Краевые задачи для уравнений четвертого порядка и уравнений смешанного типа Сопуев, Адахимжан

Введение к работе

- з -.

Актуальность темы. Математическое моделирование многих процессов, происходящих в реальном мире приводит к изучению нестандартных начально-краевых, прямых и обратных задач для уравнений в частных производных, не имеющих аналогов в классической математической физике.

Возникшие в приложениях проблемы, в частности проблемы околозвуковой и сверхзвуковой газовой динамики, безмомент-ной теории оболочек и другие привели к систематическому изучению уравнений смешанного типа, которые в разных частях рассматриваемых областей принадлежат к различным типам, а на линии раздела выполняются условия сопряжения.

Первые фундаментальные исследования уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа были выполнены Ф. Трикоми и С. Геллерстедтом. Основополагающие математические результаты в этом направлении получены в работах М. А. Лаврентьева, А. В. Бицадзе, К. И. Вабенко, Ф. И. Франкля.

Оригинальные результаты по теории уравнений смешанного типа получены и развивались в различных направлениях в работах М. А. Абдрахманова, С. А. Алдашева, Ю. М. Березанского, В.Ф. Волкодавова, В.Н. Врагова, Д.К. Гвазава, Т.Д. Дяураева, В. И. Жегалова, Т. Ш. Кальменова, Б. И. Моисеева, М. М. Мередова, A.M. Нахушева, СП. Пулышна, М.С. Салахитдинова, М. М. Смирнова, К. В. Сабитова, М. А. Садыбекова, А. К. Уринова , В. Исломова и многих других.

Одним из важных классов уравнений с частными производными являются уравнения составного и смешанно-составного типов. Корректные краевые задачи для уравнений смешанно-составного типа впервые исследованы А. В. Бицадзе и М. С. Сала-хитдиновым, Т. Д. Джураевым. Обзор работ, посвященных изуче-

наю уравнений составного и смешанно-составного типов имеется в монографиях М. С. Салахитдиновз и Т. Д. Джураева. Системы уравнений составного типа рассмотрены в работе А. Джурзева.

Систематическое изучение уравнений третьего порядка содержание в главной части смешанные операторы параболо-ги-перболического типов началось в начале семидесятых годов и интенсивно развивается в работах 'Т. Д. Джураева и его учеников.

Т. Д. Джураев и fi, Попелек исследовали вопросы полной классификации и приведении к каноническому виду уравнения Аи + Ви - Gil -t- Эй =

у. >с;; їг х у >-УУ УУУ

= ?{z,3-vj,u. ,и_у ,и_хк ,и_к._,,u_yv),

где А, В, С, I) являются функциями от х и у.

Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнения третьего порядка изучены в работе М. X. Шхануковв методом Риманз.

В настоящее время в связи с проблемами геофизики, океанологии, физики атмосферы, использованием криогенных жидкостей в технике и ряда других проблем значительно возрос интерес к изучению динамики различных неоднородных, и в частности стратифицированных жидкостей, которые приводят к начально-краевым задачам для уравнений четвертого порядка с частными производными , Исследованию начально-краевых задач для уравнений динамики стратифицированных жидкостей посвящены серии работ А. Г. Свешникова, С. А. Габова, Б. Б. Оразова, Ю, Д. Плетнера и других.

На важность исследования краевых задач для уравнений смешанного типа четвертого порядка указывал А. В, Бицадзе. Различные краевые задачи для такого уравнения изучены в работах Ы. М. Смирнова, U. М. Мередова, В, И. Жегалова.

- 5 -Многочисленные приложения уравнений с частными производными четвертого порядка приводят к необходимости рассмотрения вопросов классификации и приведения к каноническому виду уравнений четвертого порядка

Аи + Ви + Си + Du + Ви

it X X X х х х у хчуу X Y V У V V V У

= ?(х,у,и,и ,и „и ,U ,U ,11 ,11 ,и ,и ), (1)

где А, В, С, В, Е являются функциями от і я у, а также исследованию краевых задач для таких уравнений и уравнений

смешанного типа.

Цель работы. Основной целью рзботы является:

1. Классифицировать по типам линейные дифференциальные уравнения четвертого порядка с частными призводными и приведения их к каноническому виду.

2. Развитие метода Римана для гиперболических уравнений четвертого порядка, исследование качественных свойств функции Римана и корректных краевых задач для гиперболических уравнений четвертого порядка.

3. Исследование вопросов существования и единственности решений краевых задач для уравнений смешанного типа на плоскости и в пространстве.

