Введение к работе
Актуальность темы. Работа относится к теории гиперболических динамических систем. В ней изучаются множества марковских и сходных с ними предмарковских разбиений для псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхностей, в частности, для гиперболического автоморфизма тора. Такие разбиения (наборы подмножеств фазового пространства с определёнными структурой и поведением под действием отображения, определения см. ниже) позволяют строить удобные символические модели для указанных отображений, что может применяться при изучении свойств последних.
Диффеоморфизм двумерного тора, задаваемый формулой
х і—> Ах (mod Z ), (*)
где А Є GL2(^) - гиперболическая матрица, (его называют гиперболическим автоморфизмом тора) и в частности, такой диффеоморфизм с А = (її), послужил при построении гиперболической динамики в 1960-х гг. важным примером динамической системы, в которой всё фазовое пространство является гиперболическим множеством (системы Аносова). Построение марковского разбиения для гиперболического автоморфизма тора было осуществлено Р. Адлером и Б. Вейссом.1
В дальнейшем обобщения конструкции марковских разбиений происходили в двух направлениях.2
1R.L. Adler, В. Weiss. Entropy, a complete metric invariant for automorphisms of the torus, Proc. of Nat. Acad. Sci., 57:6 (1967), 1573-1576.
2Ещё один подход — арифметическое кодирование, -- принадлежащий А. М. Вершику, состоит в построении для автоморфизма (*) кодирования точек в виде X^^L-oo пА~п(у), где у — фиксированная гомо-клиническая точка, а (єп) выбирается из компакта в пространстве последовательностей; при некоторых условиях он является марковским.
A.M. Vershik. The fibadic expansions of real numbers and adic transformation. Prep. Report Inst. Mittag-Lefner, 1991-1992, No. 4, 1-9.
N. Sidorov, A. Vershik. Bijective arithmetic codings of hyperbolic automorphisms of the 2-torus, and binary quadratic forms. J. Dyn. Control Syst., 4:3 (1998), 365-399. В настоящей диссертации этот подход не рассматривается.
Один путь, принадлежащий Р. Боуэну,3 состоял в рассмотрении динамики на произвольном локально максимальном гиперболическом множестве. (Первые шаги в этом направлении, практически одновременно с работой Адлера и Вейсса, были сделаны Я. Г. Синаем: он начал, частично совместно с Б. М. Гуревичем, построение марковских разбиений для гиперболических автоморфизмов n-мерного тора.) В этих условиях Боуэном было установлено существование марковского разбиения, однако платой за столь общие условия стала неконтролируемо сложная геометрия множеств, составляющих разбиение.
Позже выяснилось, что существенную роль в наличии простой геометрии элементов разбиения играет двумер-ность фазового пространства. Так, уже для аналогичного (*) автоморфизма трёхмерного тора элементы марковского разбиения не могут иметь кусочно гладкую границу.
Поэтому возник также другой путь: при сохранении двумерности фазового пространства ослабить требования к отображению. Таким распіирением класса отображений являются псевдоаносовские диффеоморфизмы двумерных компактных ориентируемых поверхностей. Они возникают естественным образом как представители некоторой части классов эквивалентности при принадлежащей Я. Нильсену и У. Тёрстону классификации гомеоморфизмов поверхностей с точностью до изотопии.
Определение псевдоаносовского диффеоморфизма основывается на аналогии со следующими свойствами гиперболического автоморфизма тора. Для последнего существуют два одномерных трансверсальных слоения, инвариантных под действием диффеоморфизма разбиения на прямые, параллельные устойчивому или неустойчивому направлению. На слоях этих слоений есть меры (совпадающие со стандартной одномерной мерой Лебега), которые голо-номно инвариантны: если отрезок перенести с одного слоя
3R. Bowen. Markov partitions for Axiom A diffeomorphisms, Amer. J. Math., 92 (1970), 725-747.
4R. Bowen. Markov partitions are not smooth, Proc. Amer. Math. Soc, 17:1 (1978), 130-132.
устойчивого (неустойчивого) слоения на другой вдоль слоев неустойчивого (устойчивого) слоения, то меры этих отрезков будут равны. Наконец, образы этих мер под действием автоморфизма есть исходные меры, умноженные на Л и 1/Л соответственно.
В случае псевдоаносовского диффеоморфизма (для простоты рассмотрим случай поверхности без края) инвариантные слоения могут иметь особые точки вида < стандартной особенности с п ^ 3 сепаратрисами> (например, при п = 4 слоение в окрестности такой точки гомеоморфно слоению на компоненты связности гипербол ху = с и координатные полуоси). Устойчивое и неустойчивое слоения трансверсальны всюду, кроме особых точек, на них заданы трансверсальные меры, которые голономно инвариантны, а их образы есть они сами, умноженные соответственно на Л и 1/Л.
