Введение к работе
Актуальность темы. Рассматриваемая в данной работе модель описывает пронесе фазового перехода жидкость-твердое тело. Задачи, соответствующие этим моделям, называются еше задачами Стефана по имени И.Стефана, опубликовавшего в 1889 г. четыре работы, посвященные исследованию тепловых и диффузионных процессов.
К недостаткам традиционной постановки задачи Стефана следует отнести то обстоятельство, что движение жидкости, естественно возникающее вследствие различных плотностей жидкой и твердой фаз (не говоря о вынужденной конвекции), игнорировалось. В 80-ых годах ряд исследователей приступил к изучению новых постановок задач о фазовых переходах, в которых учитывалось движение жидкости.
Видимо, первым достижением в этой области следует считать получение слабого решения квазистационарной задачи в работах Кэвнона (Cannon J.R). Ли Бенедетто (Di Benedetto Е.) и Найтли (Knightly G.H. ). датированных 1980 годом. Ими же было получено обобщенное решение нестационарной задачи в -случае двух пространственных переменных. Локальная разрешимость в гельдеровых классах двумерной двухфазной квазистационарной задачи с конвекцией в идеальной жидкости была установлена Базалием Б.В. Дегтярев СП. получил аналогичный результат для жидкости, подчиняющейся уравнениям Навье-Стокса. Этими же исследователями показано, что одно- и двухфазная нестационарные задачи в многомерном случае допускают классическое решение в "малом" по времени. Самой последней известной нам работой, выполненной в этом ключе, является работа Костикова А.А., где он рассматривает термодиффузную задачу с
конвекцией в вязкой жидкости и доказывает классическую разрешимость для малых времен. Разрешимость в "целом" по времени удалось получить Кулагиной Н.А. и Шабдирову Д.Н.. но лишь для случая одной пространственной переменной и для однофазной задачи. В первом случае жидкость предполагается сжимаемой, во втором - несжимаемой.
Движение жидкой фазы отражается не только на уравнениях, выполненных в жидкости, которые при этом сильно усложняются, но и на граничных условиях, в том числе и на условиях, заданных на свободной транше. Условие баланса энергии кроме прочего будет содержать и вели-ины. характеризующие это движение: скорость и давление. В отличие от упомянутых исследователей, которые вместо баланса энергии на границе раздела фаз берут традиционное условие Стефана, учитывающее только связь температуры с движением границы:
(V = kDn-автор ставит точное условие, имеющее вид:
Здесь к - некоторая постоянная, о„- скорость перемещения -границы в направлении нормали к границе, v - скорость среды, Р - тензор напряжений. [*„] - скачок нормальной производной температурного поля на границе раздела фаз.
Изложенными обстоятельствами определяется актуальность работы.
Цель исследования - доказательство локальной разрешимости стационарной (не зависящей от времени) задачи о фазовых переходах в классах функций конечной гладкости.
Методы исследования. В основу исследования положен метод теоремы о неявной функции для нелинейных операторов. При доказательстве разрешимости линейных задач использован метод
продолжения по параметру, требуюший выполнения принципа максимума и наличия априорных оценок шаулеровского типа.
Научная новизна. Все результаты-являются новыми и состоят в следующем:
получена модель процесса фазового перехода жидкость-твердое тело при условии движения твердой фазы с постоянной скоростью и условием баланса энергии на границе раздела фаз в случае двух пространственных переменных:
получено решение, описывающее "одномерный" стационарный процесс фазового перехода:
доказана локальная.(в окрестности "одномерного" решения) разрешимость двумерной стационарной задачи в классах гладких функций:
доказана однозначная разрешимость двух линейных задач для эллиптических уравнений в прямоугольнике, представляющая теоретический интерес.
Практическая и теоретическая ценность. Один из вариантов предложенной модели описывает процесс непрерывного литья металлов и может быть использован в металлургии для численных расчетов этого процесса.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международной научной студенческой конференции (г. Новосибирск. 1993 г.). Юбилейной научно-технической конференции, посвяшенной 20-летию Алтайского университета (г. Барнаул. 1993 г.). на семинаре Института гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН "Математические модели механики сплошных -сред" под руководством чл.-корр. РАН В.Н.Монахова, на семинаре Института математики СО'РАН "Качественная теория дифференциальных уравнений" под руководством профессора Т.И.Зеленяка, на семинаре лаборатории математического моделирования
- б -
фазовых переходов Института гидродинамики СО РАН под руководством чл.-корр. РАН П.И.Плотникова.
По теме диссертации подготовлено три работы.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста, списка цитированной литературы из 34 наименований. Объем работы 99 страниц машинописного текста.