Введение к работе
Актуальность тепы. Многие задачи оптимального управления, Физики, механики.' химической кинетики и.др. приводят к необходимости решения сингулярно возмущенных краевых задач (СВКЗ).
Наличие погранслоев, .т.е. участков быстрого изменения решений, ведет к малоэффективное традиционных численных методов.
Для построения эффект зных алгоритмов ', численного решения СВКЗ важно иметь информацию о положении слоев и качественном поведении решения в них. Изучению особенностей решений и их производных посвящены работы А.Н.Тихонова. А.Б.Васильевой. В.Ф.Бутузо-ва. И.И.Вишка.. Л.А.Лвстерника. С.А.Ломова, А.М.Ильина, В.А.Еси-повой, .В.Д.Лисейюша, М.Ф.Федоріока и других авторов.
Разработке специальных численных;методов для СВКЗ посвящены работы Н. С, Бахвалова, Б.'М. Багаёва. И. П. Боглаева. Ю.Л, Боглаева. В.Д.Лисейкина. С.Н.Скляра, Г.И.Шишкина, У.Ашэра. Р.Вайса, Дж.Миллера. К.Сурла, Р.Вуляновича, Ы. Стинеса и др. Большинство результатов относится к упрощенным модельным задачам. Наиболее активно разрабатывались разностные численные методы, имеющие, как правило, сходимость 1-го и.2-го,порядка. Наибольшее внимание уделялось скалярным СВКЗ. Существенно меньше работ посвящено векторным задачам. Методы сплайн-коллокаций 2-го порядка для- векторных СВКЗ изучались, в работах В. В. Стрыгина, И.А.Блатова. Для линейной скалярной. краевой задачи.с малым параметром при второй производной В.В.Стрыгиным. И.А.Благовым получена коллокационная схема четвертого порядка на базе комбинированных сплайнов третьей степени.
Цель работа. Разработка и обоснование 'на базе кубических-сплайнов.на адаптивных сетках.метода сплайн-коллокаций четвертого
порядка для линейных векторных СВКЗ.'
Методика исследования. В работе применяютсятеория проекіш-онных методов, асимптотические методы, методы сплайн-функций, обыкновенных дифференциальных уравнений, линейной алгебры и функционального анализа.
Научная новизна. Изложен и обоснован метод коллокации приближенного решения линейных векторных СВКЗ. Доказываются теорема существования и единственности решения коллокационных задач й выводятся равномерные по е и m оценки в нормах пространства СЮ, 13.
Практическая и теоретическая ценность. Разработанные методы могут быть использованы при написании программ.для решения СВКЗ с высокой степенью точности. Дано обоснование схем четвертого порядка точности.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на конференциях "Теория функций. Дифференциальные уравнения в математическом моделировании" (Воронеж, 1993), "Современные проблемы механики и математической физики" (Воронеж, 1994), на XXYl-П Воронежской зимней математической школе (1994 г.). на научном семинаре РГУ под руководством профессрра В. И.Вдовича (Рос-тов-на-Дс1ну, 1994). на научных семинарах и конференциях Воронежского государственного университета.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ. В диссертацию включены результаты..полученные автором самостоятельно. Результаты работ 11-2] не вошли в текст дисертации. -
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, приложения и списка литературы, содержащего 99 наймем нований. Общий объем работы 160 печатных листов.