Введение к работе
Актуальность тс:;-!. Изучению колебании разлпчнігс ноі'.шш-ческпх систем, іїнзичоских и уївипоскіп: процессов посвядсно гиалительное г.олнчестло і.чггсіптіггескік теорій, использут*,:!.". различите т.:етоды классического и современного анализа. Ссоао" место среди них запш:лет теорші со6сгі:»нл'.к колебании. Од'Пі из ее разделов - осннлллцношіа.ч теория - изучает наличие у оЗпкновенпых ди'і.ференниа.тштїк операторов и связанних с ними граевнх задач комплекса таких спектральных свопстіз, как простота, вещественность, положительность соо'ственннх значенні!, 1!сре;.:е;:;аемосгь нулей собственных'функций, Интерполлциошга сіюГістза снетоин собственник еунглчШ и т.п. Впервне наличие таких сЕоіїсга о'нло установлено Штурмом дла задачи второго по-ргдха.
Основой современно*': осииллационноа тсорпи явились работ:: їїеллога, показавшего, что комплекс ктурнопехил спектральних сі.охств краевой задачи второго пор-щпа по существу апллотея нргпадлстлостыа интегрального оператора с ядром /фуїп'.іуіеіі Грина/, удовлотворл'еднч сисиалыгл! неравенствам /такие лдра получали вгюследстглп Назрани:? лдер Келлого/. Поэтому дли доказательства таких свогсгз сио;;тра у произвольной, краовоЛ задачи достаточно проворить, что её *ауі!кд,!ід Ірлша существует, непреріпзпа и являете л ддрои Коллега. Для краевой задачи Штуг-і.;а-Лиухилля соответствуй-дли факт бил установлен Келлогом, да*, задачи четвертого порядка - Ф.Р.Гантмахором и М.Г.КреПном.
ІІсслодуицео развитие осщшшцноннон теории /работы П.Д. Кіла'атп, С.Карлинз, А.Л.Левина и Г.Д.Степанова, К).П.Покорного, .".\С.1к\рк<тского и В.И.^догмч'а, Л.Л.Тсптпчп.,В.Я.Дерра и др./
- л -
'нлоп направлении расширения класса задач, функции Грина которое лплчютсл ядрами Келлога или осцилляционными ядрами /класс нд'.:р,. близких по свойствам к ядрам Келлога, введсннції Ф.Р.Гаят-. tf'ir.cpoM и М.Г.КреЙногУ. Отметим, что изучавшиеся задачи били регулярним:!, а их функция Грина - непрерывной, /исключением толя-гтея лиг?, нокоторче результаты 10.В.Покорного, посвященние слу-uv.) задпчм Балле Пусеона со слабыми особенностями/. Случаи задач с сіш.ні.лг-і ос.обонпостгшн в осцилл.ишошшй теории практп-. "огн'.и по рассматривался: здесь известна лишь одна работа В.П. Лто*ича,о спектре задачи на оси для ,гчг(':сренциалыгаго оператора с пое'го.-ашмш кооХ'Иииелгаш. Тем сашм из рассмотрения оказывалась пс клячей пі ия дчг-:о простеїішие мєхяпнческие и физические системі, име:т»не силыше вырог-дения /напр., неоднородные струна и стержень с исчсзагт(йй б концах упругостью/ или разркпч /напр., пара стерлиеи, соедпнешпк прулиной/.
Причиной такого "пробела" являются трудности, вознпкаюлпче
При «зучзппи сингулярнік галдч: такие задачи возмолаю старить
.только в пространствах типа СЛСО с некомпактным Q. ,
что впгугхдает проверять в таких пространствах непрерывность и компактность обращающего задачу оператора; с другой стороны, па такие опоргтори непосредственно не распространяется доказательство теореш Келлоіи ни в его классическом варианте, ни в последующих молн'і'икацшк /Гантиахер-Крейн, Левин-Степанов/. Эти трудности резко усиливается, если особенности іл разрывы расположены сиутри интервала, т.к. соответствующая функция Грина 'монет оказаться аапедо-мо разртлшой.
Преодоление указанных трудностей требует создаши нових аналогов тсерекгі Келлога-Крейпа, пригодных для анализа сингулярных краевых задач /в тол числе с внутренними особенностям!/. Этим вопросам и поевлцена диссертационная работа.
-S3 -
Цель работы. Развіггиз методов исследования спектральных піоіістп ди'ТГрер'Ліи;іальіііі>с и интегральных операторов и их притопне к задачам о сплы-гл-п особенностями.
Методика песледо нашій. Нрні:енлютл методы качественной гоорми краевнх задач, теории пололительпігс опсріторої; d прсет-эанстве с ісонусом, рязличт-че т.вгодн теории мєрч и теории ;!умк-диії вещественного пср"мсшого.
Паучпал новизна. Бее результаты диссертации лл.тг-лсл новими. Наиболее- ватнчил нз них лвлг.ютел:
аіісілопі теором Dma, Кура., Кєллогп-Крє'лпа дл^о'бднх. пптег-ральшес опоратороп;
необходимые и достагочн.чо условия келлогозоети длд обдчх ' іштегралшьіА операторов;
Э'йгоктивнь'в критерии соотаететдумдел зіпкорогуллрпостп ;,;:; несвязнпх краєві в: задач.
Теоретическая u практнчеегт значимость. Работа носчг теоретической характер. К; результати ч різработаїшчє u не;; методы могут быть использовали в спектральной к качественной теории краевых задач, в теории интегралыпіх оператором, в теср>.н положительных операторов, в налшелнем анализе задач о осг/,\ н-ноотлчл.
Апро Сі аців! расі от и. Цушг'Ино результати диссертации докладывались на Ургльскон роглочальчол кспкоренили но теории и приложениям функцпон.ально-дч . дороінпізліл!'::; урпгнечиїл /Чслло'гнок, Uu//, на Xlii и ХІУ иголах по теории оператором н ;уп::цпоіпл:.-іг.г-с пространохіиис /иулслал.-тз, LX8; Новгород, i'XJJ/, на Борол н:-схоіі зл.чнен што;:пт;ічзс!:о."! г;коле /"Зороі:о~, ІСчіЯ, Г:?'.?0/, па і.Мл-длліародноіі ксп, оренднії по интегряльичн ур-внеіг.іліі и обратным задачам /Варна, ЇХ?/, на се:.:іі!Їарз по начиат лзшіол теории кра-
- б -
с.то:_ задач про'ї\ .1Q.B.Покорного /1937-1930/.
Публикации. Основные результати диссертации опубликованы ' в 5 работах. Одна из лих написана п соавторстве с научным ру-коподителом, которому принадлежит постановка задачи и некоторые идеи доказательств.
Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 144 страницах и состоит из введения и четырех глав, разбитых на 13 параграфов. Библиографический список содержит 41 наименование.