. Статьи [1-37] опубликованы в ведущих рецензируемых научных изданиях: российских из Перечня ВАК [1, 2, 4-6, 8-10, 12-20, 22, 23-25, 35] и приравненных к ним зарубежных [3, 7, 11, 21, 24, 36, 37]. При этом 17 работ [1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16, 19, 20, 21, 23, 24, 30, 35, 36, 37] включены в международные реферативные базы данных Web of Science и/или Scopus.

Личный вклад. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Из опубликованных в соавторстве работ в диссертацию включены только результаты автора. Автор диссертационной работы предложил разностные операторы для построения функции цены дифференциальной игры с нелинейной динамикой, изучил их свойства, доказал аппроксимативность операторов, некоторые из которых реализовал в виде вычислительных программ [1-7, 38-43, 48, 52, 54]. Разработал методы решения одного класса задач быстродействия со сложной геометрией целевого множества и родственного ему класса задач геометрической оптики на основе введенного им множества симметрии, применив и развив технику анализа, основанную на свойствах локальных диффеоморфизмов [8-17, 21, 25, 28-31, 33, 35, 37, 46, 47, 49, 51, 53], указал приложения в задачах аппроксимации множеств [27, 36]. Изучил теоретические аспекты проблемы привлечения для решения дифференциальных игр множеств, не обладающих ключевым свойством слабой инвариантности, доказав ряд утверждений, имеющих практическую значимость, предложил алгоритмы построения основных конструктивных элементов, разрешающих дифференциальные игры при ослабленных постановках [18-20, 22-24, 26]. Развил новую теорию,

направленную на изучение свойств замкнутых множеств в конечномерном евклидовом пространстве, введя новые понятия и доказав теоремы об отделимости для некоторых классов невыпуклых множеств [32, 34, 44, 45].

Исследования рассматриваемых в диссертации задач проводились при поддержке грантов РФФИ № 99-01-00146, 02-01-00769, 05-01-00601, 08-01-00587, 11-01-12088, 11-01 -00427а, 14-01-00486_а, грантов Президента РФ по поддержке ведущих научных школ № НШ-791.2003.1, НШ-8512.2006.1, НШ-2640.2008.1, НШ-64508.2010.1, НШ-5927.2012.1, Федеральной целевой программы фундаментальных исследований РАН «Фундаментальные проблемы в нелинейной динамике», интеграционного проекта Уро РАН и СО РАН «Развитие теории и приложений минимаксных решений уравнений Гамильтона-Якоби и позиционного оптимального управления к задачам динамической реконструкции и законам сохранения», Программы фундаментальных исследований Президиума РАН «Математические задачи современной теории управления» (проект № 0387-2015-0075 «Позиционные дифференциальные игры, уравнения Гамильтона-Якоби и их приложения»), Программы УрО РАН «Современные проблемы алгебры, анализа и теории динамических систем с приложениями к управлению сложными объектами» (проект №15-16-1-13 «Позиционное управление динамическими системами в условиях конфликта и неопределенности»). Работы в рамках указанных программ и проектов осуществлялись автором в кооперации с сотрудниками отдела динамических систем ИММ УрО РАН.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Общий объем диссертации 392 страницы, включая 67 рисунков. Библиография включает 258 наименований.

Биссектриса множества. Определения псевдовершины множества и крайней точки биссектрисы

Пусть А - замкнутое множество в евклидовом пространстве R2, точка b = (x,y)eR 2 \A . Как и выше под проекцией 7ГА(Ь) точки Ь на А понимаем ближайшую к Ь в евклидовой метрике точку из А, которая, заметим, в случае невыпуклости А определяется не единственным образом. Введем в рассмотрение p(b,A) = minb — а\\ - евклидово расстояние от точки Ь до множества А. Из определения проекции следует, что для замкнутого множества А рф,А) = \\Ь-7гАф)\\. Определение 1.5. Биссектрисой L(A) множества А назовем множество всех точек из его дополнения, которые имеют не менее двух проекций на множество А: L(A) = {beRm\M3al = 7rA(b\3a2=7rA(blal a2} Биссектриса является частным представителем множеств симметрии [22].

