Введение к работе
Актуальность тем ы.Одной из основных проблем теории уравнений с частными производными является исследование уравнений смешанного типа, что представляет как теоретический так' и практический интерес. В 1959 г. И.Н.Векуа указал на важность пройдеш уравнений смешанного типа в связи с задачами в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей. Задача истечения сверхзвуковой струи из сосуда с плоскими стенками сводится к задаче Трикоми для уравнения'Чаплыгина (вырождающееся уравнение смешанного типа). Имеется'целый ряд работ Ф.Грикоми, С.Гедлерстедта, А,В»Бицадзе, М.С.Салахигда-нова, Т.Д.Джураева, в которых исследуются основные смешанные' краевые задачи и ставятся новые корректные задача для уравнений эллиптико-гипврболячесного, параболо-гиперболйческого типов первого рода, т.е. уравнений для которых линия вырождения на яапяется характеристикой*
Уравнения смешанного типа, линия вырождения которых является огибающей семейства характеристик и, следовательно,сама также является характеристикой, в литературе принято называть уравнениями смешанного типа второго рода.
Результаты исследований краевые задач для уравнений эллип-тико-гаперболического типа второго рода в области, честі границы которой является линией ЗД^ідевля* содержатся в книгах М.М.Смирнова, О.А.ЛШ^&йіР^евичй» сЛ.Терсенова. .'.;.
Работ, посвященных изучений краевых задач дай" ^равнений , параболо-гипербодйчеойого тйаа atoporo роди» ср^вйитШно мамц.;
_ 4 -
Цель работы. Постановка и исследование задачи Галлерстедта, аналогов задачи Трикоми, нелокальных задач для уравнения второго порядка, а также краевых задач для уравнения третьего порядка параболо-гипврболического типа второго рода в зависимости от вырождения.1,
Методика исследования. При получении представленая обобщенных решений класса ft уравнений гиперболического стпа второго рода использованы свойства гипер-'геометрических функций. Доказательство существования решешя краевых задач основано на систематическом использовании полученного представления обобщенных решений класса R. , теории линейных интегральных уравнений Вольтерра и Фредгольма второго рода. Единственность решения задач доказывается-с помощью различных принципов экстремума и методами интегралов энергии.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно.
Доказаны ряд яондеств, позволяющих определенные линейные комбинации пшергеометрических функций сводить к биномиальной функции и на их основе изучены структура обобщенных решений класса R.
Доказана однозначная разрешимость задачи Геллерстедга, аналогов задачи Трикоми, нелокальных задач для уравнений второго порядка, а также для уравнений третьего порядка парабо-ло-пшербодического типов второго рода.
Практическая и теоретическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми и имеют теоретический характер. Они могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач
- 5 - ' для уравнений смешанного и смешанно-составного типов,
Апробация работы, Результати диссертации докладывались на семинаре отделов дифференциальных уравнений и неклассических уравнений математической физики Института математики им.В,И.Романовского АН УзССР, яа Всесоюзной школе молодых ученых^ "функціїоналыше методы в прикладной математике и математической физике" (Ташкент, 1988), школе-семинаре "Актуальные вопросы комплексного анализа" (Ташкент, 1989), на конференции молодых ученых, посвященной ПО летии со дия'рождения В.И.Романовского (Ташкент, 1989), на Всесоюзной конференции "Дифференциальные уравнения и оптимальное управление" (Ашхабад, 1990); на конференции "Краевые задачи и их спектральные вопросы для дифференциальных уравнений" (Алма-Ата, 1991).
Публикации. Основные р&эультаты диссертации опубликованы в работах [I - 7) . '
Структура и обьем диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, содержащих.7 параграфов и библиографии. Общий объем работы S6 страниц машинописного текста. Библиография включает 55 наименований.