Для псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхностей без края марковские разбиения были построены А. Фати и М. Шубом.5 Эти же авторы (а впоследствии и другие) использовали марковские разбиения для анализа динамики псевдоаносовских диффеоморфизмов.
А. Ю. Жиров использовал для классификации псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхностей6 введённые им ленточные разбиения — предмарковские (он называет их просто марковскими) разбиения с некоторыми дополнительными свойствами.
Актуальность темы вытекает из вышесказанного - - значимости марковских разбиений как инструмента в исследовании различных вопросов теории псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхностей.
5Fathi A., Laudenbach F., Poenaru V. Travaux de Thurston sur les surfaces (Seminaire Orsay). Paris, Soc. Math. France, 1979 (Asterisque 66 67).
6Zhirov A. Yu. Complete combinatorial invariants for conjugacy of hyperbolic attractors of diffeomorphisms of surfaces, J. Dyn. Control Syst.. 6:3 (2000), 397-430.
Жиров А. Ю. Комбинаторика одномерных гиперболических аттракторов диффеоморфизмов поверхностей, Труды МИАН, 244 (2004), 143-215.
Цель работы. Целью работы является изучение всего семейства марковских (и сходных с ними предмарковских) разбиений для данного псевдоаносовского диффеоморфизма поверхности, в частности, установление конечности числа неэквивалентных предмарковских разбиений ограниченной сложности (определение см. ниже, для марковских разбиений это означает, что число элементов ограничено сверху) и получение явных формул для их количества в простейших случаях.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.
Основные результаты.
Доказано, что для любого псевдоаносовского диффеоморфизма поверхности множество классов эквивалентности (относительно действия степеней диффеоморфизма) предмарковских разбиений с ограниченной сложностью конечно.
В случае гиперболического автоморфизма тора описана структура множества простейших предмарковских разбиений — разбиений на два параллелограмма с условием, что оба отрезка границы содержат неподвижные точки. В частности, получены явные выражения для числа классов эквивалентности таких разбиений относительно действия степеней этого автоморфизма.
Методы исследования. В работе, помимо выработанных в гиперболической теории динамических систем методов, также применяются методы элементарной геометрии и топологии на поверхностях и теоретико-числовые методы, связанные с теорией цепных дробей.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты относятся к гиперболической теории динамических систем. Результат о структуре множества простейших предмарковских разбиений указывает динамический инвариант гиперболического автоморфизма тора, который может препятствовать топологической сопряжённости двух таких автоморфизмов даже с одинаковой жордановой формой матрицы.7
См. работу [3] из списка публикаций.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:
на семинаре кафедры теории динамических систем механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством академика РАН Д. В. Аносова, д. ф.-м. н., профессора В. М. Закалюкина в 2006 г.:
на семинаре <Динамические системы> под руководством д. ф.-м. н., профессора Ю. С. Ильяшенко (механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова) в 2007 г.:
на семинаре по теории динамических систем под руководством академика РАН Д. В. Аносова, д. ф.-м. н., профессора А. М. Стёпина (механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова) в 2008 г.:
на конференции <Ламинации и групповые действия в динамике> (г. Москва, 19—23 февраля 2007 г.)
на Международной конференции <Дифференциальные уравнения и топология>, посвященной 100-летию со дня рождения Л. С. Понтрягина (г. Москва, 17—22 июня 2008 г.)
на семинаре по теории динамических систем в Университете Экс—Марсель I (г. Марсель, Франция) в июне 2008 г.
на конференции
на школе Публикации. Основные результаты опубликованы в следующих работах: [1] А. В. Клименко. О количестве классов марковских разбиений для гиперболического автоморфизма двумерного тора, Матем. сб., 200:8 (2009), 147-160. [2] А. В. Клименко. Конечность числа классов марковских разбиений для псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхностей, Матем. заметки, 86:2 (2009), 314—317. До этого часть результатов диссертации была (без полных доказательств) опубликована в препринте [3] D.V. Anosov, A.V. Klimenko, G. Kolutsky. On the hyperbolic automorphisms of the 2-torus and their Markov partitions (preprint no. MPIM2008-54). -- Bonn, Max-Planck-Institut fur Mathematik, 2008. Структура работы. Работа состоит из введения, трёх глав и списка литературы, содержащего 16 наименований. Общий объем диссертации --95 страниц.