Введение к работе
Актуальность темы. При математическом моделировании нефтяных пластов, фильтрации грунтовых вод, переноса тепла и массы в объекте, имеющего сложное строение, элекфических колебаний в проводах, движения жидкости в канале окруженной пористой средой, распространения электромагнитных полей и установившихся волн в стратифицированной жидкости, занимающей неограниченную область, приводят к необходимости исследования как локальных, так и нелокальных краевых задач для смешанных уравнений гиперболо-параболическої о типа второго и третьего порядков.
Достаточно полная библиография по теории краевых задач для смешанных гиперболо-параболических уравнений содержится в монографиях Т.Д. Джураева, А. Сопуева и М. Мамажанова, М.С. Салахитдинова, A.M. На-хушева, в докторских диссертациях Д. Базарова, В.А. Елеева, О.А. Репина, К.Б. Сабитова. Следует также отметить работы ряда авторов: М.А. Абдарах-манова, С. Абдиназарова, Х.Г. Бжихатлова, В.Н. Врагова, И.М. Гельфанда, Н.Ю. Капустина, В.М. Корзюка, В.Н. Лесева, А.В. Лыкова, Н.К. Мамадалие-ва, Г.М. Стручиной. в которых были поставлены и исследованы как локальные и нелокальные краевые задачи для таких уравнений. Одним из важных классов нелокальных уравнений с частными производными являются нагруженные дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения. Этому классу наїруженньїх уравнений посвящены работы А.Х. Аттаева, Б. Байме-нова, А.Н. Белокурова, О.Л. Бозиева, А.В. Бородина, С.Х. Геккиева, М.Т. Дженалиева, В.А. Елеева, Н И. Ионкина, В.М. Казиева, А.А. Керефова, A.M. Нахушева, З.А. Нахушевой, М.И. Рамазанова, СМ. Торга, Е.Н. Огородников. Особо отметим обзорные работы A.M. Нахушева, где на многочисленных примерах показана практическая и теоретическая важность исследований по наїруженньїм уравнениям.
Потребность в изучении нагруженных уравнений возникает в различных ситуациях, например: при численном решении интегро-дифференци-альных уравнений, при исследовании обратных задач, при эквивалентном преобразовании обратных задач, при моделировании процессов переноса частиц, при моделировании процессов фильтрации и т.д.
В имеющихся на сегодняшний день работах главным образом изучались нелокальные краевые задачи для зллиптико-іиперболических и гиперболо-параболических уравнений второго порядка. Что касается нелокальных краевых задач для уравнений смешанного и смешанного нагруженного гиперболо-параболического типа более высокого порядка, то они остаются малоисследованными.
Все это подчеркивает как теоретическую, гак и практическую значимость постановки и исследования локальных и нелокальных краевых задач в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Актуальность этих исследований обусловлена также необходимостью обобщения
^.национальная!
классических задач для уравнений с частными производными В связи с этим, гема является актуальной и необходимо дальнейшее исследование как локальных, так и нелокальных краевых задач для таких уравнений.
Цель работы. Основной целью данной работы является постановка и исследование однозначной разрешимости локальных и нелокальных краевых задач для смешанных и смешанных нагруженных гиперболо-параболических уравнений второго и третьего порядков.
Методы исследования. Результаты получены с использованием принципа экстремума, метода интегралов энергии, метода эквивалентной редукции к интегральным уравнениям Вольтерра второго рода или интегральным уравнениям Фредгольма второго и треіьего родов, элементов дробного исчисления и теории специальных функций, функциональных уравнений.
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:
-
Доказана теорема существования и единственности решения аналога задачи Франкля для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа второго порядка.
-
Решена нелокальная краевая задача для смешанного гиперболо-параболического уравнения с оператором дробного интегро-дифферен-цирования в краевом условии.
-
Решены нелокальные краевые задачи со смещением для смешанных уравнений гиперболо-параболического типа второго порядка.
-
Доказана теорема существования и единственности решения аналога задачи Дирихле для смешанного гиперболо-параболического уравнения іретьего порядка.
-
Доказана теорема существования и единственности решения краевой задачи для смешанного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками.
-
Для смешанных нагруженных уравнений третьего порядка с кратными характеристиками, доказаны сущеегвование и единственность решения нелокальных краевых задач.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут сыграть определенную роль в построении теории краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных и уравнений смешанного типа.
Значение работы также определяется прикладной значимостью рассматриваемых краевых задач, для решения различных проблем современного естест вознания
Апробация работы. Результаты работы, по мере их получения, докладывались на семинарах МФ и НИИ ПМА КБНЦ РАН (Нальчик), на Международном Российско-Узбекском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик, 2003). на Международном Российско-Казахском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и
родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик, 2004), на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2004).
Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]-[7]. Из них [I] в соавторстве с научным руководителем В А. Елеевым, [4] с А.В. Дзарахохо-вым, [5] с А.Х. Кадзоковым.
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 84 страницах и состоиі из введения, двух глав разбитых на 7 параграфов и списка литературы, который содержит 49 наименований.