Если А - невыпуклое множество, его биссектриса является непустым множеством. Здесь отметим, что с точки зрения теории дифференциальных игр биссектриса L(A) целевого множества А для соответствующей задачи управления по быстродействию - это рассеивающая кривая. Из каждой точки Ъ є L(A) выходят не менее двух оптимальных траекторий - отрезки (см. [1], стр. 196). При этом структура биссектрисы, как объединения многообразий, определяется геометрией границы целевого множества. В плоском случае биссектриса является объединением нуль- и одномерных многообразий, построение которых возможно в ряде простых ситуаций в точном аналитическом виде, но в самой общей ситуации требуется разработка численных алгоритмов. Одномерные многообразия («ветви биссектрисы»), составляющие L(A) , определяются особыми точками границы множества, названными псевдовершинами. Строгие определения этих особых точек приведены ниже.

С целью не загромождать конструкции технически громоздкими, но и несущественными деталями, поначалу ограничимся рассмотрением плоских множеств, границы которых составляют графики функций скалярного переменного.

Определимся с ограничениями на класс исследуемых функций. Будем рассматривать функции У = f(x), определенные на конечном или бесконечном интервале X R. Пусть Г = gr f, grf = {(х,у)eR2:y = f(x),xеісй} - график функции у = f(x) . Интервал О(х0) = (х0-ё1,х0 + ё2) Х , где $; 0, 2 0, будем называть окрестностью точки X = X0 . С каждой точкой (x,y) = (x0,y0) плоскости свяжем совокупность F(x0,y0) функций y-f(X), f(x0) = y0, каждая из которых удовлетворяет следующим свойствам: 1) непрерывна в точке xfleX, 2) дважды непрерывно дифференцируема в выколотой окрестности О0(х0) = О(х0)\{х0} точки х = х0, 3) если имеет производную первого порядка в точке х = х0, то в сколь угодно малой окрестности точки не является линейной функцией.

В зависимости от дифференциальных свойств функций в точке х = х0 выделим во множестве F(x0,y0) семейства функций: F(2\x0,y0) = {/ є F(x0,y0): 3f (x0), 3f"(x0)}, F(1)(x0,y0) = {feF(x0,y0):3f (x0), 3f! (x0),3ff(x0), f"(x0) Ф f"(x0)}, F(0\x0,y0) = {fe F(x0,y0): 3f!(x0\3fl(x0\ f!(x0) Ф fl(x0)}. Здесь ri f(x)-f(xn) l f(x)-f(xn) f_(x0)= lim , f+(x0)= lim - односторонние ло-0 X-X0 x Xo+O X-X0 производные в точке x = xQ слева и справа соответственно. Аналогично символами f_ (x0),f+ (х0) обозначены односторонние о. производные второго порядка соответственно слева и справа в точке х = х{ Дадим определение псевдовершины графика функции - точки, играющей ключевую роль в приводимых конструкциях. Для этого зафиксируем х0єХ и рассмотрим сужение функции У = f(x) на достаточно малую окрестность О(х0) = (х0 - 8Х,х0 + 82) с X, Sl 0, ё2 0, этой точки.

Полагаем, что fGF(x0,y0), f(xQ) = yQ. Стало быть, функция y = f{x) дифференцируема во всех точках этой окрестности, кроме, быть может, самой точки х = х0, т.е. функция дифференцируема по крайней мере в выколотой окрестности О0(х0). Затем выберем произвольно x{eOQ(xQ) и x2tOQ(xQ) так, что x{ xQ x2. Построенная на касательных симметрическая система уравнений [y.=f\xlXx.-xl) + Axl) [у,=Ґ(х2)(х -х2) + Пх2) в общем случае невырождена (исключение составляет случай, когда х = х0 точка перегиба) и имеет единственное решение (хт,ут) = (хт(х1,х2)),ут(х1,х2)) , зависящее от двух параметров х1,х2. Невырожденность системы (4.1) обусловлена принадлежностью функции множеству F(x0,y0), ибо здесь f (хх)ф f (х2 ) как в случае, когда х = х0 - точка негладкости функции У f\x), так и в случае, когда х = х0 - точка гладкости этой функции, не являющаяся при этом точкой перегиба. Напомним, что в гладком случае функция у = f(x) в окрестности х = х0 отлична от линейной функции.

Определим разность квадратов расстояний между указанными точками графика функции и точкой пересечения касательных: G(x1,x2) = p2((x1,/(x1)),(x„ ))-p2((x2,/(x2)),(x„ )) На открытом прямоугольнике П(л0) = (л0-(51,л0)х(л0,л0 + (5г) рассмотрим симметрическое уравнение G(x{,x2) = 0 (4.2) На множестве П( 0) функция G = G(xl,x2) является композицией дифференцируемых функций. Если она удовлетворяет условиям теоремы о существовании и дифференцируемости неявно заданной функции, то существует локально определенное гладкое решение х2=х2(х1) уравнения (4.2) , график которой лежит в прямоугольнике Щх0) .

