Введение к работе
Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена качественному исследованию решений краевых задач для ква-зиэллиптических уравнений. Класс квазиэллиптических уравнений содержит как параболические так и эллиптические уравнения. Исследования последних лет (например, работы С. Агмона, А. Дуглиса, Л. Ниренберга, М. Шехтера, Я. Б. Лопатинского и другие) привели теорию эллиптических систем и уравнений к законченному виду. В этих работах установлены теоремы о нормальной разрешимости краевых задач общего вида, теоремы о гладкости решений в гладкой области при гладких коэффициентах и правых частях уравнения и граничных операторов. Решена полностью проблема индекса. То же относится к теории параболических уравнений и систем таких уравнений. Разные вопросы теории квазиэллиптических уравнений разрабатывались в работах С. Агмона и Л. Ниренберга, Л. Р. Волевича, С. В. Успенского и других. Хотя в теории квазиэллиптических уравнений методы эллиптической теории очень полезны и приводят к ряду результатов, теория квазиэллиптических уравнений имеет свою специфику. По видимому нельзя считать, что теория таких уравнений в настоящее время изучена исчерпывающим образом. Так даже постановка общей краевой задачи должна учитывать наличие характеристических точек на границе области. В теории квазиэллиптических уравнений большую роль играют теоремы вложения типа Соболева для анизотропных пространств. Теория таких пространств в настоящее время глубоко исследо-
— 2~
вана (см. например монографию О. В. Бесова, В. П. Ильина, С. М. Никольского [1]). Однако она не имела пока широких применений.
В настоящей работе рассматриваются общие краевые задачи для квазиэллиптических уравнений на гладких многообразиях, как конечных так и бесконечных. Изучаются вопросы гладкости решения внутри области и вплоть до её границы. Рассматриваются асимптотические свойства решений в неограниченных областях. Исследуется спектр операторов, порожденных квазиэллиптическими дифференциальными выражениями. Большое внимание уделяется неравенствам типа Харди в анизотропных пространствах, которые играют важную роль в теории квазиэллиптических уравнений.
Квазиэллиптическим в области ficl" называется уравнение
Ьи- ^Р aa(x)Vau = /,
(а,А)<1
если Т2{аіХ)=1аа{х)(і) ф 0 для V Є Mn \ {0}, х Є tl, = (&,,бг), ха = (х?,...,х%п), a = (ai,...,orn), Л = (Ai,...,An) фиксированный вектор, а,- ^ 0, А^1 > 0 (г = 1,..., п) — целые числа, (а,А) = Х3?а,-Л,-, Vа = 2>«» ...Х>», Vа' = -Щ, (г = 1,...,п),
аа(х) и f(x) определенные в области Q функции. Уравнение
Lu= Y, VaaaP{x)V^u+ aa{x)Vau = f
(а,А)=І,(/?,Л)=1 (a,A)
называется сильно квазиэллиптическим, если
J3 ЯарЄаЄр ^ С ^2 )^aj2 (С = COnSt > 0)
(a,A)=l,(/3,A)=l (а,А)=1
при всех вещественных а, /Ї = (/?!,..., /?п), /Зі ^ 0 — целые.
[1] Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука. 1975.
— з —
В монографии Л. Хёрмандера [2] также рассматриваются квазиэллиптические уравнения.
Первыми работами, в которых введено понятие квазиэллиптического уравнения являются работы Л. Р. Волевича [3], [4]. В работах Л. Р. Волевича выводятся априорные оценки для решений квазиэллиптических систем внутри области. Из этих оценок получаются теоремы о бесконечной дифференцируемости решений квазиэллиптических систем и о принадлежности решений к классам Жевре.
В монографии Ж.-Л. Лионса и Э. Мадженеса [5] отмечена целесообразность систематического изучения граничных задач для квазиэллиптических уравнений.
В 1960-х и в начале 1970-х годов в работах Г. Джусти, Л. Арке-рида, А. Кавалуччи, Г. Бароцци, Ч. Паренти, В. Пини, М. Труази и Т. Мацузава получены результаты о существовании, априорных оценках, гладкости решений, поведении решений на бесконечности.
Ряд результатов в этом направлении принадлежит В. П. Михайлову, С. В. Успенскому и другим.
В работе В. П. Михайлова [6] доказывается нормальная разрешимость первой краевой задачи. В кн. С. В. Успенского, Г. В. Де-
[2] Хёрмандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М.: Мир. 1965.
[3] Волевич Л. Р. Об одном классе гипоэллиптических систем. — ДАН ССР. 1960. Т. 134. № 6. С. 1275-1285. [4] Волевич Л. Р. Локальные свойства решений квазиэллиптических систем. — Матем. сб. 1962. Т. 59 (дополн.). С. 3-52. [5] Лионе Ж.-Л. и Маджепес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир. 1971.
