Введение к работе
Диссертационная работа посвящена изучению краевых задач типа Римана для неправильно — эллиптических дифференциальных уравнений.
Актуальность темы.В настоящей работе рассматриваются краевые задачи тина Римана для неправильно — эллиптических дифференциальных уравнений. Исвторически, для таких уравнений сначала рассматривались классические задачи Дирихле, Неймана. Однако как было показано такие задачи для неправильно эллиптических - уравнений не являются ни .рредгольмоными. В связи с этим основным направлением в теории краевых задач для неправильно — эллиптических фавнепий в настоящее время являются краевые задачи типа
'имана. Бурное развитие теории этих задачь обусловлено также
нюгочисленными применениями в задачах механики, газовой
динамики и электродинамики.
Существенный вклад в развитие теории краевых задач
ипа Римана внесли работы известных математиков: И. Н. Векуа,
і. И. Мусхелишвили, А. В. Бицадзе, М. Е. Товмасяпа, А. Д.
^жураева, А. П. Солдатова и др.
\елъ работы. Цель диссертационной работы заключается в
лодующем:
) исследовать краевую задачу типа Римана для неправильно
- эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка произвольной односвязной области, получ"ить решение
дпородной задачи.
2) исследовать более общую краевую задачу типа Римана для
неправильно — эллиптических дифференциальных уравнений
второго порядка в произвольной односвязной области. Показать
нетеревость этой задачи и вычислить индекс.
3) исследовать краевую задачу типа Римана для неправильно —
эллиптических дифференциальных уравнений и-ого порядка.
Показать нетеревость этой задачи, вычислить индекс и
построить решение однородной задачи.
Общая методика исследования. В работе используются методы теории сингулярных уравнений, краевых задач для аналитических функций, а также методы классического комплексного анализа.
Научная новизна и практическая ценность.Все основные результаты работы являются новыми.
Работа носит теоритический характер и может найти применение в вопросах исследования краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных.
В работе исследуется влияние младших членов уравнения на характер разрешимости краевой задачи типа Римана. Показано, что наличие младших членов для уравнений рассмотренного типа не влияет не только на индекс этой задачи но и на дефектные числа. Получены в явном виде решения однородной задачи. Для уравнения второго порядка доказано, чтс эти решения чисто мнимые и не зависят от области.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:
-на научной сессии Армянского Математического Союза (Ереван, 7-8 декабрь, 1997 г.)
-на международной конференции посвященной памяти М. М. Джрбашяна (Ереван, 10-12 сентябрь, 1998 г.)
-на годичной конференции Ереванского Государственного Инженерного Университета (Ереван, 1998 г.)
-на семинарах департамента Математики Ереванского
Государственного Инженерного Университета и семинарах
<афедры дифференциальных уравнений Ереванского
Государственного Университета.
Публикации. Основные результаты диссертационной заботы опубликованы в шести работах, список которых іриводитсн is конце автореферата.
Структура и объем работы.Аиссертациоиная работа :остоит из введения, трех глав и списка литературы из 53 ^именований. Полный объем работы составляет 60 стр.