О продолжимости локального решения уравнения, связывающего параметры краевой задачи

В этом параграфе покажем, что евклидово расстояние до замкнутого множества является минимаксным решением изучаемой краевой задачи. Приведем необходимые для дальнейшего изложения определения и основные конструкции теории минимаксных решений УЧППП, следуя [140]. Рассмотрим краевую задачу Дирихле для УЧППП H(Dw(x))-w = 0, (2.1) Чг = 0 (2-2) Вещественная функция (гамильтониан) s H(s) определена для S є R\ f Я rh \ Dw(x) = —,..., — - градиент функции x- w(x), xєR n . Решение задачи [.дХ1 дХп) (2.1)-(2.2) ищется на дополнениии замкнутого множества М (ZR до всего пространства, при этом символом Г обозначена граница множества Т = дМ. Краевая задача (2.1)-(2.2) расссматривается при следующих предположениях: (HI) Я(0) с для некоторого о 0. (Н2) Для всех x Є R" и s,s є Rn имеет место неравенство \н(з)-Н(з )\ Л(х)\з-з 1 где r}(x) = (1 + \\х1)м, М - положительное число. Заметим, что в классической монографии [140] по минимаксным решениям УЧППП рассматривается более общий случай краевой задачи в сравнении с (2.1)-(2.2), соответственно, перечень условий, налагаемых на гамильтониан и краевую функцию, шире. В настоящей работе приведены только актуальные условия, продиктованные зависимостью гамильтониана лишь от импульсной переменной и простотой краевого условия.

Для введения понятий верхнего и нижнего решений уравнения (2.1) рассмотрим характеристические включения вида (x,хп+1)єЕ(x,хп+1,я), (2.3) Дx,ХИ+1,,) {(/,/И+1)Е Х :/ (x),/И+1=(/,,)-Я(,) + ХИ+1} Полунепрерывная снизу функция w:Rn\M R называется верхним решением уравнения (2.1), если для любого seRn ее надграфик слабо инвариантен (см. [218, 36, 55]) относительно дифференциального включения (2.3). Соответственно, полунепрерывная сверху функция w:Rn\M R называется нижнем решением уравнения (2.1), если для любого S є Rn ее подграфик слабо инвариантен относительно дифференциального включения (2.3). Здесь верхнее подчеркивание означает замыкание множества. Верхним решение краевой задачи (2.1)-(2.2) называется полунепрерывная снизу функция w: Rn\M R, которая удовлетворяет следующим требованиям: (А1) ее сужение на область R n \M является верхним решением уравнения (2-1); (А2) для нее выполняется граничное условие (2.2) и К( x) c \fxeRn\M (2.4) Нижним решением краевой задачи (2.1)-(2.2) называется полунепрерывная сверху функция w.Rn\M R, которая удовлетворяет следующим требованиям: (81) ее сужение на область R n \М является нижним решением уравнения (2-1); (82) для нее выполняется краевое условие (2.2) и ограничение (2.4); (83) функция W непрерывна в каждой точке x є Г = дМ. Минимаксным решением краевой задачи (2.1)-(2.2) называется функция w: Rn\M R, которая удовлетворяет соотношениям limw(k)(x) = w(x) = limwk)(x), xєRn\M, (2.5) где iw(k)r (iw (k)) ) - последовательность верхних (нижних) решений краевой задачи (2.1)-(2.2). Предельные соотношения (2.5) отражают представление о минимаксном решении краевой задачи для УЧППП, которое формируется с помощью поточечных пределов последовательностей верхних и нижних решений. Важно заметить, что таким образом определенное решение может оказаться разрывной функцией.

Обоснуем основной результат параграфа о структуре минимаксного решения рассматриваемой краевой задачи.

Теорема 2.1. Функция и(x) = р(x,М) - минимаксное решение задачи Дирихле (1.1)-(1.2).

Доказательство. Воспользуемся заменой переменных С.Н. Кружкова [69] w(x) = 1 - е""(x), перепишем уравнение (1.1) (см. также (1.5)) в виде -\\Dw(x)\\ + l-w = 0 Приняв H(s) = -\\s\\ + l, придем к формату (2.1) записи уравнения (1.1). Краевое условие (1.2) в новых переменных принимает вид (2.2), а именно w\ =0. Таким образом, замена переменных свела краевую задачу (1.1)-(1.2) к краевой задаче (2.1)-(2.2), что позволяет воспользоваться полученными в [140] результатами для выявления свойств решения рассматриваемой здесь задачи.