[6] Михайлов В. II. Первая краевая задача для квазиэллиптических и квазипараболических уравнений. — Труды МИАН. 1967. Т. 91. С. 81-99.
— 4 —
миденко и В. Г. Перепелкина [7] приведены теоремы о корректной разрешимости краевых задач для квазиэллиптических уравнений с постоянными коэффициентами. Именно доказано, что краевая задача
L(Vx)u = f(x) а; Є Ж"
Bj(Vx)u =0, j = 1,..., /і,
при выполнении условия Лопатинского корректно разрешима в классах Wj (К") Соболева, если правая часть ортогональна к некоторым полиномам.
Существенную роль в исследовании квазиэллиптических уравнений имеют неравенства типа Харди.
Классическое неравенство Харди
" у2
J — dx ^. 4 J у'2 dx,
О и
имеет место для абсолютно непрерывных на [0, сю) функций таких, что у(0) = 0.
Много обобщений этого неравенства имеются в [1], в работах В. А. Кондратьева и О. А. Олейник, М. III. Бирмана и М. 3. Со-ломяка, В. Опица и А. Куфнера, Г. Трибеля, В. Д. Степанова и
ДР-
Неравенство Харди обобщено для случая функций многих переменных [8].
В работе Ю. С. Никольсокого [9] изучались теоремы вложения для весовых анизотропных пространств Соболева.
[7] Успенский С. В., Демиденко Г. В. и Перепелкин В. Г. Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям. Новосибирск: Наука. 1984
[8] Бирман М. Ш., Соломяк М. 3. Количественный анализ в теоремах вложения Соболева и приложения в спектральной теории. — Десятая мат. школа. Инст. математики АН УССР. Киев. 1974. [9] Никольский Ю. С. Интегральные оценки дифференцируемых функций из весовых анизотропных пространств на неограниченных областях. — Труды МИАН. 1988. Т. 181. С. 222-240.
— 5 —
Такне теоремы, хотя они не являются обобщениями неравенства Харди, могут быть рассмотрены как некоторые оценки типа неравенства Харди.
В диссертации обобщениям неравенства Харди для функций из анизотропных пространств Соболева в 1" и в некоторых неограниченных областях посвящена целая глава (глава I). Они используются при исследовании различных задач для квазиэллипти-ческих уравнений.
Во многих работах изучался вопрос о спектре эллиптических операторов (напр. В. А. Кондратьев и Ю. В. Егоров [10], М. Ш. Бирман и М. 3. Соломяк [8], М. Рид и Б. Саймон [11]). В диссертации с помощью анизотропных неравенств Харди доказываются теоремы об отрицательном спектре квазиэллиптических операторов (глава II).
В комплексном анализе и в теории уравнений с частными производными большую роль играет теорема Фрагмена — Лин-делёфа и её обобщения. Первое обобщение принципа Фрагмена — Линделёфа для решения эллиптической задачи Дирихле в цилиндре установил П. Д. Лаке [12]. Работа П. Д. Лакса вызвала большое число продолжений. Так в работе [13] С. Агмон и Л. Ыиренберг рассматривали общие эллиптические (и квазиэллиптические) краевые задачи с постоянными коэффициентами. Случай переменных коэффициентов, стабилизирующихся на бес-
[10] Кондратьев В. А., Егоров Ю. В. Об отрицательном спектре эллиптических операторов. — Матем. сб. 1990. Т. 181. № 2. С.147-166.
[11] Рид М. и Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4. М.: Мир. 1982.
[12] Лаке П. Д. Теорема Фрагмена — Линделёфа в гармоническом анализе и её применения к некоторым вопросам эллиптических уравнений. — «Математика» сб. пер. 1959. Т. 3. № 4. С. 107-132.
[13] Agmon S. and Nirenberg L. Properties of solutions of ordinary differential equations in Banach space. — Communications on pure and applied mathematics. 1963. V. XVI. P.P. 121-239.
— 6 —
конечности к постоянным, изучался в работе [14] В. Г. Мазьи и Б. А. Пламеневского. Теоремы Фрагмена — Линделёфа для эллиптических уравнений изучались в работах О. А. Олейник и её учеников, Е. М. Ландиса и его учеников.
В настоящей работе доказываются теоремы типа Фрагмена — Линделёфа для решений различных квазиэллиптических задач (в цилиндрах и других неограниченных областях).
В теории эллиптических уравнений важное место занимает теорема о нормальной разрешимости. В диссертации такая теорема доказана для квазиэллиптических уравнений на компактном многообразии ив!", хотя принципиальных трудностей в этом случае не возникает (глава IV).
