Введение к работе
Актуальность темы. Известно, что в основе математических моделей многих явлений, имеющих место в жидкой среде, и таких явлений, как сверхзвуковое и околозвуковое течение газов, а также в основе моделей ряда других процессов механики лежат уравнения в частных производных второго порядка гиперболического и смешанного типов.
Задачи Гурса и Дарбу вместе с задачей Кош и смешанной задачей являются основными локальными краевыми задачами для уравнений гиперболического типа второго порядка о двумя независимыми переменными.Именно задача Дарбу получила существенное обобщение и развитие в теории уравнений смешанного эллиптико-гиперболического и параболо-гиперболического типов. Эта теория в силу ее прикладной и теоретической важности и благодаря исследованиям Ф.Трикоми , С.Геллерсгэдта ,М.А.Лаврентьева , А.В.Бицадзе, Ф.И.Франкля, К.И.Бабенко, И.Н.Векуа стала одним из центральных разделов современной теории уравнений в частных производных. Среди работ, посвященных краевым задачам для уравнений гиперболического и смешанного типов особо следует отметить работы А.В.Бицадзе , в которых изучен целый ряд важных краевых задач, в двумерном и пространственном случаях, которые стимулировали исследования в этом направлении и привлекли к этой тематике многочисленных математиков.
Значительный вклад в теорию уравнений гиперболического и смешанного типов внесли исследования А.М.Нахушева.К.Фридрихса, П.Лакса-Н.Филлипса, К.Моравец, М.С.Салахитдинова, Т.Д.Джураева, М.М.Смирнова, В.Н.Врагова, В.Ф.Волкодавова. Среди работ, посвященных методике постановки корректных краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов важное место занимают работы А.М.Нахушева, Т.Ш.Кальменова и М.Отелбаева .
і
-3- :
В теории уравнений с частными производными гиперболичес-кого и смешанного типов краевые задачи с данными на всей границе области служат примером некорректно поставленных задач. Однако многие весьма важные задачи безмоментной теории оболочек, движения жидкости во вращающемся сосуде, некоторые случаи безвихревого течения идеального газа в сопле приводят к задаче Дирихле для уравнений гиперболического и смешанного типов.
Решение задачи Дарбу для волнового уравнения с данными на двух нехарактеристических прямых содержится еще в известной монографии Э.Гурса и достаточно подробно описано в монографии А.В.Бицадзе. К началу сороковых годов задаче Дирихле для уравнения струны были посвящены работы Дж.Адамара, А.Губера, Д.Бургина, Р.Дюффина и Ф.Джона, содержащие ряд результатов по разрешимости и единственности решения соответствующей неоднородной задачи. В конце сороковых годов Р.А.Александряном была рассмотрена задача на собственные значения. В последствии задача с косой производной для системы, эквивалентной уравнению струны, была впервые исследована С.Л.Соболевым и развита Н.Н.Вахания. Ю.М.Березанским указаны области, в которых имеет место соответствующее энергетическое неравенство и поэтому задача Дирихле оказывается слабо разрешимой.
В пооледнее время интенсивно изучаются локальные краевые задачи для гиперболических уравнений в областях с нехарактери-стической границей. Отметим прежде всего работы С.С.Харибегаш-вили, результаты которого наиболее близки по тематике к первой главе нашей диссертации, а также работы 3.0.Мельника, М.Е.Лер-нера , А.С.Бердышева .
Исследования по краевым задачам для уравнений смешанного типа в области с отходом от характеристики берут свое начало с основополагающих работ А.В.Бицадзе и.К.И.Бабенко. Ими исслэдо-
вана обобщенная задача Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе и для уравнения Геллерстедта при некоторых ограничениях геометрического характера на границу области. Позже в работах В.В.Коврижкина , А.П.Солдатова , В.Н.Врагова эти ограничения были существенно ослаблены. Особо отметим результат А.П. Солдатова, который доказал корректность обобщенной задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе, не накладывая никаких ограничений геометрического характера на границу эллиптической части области.
Исследованию краевых задач для уравнений смешанного эл-липтико-гигорболического и параболо-гиперболического типов, близких по тематике ко второй главе нашей диссертации, посвящены работы Т.Ш.Кальменова, К.Фридрихса, К.Моравец, М.Протерра, М.С.Салахитдинова, Т.Д.Дкураева, Е.И.Моисеева, А.Г.Кузьмина, В.А.Елеева, Н.Ю.Капустина, А.С.Бердышева и других математиков. Из всех этих исследований, в частности, следует некорректность задачи типа Дирихле для уравнений смешанного типа в смысле обычных (регулярных) решений.
В отличие от теории разрешимости, спектральные вопросы задач для уравнений гиперболического и смешанного типов являются малоизученными. Отметим, что общеизвестные методы (в частности, абстрактная спектральная теория линейных операторов), являющихся мощным инструментом при изучении эллиптических операторов, оказываются малоприспособленными в применении к краевым задачам для уравнений гиперболического и смешанного типов в о0ласти, часть которой совпадает с характеристическим конусом. По этой причине многие актуальные проблема уравнений гиперболического и смешанного типов требуют специальных исследований и привлечения новых средств и методов. Одними из таких задач, в частности, являются вопросы спектра и сильной разре-
шимости локальных и нелокальных неэллиптических задач. Систематическое изучение спектральных вопросов уравнений смешанного типа начато сравнительно недавно с работ Т.Ш.Кальменова, Е.И.Моисеева, С.М.Пономарева. В работах Т.Ш.Кальменова также доказана полнота собственных функций неоамосопряженной краевой задачи со смещением для волнового уравнения. Насколько нам известно,-до сих пор не было примера несамосопряженной задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в области, гиперболическая часть которой является характеристическим треугольником, обладающей полной системой корневых функций.