Покажем, что выполняются условия (HI) и (Н2). Действительно, Н(О) = 1, значит, условие (HI) выполняется при с = 1. Далее, евклидова норма А( ) = И удовлетворяет условию Липшица с константой 1. Стало быть, гамильтониан H(s) = -\\s\ +1 также удовлетворяет условию Липшица, причем с той же константой. В свою очередь, это означает, что гамильтониан удовлетворяет условию (Н2), причем Tj{x) = 1.

Покажем, что w0(x) = 1 - еМxМ) является минимаксным решением краевой задачи (2.1)-(2.2). Поскольку функция и(x) = р(x,М) расстояния до замкнутого множенства непрерывна, то неперывна и функция w0(x) = 1 - е р(x м как композиция нерерывных функций. Далее воспользуемся утверждением А.И. Субботина в форме замечания (см [140], стр. 244 ), которое существенно облегчает доказательство теоремы. Замечание гласит, что в случае, когда минимаксное решение непрерывно, предельные соотношения (2.5) эквивалентны требованию для графика gr w0 быть слабоинвариантным множеством относительно дифференциальных включений (2.3). В свою очередь, график непрерывной функции слабо инвариантен относительно дифференциального включения (2.3) тогда и только тогда, когда подграфик и надграфик этой функции слабо инвариантен относительно (2.3) ([140], Теорема 3.2, стр. 29 ). Существенным подспорьем при анализе структуры решения УЧППП является наличие различных форм эквивалентности определений верхних и нижних решений таких уравнений. В работе [140] на стр. 38-40 приведены 7 пар определений - различных по форме, но эквивалентных по существу. Для рассматриваемой краевой задачи удобными в применении являются определения нижних и верхних решений УЧППП, базирующиеся на понятиях субдифференциала и супердифференциала функции. Рассмотрим величины [38, 140]

Свойства операторов шага. Формулировка основного результата

Введем обобщение классического понятия производной, совпадающее в частных случаях с симметрической производной Шварца. Напомним, что локальный диффеоморфизм х2=х2(х1), фигурирующий в определении псевдовершины кривой, удовлетворяет уравнению f(x2) - f{xx) = (х2 - xx)tg arctgf + arctsf2 (6Л) Важно отметить, что возможен предельный переход в равенстве, следующем из (6.1): fix,) - fix) arctg Ґ (х) + arctg Ґ (х7) х2-хх 2 левая часть которого формально совпадает с дифференциальным отношением. Надо только иметь в виду, что оно рассматривается вдоль диффеоморфизма х2=х2(х1), определенного слева от абсциссы псевдовершины т.е. здесь Дх2) - /(х,) f{x2{xj) - fix,) (6 2) х2 —xl х2(х1) — х1 Речь идет о частичном (в силу диффеоморфизма) пределе дифференциальных отношений. Определение 2.1. Величину ffx0) = lim /( 2( i))-/( i)? где (x0,y0) = (x0,f(x0)) псевдовершина кривой Г = gr f, x2=x2(xl) непрерывный слева в точке х = х0 локальный диффеоморфизм левой полуокрестности точки X = х0 в ее правую полуокрестность, определяемый 141 уравнением G( ,x2) = 0, будем называть псевдопроизводной функции у - f(x), вычисленной в точке X - х0. Нетрудно, располагая равенством (6.2), вычислить псевдопроизводную функции в зависимости от ее дифференциальных свойств в псевдовершине. Если / є F(k\x0,y0),k = 1,2, то /ЛЧ о)= lim /(X2 /(Xl)= lim tg(arctgfl(x0)) = fl(x0) (6.3) Если же/є (0)(х0,70) то fiXo) = tg sf!(x0) + arctgf:(x0) л 2

Таким образом, если псевдовершина является точкой гладкости графика исходной функции, то в силу (6.3) псевдопроизводная совпадает с классической производной. Если же псевдовершина не является точкой гладкости графика функции, то в силу формулы (6.4) псевдопроизводная вычисляется через осреднение односторонних производных.

