Введение к работе
Актуальность темы,Работа посвящена исследованию асимптотических свойств решений линейных неавтономных и нелинейных эволюционных уравнений, таких как стабилизация и устойчивость. Сейчас наблюдается значительный рост интереса исследователей к задачам анализа нелинейных систем, а также синтеза нелинейных систем дифференциальных уравнений с заданными асимптотическими свойствами. Последнее обстоятельство связано с тем, что для задач синтеза нелинейных управляемых систем с распределенными параметрами по вполне понятным причинам сейчас отсутствует единый методологический подход. Вопросы управляемости и стабилизации решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений изучались вэзначительном числе работ. Для линейных распределенных систем также имеются определенные подходы синтеза управляющих воздействий, например метод моментов. Однако в случае неавтономности по -\, эволюционного оператора и для указанных классов задач многие вопросы оставались открытыми. В частности, это относится к вопросу устойчивости и стабилизации решений неавтономных систем, чрезвычайно важному для теории управления. Для нелинейных задач с распределенными параметрами анализ устойчивости и стабилизации решений сопряжен со значительными трудностями, особенно для случая систем "нейтрального" типа"'.
В настоящей работе развит целостный подход, основанный на использовании пробных функционалов специального вида, характер изменения во времени которых позволяет не только сделать вывод об асимптотических свойствах решений широкого класса линейных неавтономных и нелинейных систем, в том числе и "нейтрального" типа, но и осуществить синтез . - о - стабилизирующих замыканий для нелинейных консервативных систем, используя информацию о решении лишь в конечном числе точек области изменения пространственных переменных. При этом асимптотический характер решений полной системы определяется средним по времени Ъ или по пространственным переменным от производной пробного функционала или некоторой его спектральной характеристики, в случае его билинейности такой подход
' Под системами "нейтрального" типа понимаются уравнения, имеющие интегралы движения ляпуновского типа.
позволил изучить наиболее тонкие и трудные для исследования случаи консервативных систем,
С помощью этого метода, получены оценки спектра показателей линейных неавтономных систем,как обыкновенных, так и в функциональных пространствах. Доказаны теоремы о точности оценок и предложен численный алгоритм оценки старшего и младшего показателей в пределах правильности линейной системы с квазипериодическими коэффициентами. Получены оценки асимптотического поведения решений уравнений с замкнутыми операторами, явно зависящими от времени х, .
Указаны способы численного построения спектральных проекторов с целью классификации решений дифференциальных уравнений с периодическими и стабилизирующимися по -{; замкнутыми операторами по их асимптотическому поведению в зависимости от начального условия при наличии экспоненциальной дихотомии. Приведенные результаты позволяют сформулировать условия стабилизации решений широкого класса неавтономных систем. Исследуются также с помощью методов усреднения и обобщенного метода пробных функционалов вопросы устойчивости- и асимптотическое поведение решений дифференци- альных уравнений с неограниченными операторами при наличии нелинейных возмущений, а также некоторых классов нелинейных эволюционных уравнений с возмущениями, когда известен некоторый класс точных решений невоэмущенного уравнения. Доказаны теоремы об устойчивости и неустойчивости, асимптотической устойчивости,» на основе этого.осуществлен синтез нелинейных стабилизирующихся систем с распределенными параметрами.
В этом плане в работе нашел развитие метод анализа "нейтральных" систем, в свое время предложенный М.М.Хапаевым для случая обыкновенных дифференциальных уравнений.
Кроме того, за счет построения мажорантной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с заданными асимптотическими свойствами развит метод замыкания исходной системы уравнением стабилизирующей обратной связи, использующей информацию о состоянии объекта, взятую в конечном числе точек области изменения пространственных переменных.
Учитывая, что метод пробных функционалов в нелинейном случае использует ии$6рмацию о точном решении невозмущенной системы,
для некоторых классов нелинейных уравнений найдены эти решения и установлена связь между интегрируемостью исходной системы и базисностью корневых функций ассоциированного изоспектральным преобразованием линейного оператора.
