Введение к работе
Актуальность теми, В задачах, описывающих явление погранично слоя, возникает проблема приближенного интегрирования диф-зренциальных уравнений с малым параметром при старших производ-лс. Известные методы численного интегрирования дают хорошие ре-гльтаты при решении уравнений вдали от границы области, в кото-)й они рассматриваются. В окрестностях ке граничных точек эти зтоды малоэффективны. В приграничной зоне решения указанных )авнений имеют большие градиенты изменения, поэтому методы, ос-)ванные на дроблении шага интегрирования, требуют для реализа-іи длительной вычислительной процедуры.
Начиная с сороковых годов ведутся интенсивные исследования, щеленные на разработку методов асимптотического интегрирования шгулярно возмущенных уравнений, описывающих явление погранично слоя. Эти методы позволяют аппроксимировать решения как вну-іи области, так и в окрестностях граничных точек. У истоков раз-ітия математической теории сингулярных возмущений стояли как залежные, так и отечественные математики. Исключительную роль в авитии этой теории сыграли работы А.Н. Тихонова и В. Базова, іачителен по своему содержанию вклад в теоріш сингулярных воз-тцений Л.С. Понтрягина, Н.Н. Боголюбова, Ю.А. Митропольского, <5. Мищенко, В.П. Маслова, М.И. Вишика, Л.А. Люстерника, А.Б. юильевой, В.Ф. Бутузова, С.А. Ломова, Н.Х. Розова, А.Н. <Сила-ва, И.И. Шкиля, A.M. Самойленко, В.И. Рожкова, М. Иманалиева, А. Касымова и др. Усилиями этих ученых и их учеников созданы фективные методы асимптотического интегрирования сингулярно змущенных уравнений.
Однако по мере развития алгоритмов асимптотического интег-рования возникали и некоторые проблемы их применимости. Так год пограничных функций Васильевой1' применим к задачам с экс-ненциальным пограничным слоем, метод усреднения Крылова-Бого-Зова-Митропольского '- к уравнениям, правые части которых до-зкают существование конечного среднего по времени. Все это соз-эт определенные трудности при применении указанных алгоритмов
Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уразнеиий.-М: Наука, 1973.-272 с. Боголюбов Н.Н., ^итропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.-М: Наука, 1974.- 504 с.
к конкретным прикладным задачам.
С начала шестидесятых годов предпринимаются попытки ослабления ограничений, при которых развивались методы. Существенное ограничение - ограничение на спектр предельного оператора (точнее, на его расположение относительно мнимой оси)- снимается в методе регуляризации^, разработанном С. А. Ломовым и его учениками. Асимптотические ряды, получаемые с помощью этого метода, обладают следующими преимуществами: они единственны в определенном классе функций, допускают применение в задачах колебательного и неколебательного типов, при некоторых ограничениях на исходные данные задачи могут сходиться не только асимптотически, но и в обычном смысле. Последнее свойство регуляризованных асимптотических рядов свидетельствует не только о высокой точности метода, но и открывает возможности развития аналитической (по малому параметру) теории сингулярно возмущенных задач.
Однако метод регуляризации развивался в основном для линейных систем. Обобщение его на нелинейные задачи нетривиально и сопряжёно с принципиальными трудностями, основная из которых заключается в описании сингулярной зависимости решений от малого параметра. В нелинейных задачах возникают сложные эффекты, вызваннь наличием тождественных и нетовдественных резонансов, резонансов, порожденных нестабильностью спектра предельного оператора, малыми знаменателями и т.д. Они определенным образом влияют на формирование в решениях новых типов сингулярностей, не поддающихся исчерпывающему описанию (как это было в линейном случае) в терминах спектра предельного оператора. Математическим средством учетг резонансов являются нормальные формы '. Однако теория нормальных форм развивалась для дифференциальных уравнений, не содержащих ш. лые параметры или содержащих их регулярным образом. Кроме того, рассматривались в основном автономные системы (А.Д. Брюно ' и егс ученики), а имеющаяся весьма немногочисленная литература для неавтономных систем посвящена либо периодической (или почти-периодической зависимости) правых частей от времени, либо предполагает приведение к нормальным формам, исключающим мономы, векторные показатели которых отвечает нетождественному резонансу (В.В. Костш см.,например, работу 5'). Последнее обстоятельство делает пробле-
-
Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений.-М.: Наука, 1981.- 400 с.
-
Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференпиальні уравнений.-М.: Наука, 1979,- 254 с.
-
Костин В.В. Нормальная форма неавтономных систем // ДАН УССР, сер. Д.- Ig73.- Т.8.- С. 693-596.
латичным применение результатов по теории тождественно резонансна нормальных форм к весьма широкому классу нелинейных сингуляр-ю возмущенных задач с нетождественным резонансом и с нестабильна! спектром предельного оператора, имеющим непосредственные ана-юги в прилояениях (см., например, задачу о движении звезды в Га-іактике в 2 гл.1 диссертаций). Именно такие задачи исследуются в іастоящей работе. Их исчерпывающий асимптотический анализ можно тровести, используя нормальные формы с нетождественными резонансными мономами. Однако свойства последних практически не изучены. їе известны и их приложения для регуляризации нелинейных сингулярно возмущенных уравнений. Исследование этих вопросов актуально; этветы на них, полученные в настоящей работе, позволили выработать единый подход к проблеме регуляризации сингулярно возмущенных задач и развить эффективные алгоритмы асимптотического интегрирования последних.
