Линейные функционально-дифференциальные уравнения с внутренними сингулярностями Бравый, Евгений Ильич

Введение к работе

Актуальность темы. В работе рассматривается уравнение

(_X)(t)_sn(t)xM(t) + (Tx){t) = f(t), «єКЧ, (1)

т(<) = П1'-Г. <єМ],

1=1

а = сц < ... < а_к = 6, 0 < /х, < п, і = 2,...,к - 1, /^,/і* > 0; линейный оператор Т действует из некоторого функционального пространства X в лебегово пространство L_p; f є L_p, 1 < p < oo.

Уравнение (1) является сингулярным, так как коэффициент при старшей производной имеет нули на отрезке [а,Ь]. Нули функции 7Г — точки а; при /і,- > 0, называются сингулярными точками. Дополнительная особенность уравнения (1) — наличие при к > 2 сингулярных точек внутри рассматриваемого отрезка — так называемых внутренних сингулярностей.

Линейные скалярные обыкновенные дифференциальные уравнения с особенностями возникают во многих физических задачах и издавна привлекали внимание математиков. Такие уравнения первоначально рассматривались в пространстве аналитических функций (Эйлер, Фукс и др.), и только во второй половине нашего века были получены результаты, относящиеся к сингулярным уравнениям в пространствах дифференцируемых функций, а также в различных весовых пространствах (И.Т. Кигу-радзе, Л. Д. Кудрявцев, В. П. Глушко, J. Elschner). Задачи с сингулярными точками внутри отрезка, на котором изучается обыкновенное дифференциальное уравнение, рассматривались в работах W.N.Everitt, A.Zettl, В.П.Глушко, J.Elschner и др. Спектральные многоточечные задачи для сингулярного обыкновенного дифференциальною уравнения рассмотрены Ю.В. Покорным и его учениками.

Краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) с сингулярностями изучали L.J.Grimm, L.M.Hall, С.М.Лабовский, А.И.Шиндяпин, В. Puza, И.Т.Кигурадзе. При этом основные вопросы решались с помощью рассмотрения уравнения на отрезке, внутри которого не было сингулярных точек. Такой подход не может быть применим при рассмотрении задач для ФДУ в общем случае произвольного отклонения аргумента.

Функционально-дифференциальные уравнения с внутренними сингулярностями до сих пор, насколько нам известно, не рассматривались. Также, по-видимому, не исследовались вариационные задачи, уравнение Эйлера

— 4 —

для которых имеет внутренние сингулярности.

Если линейный оператор Т непрерывно действует из традиционного для уравнений n-го порядка пространства W таких функций с абсолютно непрерывной (п - 1)-ой производной, что <") є L_v, в пространство L_p, то оператор : W -. L_p в уравнении (1) непрерывен. При этом, если оператор Г вполне непрерывен, то оператор С не является нётеровым, так как не может быть нормально разрешимым, если хотя бы одно из чисел /^ больше нуля. Таким образом, к уравнению (1) в пространстве W не может быть непосредственно применена теория функционально-дифференциальных уравнений, построенная в монографии Н.В.Азбелева, В.П.Максимова, Л.Ф.Рахматуллиной".

Основными целями работы являются:

1. построение и изучение свойств такого пространства D, что оператор С действует из пространства D в пространство L_p, ограничен и нётеров;

2. изучение условий разрешимости краевых задач для уравнения (1) в пространстве D.

Методика исследования. В диссертации используются методы теории абстрактных функционально-дифференциальных уравнений, основные элементы которой изложены в 6-ой главе книги".

Метод исследования уравнения (1) основан на построении такого пространства D с X, что оператор С : D - L_p обладает нужными свойствами. Для этого выбирается "модельная" сингулярная операция Со, находится такое пространство D, что требуемыми свойствами обладает оператор Со : D - L_p, и изучаются условия, при которых оператор С = Со + Т наследует свойства операции Со- В качестве модельного используется интегрируемое обыкновенное дифференциальное выражение

(4)i)(0 = (*х)(0 = тг(*)х(")(0, * є [а, Ь]. (2)

Выбирается такой вектор-функционал г : D -» R^N , что система уравнений (краевая задача) дх = /, гх = а имеет единственное решение в пространстве D при всех / є L_p, а є R". Решение этой задачи строится в явном виде:

x = Af + Ya,

где Л : L_p -> D, Y : R^N -* D — линейные ограниченные операторы. Таким образом, пространство D = \L_p(bYIIⁿ изоморфно прямому произведению пространств L_p и B.^N; изоморфизм задается оператором [6, г]: D - L_pxR^N;

'Н.В.Аобелев, В.П.М&кснмов, Л.Ф.Рахматудлнна Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнении. М.: Науна, 1991. 280 с.

о -

для элементов пространства D имеет место представление х = Abx + Yrx; пространство D с нормой

11*1Ь = ||вх||^ + ||гх||_аИ

является банаховым.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми:

предложена новая методика исследования уравнений с внутренней сингулярностью, сформулированы условия, при которых краевые задачи для таких ФДУ сводятся к интегральному урагшешію в иросхракстье суммируемых функций;

построено пространство функций и сформулированы условия, при выполнении которых уравнение (1) в данном пространстве нётерово;

получены условия фредгольмовости и достаточные условия однозначной разрешимости некоторых краевых задач для уравнения (1).

предложен новый метод доказательства однозначной разрешимости сингулярной краевой задачи Балле Пуссена для обыкновенного дифференциального уравнения, а также метод доказательства знакорегу-лярных свойств функции 1}>ина такой задачи;

сформулированы условия однозначной разрешимости одного класса сингулярных вариационных задач.

Практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ре эультаты диссертации могут применяться при исследовании различных задач, сводящихся к сингулярным ФДУ, в том числе при поучении спектральных свойств сингулярных краевых задач и установлении существования минимума сингулярных функционалов.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на Пермском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям под руководством профессора Н.В. Азбелева (1992 - 1995 гг.), на Ижевском городском семинаре под руководством профессора Е.Л. Тонкова (1993 г.), на втором международном семинаре "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации" (Челябинск, 1993 г.), на семинаре института математики РАН им. В.А. Стеклова под руководством академика РАН СМ. Никольского (1994 г.).

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 4 работы, которые отражают содержание диссертации. Список работ приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и четырех глав, разбитых на 11 параграфов. Работа занимает 107 страниц. Список литературы состоит из 58 наименований.