Асимптотические и спектральные методы анализа динамических систем развивались в работах А.М.Ляпунова, А.Пуанкаре, Н.Н.Боголюбова, Л.С.Понтрягина, Ю.А.Ыитропольского, А.Н.Тихонова, Н.Н. Красовского, А.Н. Колмогорова, В.П.Маслова, С.П.Новикова, Л.Д. Фаддееєа, С.В.Емельянова, Ю.С.Осипова, А.А.Самарского, С.П.Кур-дюмова, С.И.Похожаева, М.М.Хапаева, А.Ныоэлла, В.А.Ильина, В.И. Арнольда, С.Ю.Доброхотова, В.Ф.Бутуэова, Н.С.Бахвалова, С.А.Ломова, А.Б.Васильевой, О.А.Олейник, В.М.Миллионщикова, А.Ф.Филиппова, Н.Х.Розова и многих других авторов. Интерес широкого круга исследователей к таким задачам обусловлен их актуальностью и многочисленными приложениями в области теории колебаний, теории управления, аэро- и гидромеханики, физической химии.
Целями данной работы являются:
двусторонние оценки ляпуновского спектра показателей линейных неавтономных систем, в том числе в функциональных пространствах, а также теоремы о точности этих оценок;
методы построения областей динамической неустойчивости в пространстве параметров системы при наличии параметрического резонанса;
конструктивные условия нелинейной стабилизации решений и их устойчивости в окрестности стационаров кинетических процессов;
эффективные оценки поведения решений дифференциальных неавтономных уравнений с замкнутыми операторами на больших интервалах времени, когда затруднен их численный анализ, а также условия их стабилизации по времени;
возможность эффективной асимптотической классификации решений дихотомичкых неавтономных систем в зависимости от начальных условий;
результаты об устойчивости, неустойчивости и стабилизации решений нелинейно-возмущенных уравнений о неограниченными операторами "нейтрального" типа;
методы стабилизации решений консервативных нелинейных распределенных систем, основанные на информации о решении в конечном числе точек области изменения пространотвеюшх переменных;
мажорантные оценки стабилизации;
- условия интегрируемости некоторых классов нелинейных систем с нелокальными условиями, у которых невозмущенная система также нелинейна.
Научная новизна и практическая ценность. Результаты диссертации являются новыми. В работе развит целостный подход, основанный на использовании пробных функционалов специального вида, характер изменения во времени которых (их спектральных характеристик или мажорант в случае билинейности) позволяет не только установить условия стабилизации, устойчивости решений широкого класса динамических систем, в том числе в чрезвычайно трудном для исследования случае консервативных распределенных систем "нейтрального" типа, но и осуществить синтез .— О стабилизирующих замыканий с заданными априори асимптотическими свойствами для такого типа систем, используя информацию о решении лишь в конечном числе точек области изменения пространственных переменных. При этом подход позволяет получить также теоремы о точности асимптотических оценок в различных классах неавтономных систем.
Результаты работы делают возможным выявление резонансов и изучение эволюции решений широкого класса задач, возникающих в механике, физической химии, теории управления, при проектировании систем, в разработке которых необходимо учитывать эволюцию решений математической модели на больших интервалах времени; они имеют приложения также в области синтеза распределенных нелинейных систем стабилизации.
Объем и структура. Диссертация состоит из введения, трех ' глав и списка литературы. Общий объем работы составляет 220 страниц; список литературы содержит 112 наименований. Текст диссертации включает 8 рисунков.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [і - 20Д .
Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на международной конференции "Нелинейные явления" (Москва, 1989 г.), международной конференции "Прикладные аспекты качест-
венной теории дифференциальных уравнений" (Будапешт, 1989 г.), в цикле лекций в Техническом университете Западного Берлина (1989 г.); на семинарах: отдела теории функций МИ АН СССР под руководством акад. С.М.Никольского, чл.-корр. АН СССР Л.Д.Кудрявцева, лаборатории математических методов механики ИШех АН СССР под руководством акад. В.П.Маслова, доктора физ.-мат. наук С.Ю.Доброхотова, доктора физ.-мат. наук И.М.Кричевера, научных семинарах в МГУ под руководством чл.-корр-ов АН СССР В.А.Ильина, А.В.Бицадзе, доктора физ.-мат.наук М.М.Хапаева, доктора физ.-мат. наук В.В.Козлова, объединенном семинаре МЭИ под руководством чл.-корр. АН СССР С.И.Похожаева, докторов физ.-мат. наук С.А.Ломова, СА.Дубинского, научном семинаре ВНИИСИ АН СССР под руководством акад. С.В.Емельянова, семинарах МИЭМ, а также на ряде других семинаров и конференций.
В 1988 г. цикл работ автора по теме диссертации был удостоен премии Ленинского комсомола в области науки и техники.