Выше уже было отмечено, что в теории квазиэллиптических задач многими математиками получены результаты о гладкости решений. Например, Г. Джусти [15] получил для решения уравнения
(а,АК1,(/?,А)<1 (а,А)«а
оценки в классах Гельдера.
Л. Аркерид [16] установил оценки решений квазиэллиптических уравнений в Lp-нормах.
Утверждение о принадлежности классу Гельдера решений эллиптического уравнения второго порядка есть классическая теорема де Джорджи [17].
[14] Мазья В. Г. и Пламеневский Б. А. Об асимптотическом поведении решений дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. — Изв. АН СССР. 1972. Т. 36. С. 1080-1133. [15] Джусти Г. Equazioni qtiasi-ellitiche е spazi Р'Л(^, S). I є II. — Ann. Mat. pura appl. 1967. Ser. 4. 75. P.P. 313-354. Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa. 1967. 21. P.P. 353-372.
[16] Arkeryd L. On Lp estimates for quasi-elliptic boundary problems. — Math. Scand. 1969. 24. № 1. P.P. 141-144. [17] де Джорджи Э. О дифференцируемости и аналитичности экстремалей кратных регулярных интегралов. — «Математика» сб. пер. 1960. Т. 4. № б. С. 23-38.
— 7 —
Для эллиптических уравнений порядка 2тп И. Нечас [18] доказал теорему о принадлежности решений классу Гельдера при 2т > п (п — размерность пространства).
В настоящей работе доказывается теорема о принадлежности решения квазиэллиптического уравнения классу Гельдера внутри области и при нулевых краевых условиях Дирихле вплоть до границы. Это есть обобщение теоремы И. Нечаса. Кроме того, доказывается гладкость решений для общей краевой задачи при соответствующей гладкости правых частей уравнения и граничных операторов (глава IV).
Цель работы. Исследование асимптотических свойств решений в неограниченных областях, свойств гладкости и нормальной разрешимости квазиэллиптических краевых задач. Изучение спектральных свойств квазиэллиптических операторов.
Методы исследования. В работе используются теоремы вложения в анизотропных пространствах Соболева, вариационный метод, методы классического функционального анализа. Доказываются и применяются для качественного исследования квазиэллиптических уравнений анизотропные обобщения неравенств Харди и Пуанкаре.
Научная новизна. 1. Доказаны неравенства типа Харди в анизотропных пространствах для областей типа параболоида, жёлоба, слоя и в Шп. Также доказана теорема, о неравенстве Харди для случая анизотропных пространств с производными нецелого порядка. 2. Получены теоремы о конечности отрицательного спектра квазиэллиптических операторов. 3. Установлены теоремы типа Фрагмена — Линделёфа для решений различных квазиэллиптических краевых задач (в цилиндрах и других неограниченных областях). 4. Доказана нормальная разрешимость
[18] Necas J. Sur la regularite des solution variationelles des equations elliptiques non-lineaires d'ordre Ik en deux dimensions. — Ann. Scuola Normale superiors di Pisa. 1967. V. 21. № 3. P.P. 427-452.
— 8 —
общей краевой задачи с граничными операторами, подчиняющимися условиям типа условий Лопатинского. Показана гладкость решений таких задач при соответствующей гладкости правых частей уравнения и граничных операторов. 5. Доказана теорема о принадлежности решения классу Гельдера внутри области и при нулевых краевых условиях Дирихле вплоть до границы.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертация имеет теоретический характер. Она может представить интерес для специалистов в области дифференциальных уравнений с частными производными. Результаты диссертации могут быть использованы в функциональном анализе при исследовании спектра дифференциальных операторов и в теории функций действительного переменного при получении теорем вложений в различных областях, как ограниченных так и неограниченных.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Четвертой конференции по дифференциальным уравнениям и их применениям (Болгария, Руссе, 1989), на весенней математической школе, посвященной 85-летию Л. С. Понтря-гина (Воронеж, 1993), на конференции, посвященной 50-летию АН Азербайджана, на семинарах О. А. Олейник и А. С. Калашникова, В. А. Кондратьева и Е. М. Ландиса, В. А. Кондратьева и Ю. В. Егорова, В. А. Ильина, А. В. Бицадзе и Е. И. Моисеева (МГУ), С. М. Никольского и Л. Д. Кудрявцева, В. П.Михайлова и А. К. Гущина (МИАН), на общеинститутском семинаре ИММ АН Азербайджана.
Публикации. Изложенные в диссертации результаты опубликованы в 13 работах без соавторов. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 88 наименований. Объем диссертации 287 машинописных страниц.
— 9 —