Введение к работе
Актуальность темы. В 30-х годах Ж. Адамаром было введено понятие корректной задачи. Отыскание" корректно поставленных задач и доказательство разрешимости, единственности решений и непрерывной зависимости их от данных задач наряду с численным решением является неотемлсмой частью математического моделирования различного рода задач естествознания.
Изучение задачи Коши И.Г.Петровским, результаты которого были опубликованы в 1937 году, явилось основополагающим фактором создания современной теории дифференциальных уравнений с частными -роизводными. Теория разрешимости различного рода задач для дифференциальных уравнений и их систем с частными производными получила свое дальнейшее развитие используя различные методы функционального анализа. Одним из таких средств является энергетическое неравенство. Пол энергетическим неравенством понимается неравенство вида
||«||e
для любой функции и из области определения оператора L и некоторой константы с > 0, не зависящей от и, где L —- оператор, порождённый рассматриваемой задачей, и действует из банахова пространства В в гильбертово пространство Н, || ||я и || \\ц — значения норм в пространствах В и Н. соответственно. Затем появилась теория разрешимости задач для дифференциалыю-операторных уравнений. При доказательстве теорем о существовании решения наряду с неравенством (0.1) или различного рода его модификациями используется эллиптическая теория, интегральные преобразования, операторы осреднения и другие методы. Однако, наг ример, при изучении многих (мешанных и
других задач для нестационарных уравнении, заданных и нецшшн-дрпческих областях, т.е. в областях, изменяющихся си временем, нельзя автоматически перенести известные; методы доказательства разрешимости на этот случай. В то же время рассмотрение такого рода задач диктуется многими реальными физическими задачами при моделировании конкретных явлений. В книге Ж.-Л. Лпонса, и Э. Мадженсса "Неоднородные граничные задачи и их приложения'^ М., 1971) отмечена в качестве одной из проблем (стр. 341, нробд. 13.7) актуальность изучения задач для уравнении эволюционного типа в нецилиндрических областях.
Дальнейшее развитие теории разрешимости граничных задач для линейных дифференциальных уравнений с частными производных/и представляется актуальной и важной и с точки зрения развитии самой теории, и с точки зрения приложений.
Научная новизна, теретическая и практическая значимость работы. В диссертации разрабатывается основанный на априорных энергетических неравенствах (0.1) и операторах осреднения переменного шага метод исследования граничных задач для линейных дифференциальных уравнений
Lu = F, (0.2)
используя и развивая идеи метода И.Г. Петровского — Дж. Лере — Л. Гординга — А.А. Дезина — О.А. Ладыженской. Введение операторов осреднения связано в определённом смысле с аппроксимацией заданных функций с помощью бесконечно дифференцируемых или других более гладких функций. В своих исследованиях С.Л. Соболев и К.О. Фридрихе в качестве операторов осреднения предложили интегральные операторы с бесконечно дифференцируемым ядром. На .основе конструкций этих интегральных операторов с бесконечно диффереп-
цируомым ядром и разбиении єдині'цы в работах Лени, Лнонса и Буренкова предложена конструкция операторов осреднения с переменным шагом, которые позволяют учитывать и граничные условия. Операторы осреднения позволяют строить последовательность гладких функций, стремящихся о определённом смысле к заданной функции, для разбиения единицы, для интегрального представления, для продолжения функций. Операторы осреднения с переменным шагом вместе с энергетическими неравенствами непосредственно можно использовать при доказательстве разрешимости многих граничных задач для дифференциальных уравнении с частными производными, что и делается в диссертации. На основе этою г >лучены новые результаты относительно постановки и доказательства разрешимости новых граничных задач, исследованы некоторые новые классы линейных дифференциальных уравнений. В диссертации предложены новые подходы и методика вывода энергетических неравенств для некоторых класс >в уравнений при доказательстве теорем существования и единственности решений рассматриваемых задач, в частности : при изучении зад.ччи типа Дирихле для уравнений 3-го порядка (гл.4), граничных задач для относительно заданного поля гиперболических уравнений (гл.2), задачи сопряжения, моделирующие диффузию примесей (гл.5), колебания после удара (гл.о) и др.. Однако следует отметить, что в диссертации не ставилась задача максимально охватить классы дифференциальных уравнений и задачи для них, которые можно исследовать на разрешимость с помощью метода энергетических неравенств и операторов осреднения.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных "сминарах в Белорусском государственном университете и Белорусского Математического общества, на Республиканских конференциях математиков Беларуси [18-20], на
Всесоюзной конференции по уравнениям с частными прошиод-ными, посвященной 75-летию го дня рождения И.Г. Петровского [21], в Школе по теории операторов в функциональных пространствах [22], в Школе "Современные методы в теории красных задач1' [23], на Всесоюзной научно-технической конференции * '.Динамическое моделирование сложных систем" [24].
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в работах [1-17].
Структура и объём работы. Диссертация изложена на 255 страницах, состоит из оглавления, введения, шести глав, объединяющих двадцать четыре параграфа, и списка литературы, состоящего из 252 наименований.