Введение к работе
Актуальность темы. Уравнениям смешанного эллиптико-гипербо-(еского типа отводится важное место в теории дифференциальных шнений с частными производными. Это объясняется тем, что теория іевнх задач для уравнений смешанного типа нашла свое многочис-іное применение в газовой динамике, магнитной гидродинамике, твій бесконечно малых изгибаний поверхности, безмоментной теории лочек с кривизной переменного знака и других областях науки и лики. Впервые на это обратил внимание С.А.Чаплыгин.
Дальнейшее свое развитие теория уравнений смешанного типа пома в работах Ф.Трикоми и С.Геллерстедта, М.А.Лаврентьева, І.Франкля и др.
Ф.Трикоми была поставлена и решена первая граничная задача ; уравнения смешанного типа У LLxx- + Li у у = О . .альнейшем задача Трикоми рассматривается другими математиками : различных дифференциальных уравнений смешанного типа. Этим ледованиям посвящены докторские диссертации Бяцадзв А.В., [.Бабенко, С.її.Пулькина, М.М.Смирнова.
Самую простую модель уравнений смешанного типа предложил і. Лаврентьев:
*х. + siyt У Нам =0 (1)
іробное исследование задачи Трикоми с ее различных обобщений і этого уравнения провел А.В.Бицадзе.
Газодинамические приложения краевых задач для этого уравне-i приведены в работах Ф.И.Франкля.
Л.И.Чибрикова получила в явном виде решение задачи Трикоми :лучае когда I есть половина границы одной из фундаменталь-: областей некоторой элементарной ила фуксовой группы Qy (бно-липейных подстановок.
!
_ 4 -
Ряд авторов для уравнений смешанного типа рассматривает зг дачи со специальными условиями сопряжения функции и ее производной. Такие задачи вначале появились при построении Козном и Рубиновым математических моделей е биологии. Затем краевые зада чи с условиями сопряжения подобного типа исследовались многими математиками. Отметим здесь авторов работ в »том направлении: Сгуляписа Л.К., болгарских математиков Каратопраклиева Г.Д., Пе трова Е.Г., Гавриловой Е.Г., а также Волкодавова В.Ф., Николаев Н.Я., Алиева М.А., ^Кириленко С.В., Пергунова В.В., Андрияновой
С 60-х годов интерес многих математиков привлекают задачи
разрывными условиями склеивания и задачи со смещением. Впервые
такие задачи были доставлены и решены Жегаловым В.И., Нахушевым
A.M. Дальнейшее развитие исследование задач такого типа получен
в работах следующих математиков: Смирнова М.М., Волкодавова В.Ф
Азовского В.В., Бочкарева А.Д., Носова В.А., Салахитдинова М.С.
Кумыковой С.К. и др. Практическая значимость подобных задач отмі
чена в работе Нахушева A.M.
Исследованию вопроса решения краевых задач для уравнения
смешанного типа (I) со специальными условиями склеивания в областях специального типа и посвящена диссертация.
Цель работы. I. Обоснование существования и единственное^ решения краевых задач для уравнения (I) со специальными условиями оопряжеяия в областях специального типа.
2. Обоснование существования и единственности задачи со смещением для уравнения смешанного типа (I) со специальными условиями сопряжения.
Нахушев A.M. Краевая задача для нагруженных иктегродафіеренци-альных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги//
Методы исследования. единственность решения поставленных іадач для уравнения смешанного типа (Г) доказывается на основа-ши принципов локального экстремума, принципа Заремба и свойств -армонических функций. Существование решения задач доказывается іетодом интегральных уравнений. При доказательстве существования іешения краевых задач применяется теория интегральных уравне.гий федгольма второго рода и агшар.т специальных функций.
Научная новизна состоит в том, что поставлены и решены номе краевые задачи:
',. Для уравнения колебания струны обоснованы существование и динственность решения девяти краевых задач. !. Для уравнения смешанного типа (I) обоснована единственность іешения шести краевых задач (І-УІ) и обосновано существование іешения трех краевых задач (ІУ-УІ) со специальными условиями со-ряжения.
:. Доказаны единственность и существование решения трех краевых адач со смещением для уравнения колебания стуны. :. Доказаны единственность и существование решения краевой за-,ачи со смещением со специальными условиями сопряжения для смежного уравнения (I).
Практическая и теоретическая значимость. Полученные в дис-ертации результаты являются новыми и имеют теоретический харак-ер. Они могут быть использованы при дальнейшем изучении крае-ах задач для уравнений смешанного типа, приводящих к уравнению яврентьева-Бицадзе, а также при решении задач прикладного характера.
Апробация работы.Результаты диссертации докладывались, на евдународной научной конференции математиков (Самара, 1993г.), а областном семинаре по дифференциальным уравнениям под руко-
:-2450 ' ' ,
водетвои доктора физико-математических наук, профессора В.Ф.Волкодавова (Самара, 1992, 1993 гг.), на семинаре по теории дифференциальных уравнений смешанного типа под руководством доктора физико-математических наук, профессора К.Б.Сабитова,
Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы, в которых отражено ее основное содержание.
Объем и структура диссертации. Диссертационная работа изложена на 104 страницах машинописного текста и состоит из введения, четырех глав и библиографии, содержащей наименований