Получим иное представление для псевдопроизводной в негладком случая, полагая, что Нт -(xj) = с О. Имеет место разложение i- o- ах1 Я 2) - /М _ Я 2) - /W Я о)-/( і)_ х2 — хг х2— хг х2 — хг f(x2)-f(x0) х2-х0 /Ю-Д ) х0-х, . 1 . х2 — х0 х2— х1 х0 —х1 х2— х1 Перейдем к пределу, используя разложения (5.4), (5.5) локального диффеоморфизма х2=х2(х1) слева от точки xx=xQ, свойства пределов, определения односторонних производных:

Таким образом, в негладком случае псевдопроизводная является выпуклой комбинацией односторонних производных, коэффициенты которой определяются через предельное значение производной локального диффеоморфизма.

Просматривается связь понятия псевдопроизводной с другими обобщениями классического понятия производной. Так, если псевдовершина (x0,y0) = (x0,f(x0)) является точкой графика дважды дифференцируемой функции, причем производная второго порядка отлична от нуля и, стало быть, график функции y = f{x) в окрестности псевдовершины является выпуклой дугой, то в силу теоремы 2.3. о спектре предельных значений локальных диффеоморфизмов, а также формулы (6.5), псевдопроизводная является выпуклой комбинацией односторонних производных с равными весами: /л/(х0) = -/+/(х0) + -/_/(х0) (6.6)

В этом случае псевдопроизводная, как уже отмечено выше, совпадает с классической производной, но кроме того она формально идентична симметричной производной Шварца [14, 100]. Разложение (6.6) в равновесную выпуклую комбинацию и, как следствие, совпадение с симметричной производной Шварца, имеет место также для выпуклой (либо вогнутой) не дифференцируемой в точке х = х0 функции y = f(x) в случае четности этой функции относительно точки х = х0. В заключение этого параграфа приведем пример, иллюстрирующий полученные результаты.

Рассматривается задача Дирихле (2.1)-(2.2) для случая, когда граница Г = дМ краевого множества является графиком функции (JC + 2л-)2 / 2 + (JC + 2л-)3 / л/Ї08 -1, х -2л-COSJC,-2л- л: 0 -со82.х,0 .х Зл-/4 [sin(jc - Ъж 14), х Ъж В рассматриваемом примере биссектриса L - сингулярное множество минимаксного решения, состоит из трех ветвей, каждая из которых определяется соответствующей псевдовершиной границы краевого множества. Псевдовершин три - (х1, ;1) = (-2л-,-1), (х2,у2) = (0,-1), (х3, з) = (Зл-/4,0), причем дифференциальные свойства кривой в них различные. В точке х = хг функция у = f(x) дважды дифференцируема, в точке х-х2 - только один раз дифференцируема, а точка х = х3 является точкой негладкости этой функции. В силу теоремы 2.3. предельные значения 144 dx производных локальных диффеоморфизмов Hm —-{х1) = с 0 в них равны і о СІЛгл -1, 0, -45І2 соответственно. Характер склейки графиков исходного и обратного диффеоморфизмов в плоскости параметров xvx2 отвечает теореме и представлен на рисунках 2.9 2.11. Для соотнесения этих кривых с графиком тривиального решения х2 -хх уравнения G(xl,x2)-0 на рисунках представлен также график этой тождественной функции - биссектрисы первого и третьего координатных углов в плоскости параметров xvx2.

Дифференциальные свойства огибающих

В этом параграфе предметом изучения являются псевдовершины краевого множества краевой задачи Дирихле для уравнения типа эйконала. Исследуется случай, когда граница краевого множества описывается параметрически, при этом координатные функции являются достаточно гладкими. Псевдовершины нужны для аналитического или численного конструирования ветвей сингулярного множества – множества, на котором решение краевой задачи теряет гладкость. Приводятся необходимые условия существования псевдовершин. Условия выписаны в терминах стационарности кривизны и стационарности координатных функций, задающих границу множества. Псевдовершины являются особыми точками границы краевого множества. С одной стороны, они геометрически локализуют экстремум кривизны кривой, а с другой стороны, связаны с характеризацией множества с точки зрения меры невыпуклости. В задаче о быстродействии нахождение псевдовершин целевого множества позволяет строить ветви сингулярного множества функции оптимального результата, о чем уже было сказано выше.

Выше в этой главе установлена связь посредством аналитических формул между псевдовершинами краевого множества и крайними точками одномерных многообразий («началами» ветвей сингулярного множества) в ряде случаев, когда граница описывается явно скалярными функциями. При этом означенная связь выявлена в том числе и для ослабленных в части гладкости условий, налагаемых на границу краевого множества. В частности, получены формулы для крайних точек сингулярных кривых для случая, когда граница цели имеет разрыв по производной второго порядка, и для случая кусочно-гладкой границы.