Цель работы определяется актуальностью темы. Конкретное ее содержание заключается в следующем:
а) разработать математическую теорию асимптотического интег
рирования нелинейных сингулярно возмущенных задач, которая поз
волила бы ( при некоторых ограничениях на их исходные данные )
получать не только приближенные, но и точные (т.е. аналитические
по параметру) решения этих задач;
б) разработать алгоритмы асимптотического интегрирования на
основе регуляризации с помощью нормальных форм с переменными коэф-
фицкенами; применить их к сингулярно возмущенным задачам с нетож
дественным резонансом и с нестабильным спектром предельного опе
ратора ;
в) разработать алгоритм нормальных форм для сильно нелинейных
сингулярно возмущенных задач'в критическом случае устойчивости;
г) разработать алгоритм нормальных форм для нелинейных син
гулярно возмущенных уравнений в банаховом пространстве с ограни
ченным и неограниченным предельными операторами;
д) провести математическое обоснование развитых алгоритмов
( в частности, развить теорию нормальной и однозначной разреши
мости итерационных систем в частных производных в условиях нетоя-
дественного резонанса и нестабильности спектра предельного опера
тора, доказать асимптотическую сходимость формальных решений к
точным).
Нчтчная новизна. Впервые идея регуляризации с помощью нормальных форм применяется-'для выделения особенностей (по малому параметру) в решениях нелинейных сингулярно возмущенных задач. Для выделения особенностей и для асимптотического интегрирования сингулярно возмущенных уравнений с нетовдественным резонансом раз' работай метод нормальных форм. Этот метод позволяет рассмотреть новый цикл задач, не изученных ранее: задачи с нестабильным спек ром предельного оператора, сильно нелинейные задачи в критическом случае устойчивости (две точки спектра - чисто мнимые и комплексш сопряженные), задача с точечным резонансом (в частности, задача о движении звезды в Галактике),общие задачи с нетовдественным резс нансом. При этом не различаются колебательный и неколебательный случаи (т.е. спектр предельного оператора может находиться как на мнимой оси, так и слева от нее). Метод позволяет рассмотреть трудную проблему теории сингулярных возмущений - задачу о построении точных (т.е. аналитических по сингулярно входящему параметру) решений. В диссертации впервые решена задача о построении точных решений для некоторого класса нелинейных сингулярно возмущенных систем как в резонансном, так и иерезонансом случае . Основные идеи метода переносятся и на нелинейные сингулярно возмущенные уравнения в банаховом пространстве, что позволяет применить метод к уравнениям в частных производных.
Методика исследований. Иетод нормальных форм, разработанный в диссертации, сочетает идеи локального метода нелинейного анализа дифференциальных уравнений (А.Д. Брюно) и идеи метода регуляризации (С.А. Ломов). Для обоснования асимптотической сходимости формальных решений к точным применяется аппарат модифицированного метода Ньютона в форме Л.В. Канторовича. При развитии алгоритма нормальных форм на задачи в критическом случае используется техника К.Л. Зигеля, примененная им при доказательстве теоремы Ляпунова о существовании семейства периодических решений нелинейной автономной системы при наличии не зависящего от времени аналитического интеграла.
Практическая ценность. Разработанные в диссертации алгоритмы применены к асимптотическому анализу системы двух нелинейных осцилляторов с точечным резонансом, описывающей двиаение звезды в Галактике, с помощью метода нормальных форм построены асимптотические решения нелинейных уравнений теплопроводности и диффузии. Эти применения указывают на возмоаность использования результа-
в настоящей работы для асимптотического анализа уравнение мате-.тической физики, небесной механики, теории гироскопов и др. об-.creft естественных наук.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на есоюзнік конференциях по асимптотическим методам (Фрунзе, 1975 г., ма-Ата, 1979 г.), на Всесоюзном совещании-семинаре по "-Латемати-скому моделированию" (1983 г.), на Всесоюзной конференции "Сов-меннне проблемы радиотехники в народном хозяйстве" (Москва,1977 ), на Всесоюзном научном совещании "Методы малого параметра'Ч На-чик, 1987 г.), на П Всесоюзной конференции "Новые подходы к рению дифференциальных уравнений "( Дрогобич, 1989 г.). на научно-хнических конференциях МЭИ, на семинаре академика А;Н. Тихонова, семинаре под рук. профессоров А.Б. Васильевой и В.Ф. Бутузова ГУ), на семинаре профессора М.ІЛ. Хапаева {МГУ), на семинаре про-зсора В.И. Роккова (УДН), на семинаре по "Теории возмущений"про-зсора С.А. Ломова, на семинаре по дифференциальным уравнениям X рук. профессоров Ю.А. Дубинского, С.А. Ломова и чл.-корр.АН ЗР профессора СИ. Похояаева (!Ш).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 28 работ. В дис-ітацига включены результаты 20 статей, выполненных автором в остом самостоятельно . Необходимые разъяснения по поводу совмес-к работ и о научном вкладе кавдого из соавторов приводятся в :иске из протокола заседания кафедры СКВ.М МЭИ, на которой рабо-т диссертант.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, ти глав, разбитых на параграфы, и списка литературы из 191 наз-ия. Работа изложена на 300 стр. машинописного текста.