В случае граничных задач для уравнений гиперболического и смешанного 'типов при исследовании задач в слабом смысле возникают существенные затруднения при выяснении отношения между обобщенными и классическими решениями и, как следствие, отсутствие доказательства единственности решения, отсюда однобокое исследование задач. В связи о атим важное значение приобретает вопрос: при каких условиях слабые решения являются классическими. В более точной постановке, когда обобщенное решение U граничной задачи для уравнения может быть приближено последовательностью \1Дп} классических решений, в том смысле, что Un —* U и LU||"^ т в некоторой метрике, как правило, по норме 1_г . Обобщенные решения, обладающие последним свойством называют полусильными. Если же каждый элемент последовательности Un ^ Wx ( для уравнений второго порядка), то такие решения называют сильными. Понятия сильных и полусильных-решений тесно овязано с замыканием в Lx дифференциальных операторов; соответствующих краевым задачам.
Принципиальные, известные к настоящему моменту, результаты, по темам, близким к рассматриваемым.в настоящей диссертации, и весьма исчерпывающая библиография содержится в монографиях
Ф.Трикоми, А.В.Бицадзв, Л.Бврса, М.М.Смирнова,. М.С.Салахитди-нова, Т.Д.Джураева, А.М.Нахушева, Е.И.Моисеева, Т.Ш.Кальменова. Цель работы. Основными целями работы являются:
-
Постановка и исследование корректно поставленных, граничных задач для двумерного гиперболического уравнения в области с отходом от характеристики, в том числе задач Дарбу и Дирихле; доказательство сопряженности задач Дарбу и Дирихле.
-
Исследование однозначной разрешимости обобщенной задачи Трикоми и задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в области с отходом от характеристики; доказательство сопряженности указанных задач.
-
Исследование спектральных вопросов краевых задач для уравнения гиперболического и смешанного типов в областях, не-допускающих метод разделения переменных.
Общая методика исследования. Исследуемые краевые задачи эквивалентно редуцируются к интегро-функциональным уравнениям либо к сингулярным интегральным уравнениям со сдвигом некар-лемановского 'їипа. Используются, как известные методы: теория регулярных расширений линейных операторов в гильбертовом пространстве, теория- сингулярных интегральных уравнений, теория функциональных уравнений, методы комплексного анализа и априорных оценок; так и новые методы. В частности, предложен метод, позволяющий- устанавливать базисность системы корйэвых функций нелокальных краевых задач для волнового уравнения и уравнения Лаврентьева-Бицадзе, в областях, не допускающих метод разделения переменных.
Научная новизна. Основные.новые научные результаты: I. Доказана корректность краевой задачи Дирихле для гиперболического уравнения в плоской области внутри характеристического треугольника. Обоснована сопряженность задач Дарбу
-7- ] .
и Дирихле. Полученные результаты в определенном смысле имеют законченный характер.
-
Сформулированы нелокальные граничные задачи нового типа для гиперболических уравнений. Одно из краевых условий в этих задачах связывает значение функции на отрезке характеристики уравнения со значением предела функции в специальной угловой точке по специальной подпоследовательности.
-
Найден критерий сильной разрешимости одного класса краевых задач типа Трикоми в области с отходом от характеристики и установлена зависимость корректности этих задач как
от углов подхода эллиптической части границы к линии изменения типа уравнения, так и от геометрических характеристик гиперболической части области.
4. Найдены новые условия однозначной разрешимости крае
вой задачи Г*1 (обобщенной, задачи Трикоми) и впервые доказана
корректность задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.
Установлено, что задачей, сопряженной к задаче Г"1 , являет
ся задача Дирихле. Указан класс единственности решения задачи
Г\ без ограничений геометрического характера на границу области.
Б. Доказана полнота и базисность Рисса корневых функций одного класса нелокальных краевых задач со смещением для волнового уравнения и для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в областях, гиперболическая часть которых совпадает с характеристическим треугольником и не допускает метод разделения перемен--ных. Впервые указана несамосопряженная граничная задача в нетривиальной постановке для уравнения смешанного типа второго порядка, обладающая полной системой корневых функций.
Теоретическая и практическая ценность.Результаты работы представляют прежде всего теоретический интерес. Они могут быть применены к исследованию других краевых задач и их спектров для широкого класса дифференциальных уравнений в частных произвддных, а также к изучению математических вопросов газовой динамики, теории распространения волн, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака. Помимо самостоятельного интереса в первую очередь, исследования по гиперболическим задачам являются подготовительными при изучении уравнений смешанного типа.
Апробация работы. Основные результаты диссертации и отдельные ее части докладывались на научных семинарах академика РАН В.А.Ильина, академиков АН РУз.М.С.Салахитдинова и Т.Д.Джураева, член-корр.АН РУз.Ш.А.Алимова, член-корр.АН Туркм.М.М.Мередова, проф.Е.И.Моисеева, проф.В.Н.Врагова, членов-корреспондентов НАН РКаз. М.Отелбаева и Т.Ш.Кальменова; обсуждались в личных беседах, с профессорами А.А.Дезиным, А.М.Нахушевым, А.П.Содцатовым, С.С.Харибегашвили, В.Ф.Волкодавовнм.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 13 работах, список которых приведен в конце автореферата, а также в 9 тезисах докладов на научных конференциях, список которых приведен в диссертации. Из совместных работ приводятся те их части, результаты которых принадложат автору.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, где дается краткое содержание работы и трех глав, разбитых на 18 параграфов. Нумерация формул (утверждений) - тройная: первая цифра указывает на номер главы, вторая - на номер параграфа, а третья - на номер формулы (утверкдения) в нем.