В этои параграфе выделены необходимые условия существования псевдовершин для случая достаточно гладкой параметризованной границы краевого множества в условиях, допускающих невыпуклость множества. Пусть y:T R2 отображение числового интервала Т = (?,!), -oo t ї +оо на плоскость. Вектор-функция y(t) = (y1(t),y2(t)) является гладкой в том смысле, что ее производные y(t) = {y1(t),y2(t)) существуют по крайней мере до второго порядка включительно. Образ Г = у(Т) этого отображения представляет собою плоскую кривую. Полагаем, что Г является регулярной, т.е. вектор скорости r/(t) = (ri(t)y2(t)) не обращается в нуль-вектор. Это означает, что точка У - У (t) движется вдоль кривой Г и при этом никогда не останавливается и не поворачивает обратно. Будем полагать, что кривая Г не имеет точек самопересечения, т.е. не существует двух моментов t ,4 ,U Фи , что y(U) = y(t ). Включим также в рассмотрение кривые, заданные на конечных интервалах Т = (?,t ,-co a b +oo, допускающие доопределение в концевых точках t — t и t = t . Кривые вида Г = у(Т) 5 когда Т =[?, Л, У (t ) = y(t), будем называть контурами. Приводимые ниже в этом параграфе определения являются переложением ранее введенных в этой главе определений со случая скалярной функции одного переменного на случай параметрически заданного отображения. Рассмотрим локальные (определенные на малых интервалах) решения уравнение вида G(y2) = 0. Здесь G = G(t 1 ,t 2 ) функция двух переменных (t 1 ,t 2 ) є R 2. Локальные решения этого уравнения будем искать на прямоугольных открытых областях 168 n+(t 0 ) = {(tl,t 2 )eR 2 :tle(t 0-Sl,t 0lt 2E(t 0 ,t 0 + S2 )} . Здесь t 0 фиксировано, параметры интересуют решения этого уравнения с заранее предписанными свойствами, а именно диффеоморфизмы. Здесь диффеоморфизм - скалярная непрерывно дифференцируемая строго монотонная без нулей производной функция. В отличие от распространенного определения диффеоморфизма, согласно которому от функции требуется существование производных высших порядков, в настоящем исследовании достаточно требовать существования производной только первого порядка. Говоря о локальном диффеоморфизме, мы подразумеваем, что он определен в малом - в окрестности или же в полуокрестности точки рассмотрения.

Определение 2.2. Будем говорить, что локальный диффеоморфизм t2=t2(tx), определенный уравнением непрерывен слева в точке tx=tQ и отображает левую полуокрестность точки I —IQ в ее правую полуокрестность, если выполняются условия: (А1) t2((t0-5l,t0)) = (t0,t0+52),5l 0,52 0, (А2) HnW2ft) = V

Нетрудно видеть, что односторонняя непрерывность слева диффеоморфизма f2=f2(0 обеспечивается требованием строгой отрицательности его производной. Введенный в рассмотрение диффеоморфизм можно рассматривать как локальную перепараметризацию кривой, которая (перепараметризация) задается в окрестности точки неявно с помощью евклидова расстояния. Диффеоморфизмы естественным образом входят в арсенал дифференциальной геометрии и теории особенностей гладких отображений [8, 39].

Отметим особенности предложенной математической модели. Введенный диффеоморфизм носит локальный характер, причем определяется с одной стороны (слева) от точки tx=tQ. При этом конструкции присуща симметрия в следующем смысле. Обратный локальный диффеоморфизм tx=tx(t2) при соблюдении условия (А2) Определения 2.2. существует, определен с другой стороны (справа) от той же точки t2 = t0 и наследует аналог этого условия в том смысле, что nm W2) = Ч. Таким образом, в рамках этой конструкции точка t = tQ «выколота» и рассматривается как предельный элемент. Это важное свойство математической модели, которое позволяет исследовать кривые с различными дифференциальными свойствами, не исключая негладкие кривые. На локальный диффеоморфизм можно смотреть также как на правило, устанавливающее взаимно однозначное соответствие между парами точек, лежащими в окрестности точки рассмотрения по разные от нее стороны. Кроме того, здесь можно говорить о двойственной кривой Г, определенной в плоскости переменных у2 непрерывной склейкой графиков исходного диффеоморфизма t2=t2(tx) и ему обратного диффеоморфизма tx=tx(t2). При этом дифференциальные свойства кривой Г в точке (tx,t2) = (t0,t0) определяются дифференциальными свойствами исходной кривой Г .