Методика исследования. В работе использованы методы эквивалентного преобразования уравнений с частными призводными, принцип экстремума и интегралов энергии, метода Римана и тепловых потенциалов, теория интегральных уравнений Воль-террэ, Фредгольма и сингулярных интегральных уравнений, принцип сжимающих отображений и интегральное преобразование Фурье.

Научная новизна. Основные научные результаты: 1. Указаны необходимые и достаточные условия классификации по типам линейных дифференциальных уравнений четвертого

- б -

порядка с частными производными , непосредственно по их коэффициентам.

2. Найдены способы приведения к каноническому виду линейных дифференциальных уравнений четвертого порядка с частными производными.

3. Развивается метод Римана для гиперболических уравнений четвертого порядка. Изучены экстремальные и экспоненциальные свойства функции Римана. Методом Римана исследованы обратные задачи для гиперболических и псевдопараболических уравнений.

4. Доказаны теоремы существования и единственности решений задачи Трикоми для общего и вырокдащегося параболо-ги-перболического уравнений. Получена априорная оценка решения. Построены функции Грина для вырокдащегося параболического уравнения второго порядка в случае криволинейных областей и изучены свойства тепловых потенциалов.

5. Доказаны теоремы существования и единственности решения ряда краевых задач для гиперболических, смешанно-гиперболических и смешанных параболо-гиперболических уравнений четвертого порядка с одной и двумя линиями сопряжения.

6. Изучены задачи Трикоми и Геллерстедта для смешанного параболо-гиперболического уравнения в пространстве.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы представляют прежде всего теоретический интерес. Они могут быть использованы при классификации и приведения к каноническому виду уравнений в частных производных четвертого и более высокого порядков, при разработке теории краевых задач для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типов, а также при решении прикладных задач, приводящихся к таким уравнениям.

- I -Апробация работы. Результаты работы регулярно обсуждались: на семинаре по неклзссическим уравнениям математической физики Института механики и сейсмостойкости сооружений АН УзССР (1981-1984 гг, руководитель -академик АН УзССР Т. Д. Джураев), на семинаре по дифференциальным уравнениям Института Математики АН УзССР (1981-1984 гт, руководитель-академик АН УзССР М. С. Салахитдинов), на Ташкентском го--родскои семинаре по дифференциальным уравнениям (1985-1935 гг, руководители - Академики АН РУз М. С. Салахитдинов и Т.Д. Джураев), на семинзре кафедры математического анализа Ошского госуниверситетв (1985-1995 гг., руководитель- д.ф„-м.н., проф. С. К. Каримов). Отдельные результаты сообщались: на семинаре Института прикладной математики Тбилисского госуниверситета ( 1982 г, руководитель- член-корр. АН СССР А. В. Бицадзе), на семинаре по уравнениям смешанного типа факультета ВМ и К МГУ ( 1991 г, руководитель- д.ф.-м.н., проф. Е.її.Моисеев), на семинаре института математики HAH КР (1994-1995 гг, руководитель- академик НАН КР М.И.Иманалиев); во Всесоюзной школе молодых ученых ( г. Ташкент, 1988 г), на республиканских конференциях " Асимтотические метода теории сингулярно-возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач ( г. Бишкек, 1991 г.); ** Дифференциальные уравнения и ах приложения " ( г. Ош» 1993); " Информатика и образование "( г. Ош, 1993 г.); в школе-семинаре " Граничные задачи для уравнений с частными производными " { г. Ташкент, ".994 г); на республиканской конференции " Краевые задачи и их спектральные вопросы для дифференциальных уравнений " С г. Алма-Ата, 1991 г.); на юбилейной научной конференции, посвященной 50-летию развития математики в НАН Казахстана ( г. Алмати, 1995 г.); на Международных конференциях: " Дифференциальные

- 8 -и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции " ( г. Самара, 1992 г.); " Аналитические и экспериментальные методы математической разики и проблемы их преподования ". ( т. Ош, 1994 г.); "Современные методы и средства информационных технологий " ( г. Ош, 1995 г.).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 28 работах. Из совместных работ приводятся те их части, результаты которых принадлежат автору.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, где дается краткое содержание работы и семи глав, разбитых на 28 параграфов. Нумерация параграфов, формул, лемм, теорем (замечаний, примеров)- двойная: первая цифра указывает на номер главы, вторая - на номер параграфа. Имеется 13 рисунков. Обьем текста 249 стр. Список литератур содержит 195 наименований.